第01講基本立體圖形簡單幾何體的表面積和體積

第1節(jié)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積考試要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．1、下列說法中正確的是=1\*GB3①有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱=2\*GB3②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.=3\*GB3③棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．=4\*GB3④錐體的體積等于底面積與高之積．=5\*GB3⑤已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.=6\*GB3⑥圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.【答案】=3\*GB3③=5\*GB3⑤下列說法正確的是（）A以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；B以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；C圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；D一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．【答案】C【解析】由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知A、B錯誤，C正確．對于D，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，D不正確．3．如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺B．四棱柱C．五棱柱D．簡單組合體【答案】C【解析】由幾何體的結構特征知，剩下的幾何體為五棱柱．4.下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行【答案】D【解析】由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行關系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形．5．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm【答案】B【解析】設圓錐底面圓的半徑為rcm，母線長為lcm，依題意得2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).6.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12π B.eq\f(32,3)π C.8π 【答案】A【解析】由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線為2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π.1、下面關于空間幾何體的敘述正確的是()A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.長方體是直平行六面體D.存在每個面都是直角三角形的四面體【答案】CD【解析】A中，當頂點在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；B中，當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C正確；D正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形.【規(guī)律形成】識別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本要素，根據定義進行判定．(2)反例法：通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個結論是錯誤的，只要舉出一個反例即可．2.已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A.eq\f(3\r(2),2)B．3eq\r(2)C．4eq\r(2)D．5eq\r(2)【答案】B【解析】方法一由已知求得O′C′＝eq\r(2)，把直觀圖還原為原圖形如圖，可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2eq\r(2)，得原四邊形OABC的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).方法二由題意知A′B′＝1，∴S直觀圖＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，∴S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝3eq\r(2).【規(guī)律形成】(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.3、(2020·浙江卷)已知圓錐的側面積(單位：cm2)為2π，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是________.【答案】1【解析】如圖，設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則圓錐的側面積S側＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于側面展開圖為半圓，可知eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.【變式1】某圓柱的高為2，底面周長為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點，其中OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2【答案】B【解析】圓柱的側面展開圖及M，N的位置(N為EP的四等分點)如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．EN＝eq\f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴MN＝eq\r(EM2＋EN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.【變式2】如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)m，則圓錐底面圓的半徑等于______m.【答案】eq\f(4,3)【解析】圓錐頂點記為O，把圓錐側面沿母線OP展開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，又∠POP′為△POP′一內角，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).【變式3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，AC＝1，AA1＝3，F為棱AA1上的一動點，則當BF＋FC1最小時，△BFC1的面積為________．【答案】eq\f(\r(15),2)【解析】將直三棱柱ABC-A1B1C1沿棱AA1展開成平面，連接BC1(圖略)，與AA1的交點即為滿足BF＋FC1最小時的點F，∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，AC＝1，AA1＝3，再結合棱柱的性質，可得A1F＝eq\f(1,3)AA1＝1，故AF＝2.由圖形及棱柱的性質，可得BF＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，FC1＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，BC1＝eq\r(3＋9)＝2eq\r(3)，cos∠BFC1＝eq\f(BF2＋FC\o\al(2,1)－BC\o\al(2,1),2×BF×FC1)＝eq\f(8＋2－12,2×2\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,4).故sin∠BFC1＝eq\r(1－\f(1,16))＝eq\f(\r(15),4)，∴△BFC1的面積為S＝eq\f(1,2)×BF×FC1×sin∠BFC1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2).]點評：本題在探求BF＋FC1最小時，采用了化曲為直的策略，將空間問題平面化，在解決空間折線段最短問題時可適當考慮其展開圖．4、（1）在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長為7cm(數據為筆筒的外觀數據)，用一層絨布將其側面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A．120cm2 B．162.7cm2C．785.4cm2 D．1570.8cm2【答案】C【解析】根據正六棱柱的底面邊長為7cm，得正六棱柱的側面積為＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.（2）(2021·新高考全國Ⅱ)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側棱長為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4，側棱長為2，所以該棱臺的高h＝eq\r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq\r(2)，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺的體積V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).（3）如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________.【答案】eq\f(\r(2),3)【解析】如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.依題意，三棱錐E－ADG的高EG＝eq\f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.則AG＝eq\r(AE2－EG2)＝＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).【規(guī)律形成】1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.5、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)【答案】C【解析】如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝＝eq\f(13,2).【變式1】在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為________.【答案】20π【解析】根據題意得BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長方體內，如圖所示.該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球心為長方體體對角線的中點.即外接球的半徑為體對角線長的一半.此時AC為該球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.【變式2】在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝eq\r(3)，AD＝BC＝eq\r(5)，則該三棱錐外接球的半徑為________.【答案】eq\f(\r(6),2)【解析】考慮到三棱錐A－BCD對棱相等，可利用長方體面對角線相等，將該三棱錐放置于長方體內，三組對棱即為長方體的三組面對角線，如圖所示.該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球心在長方體對角線的中點，即外接球的半徑為體對角線長的一半.設此長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y2＋z2＝5，,x2＋z2＝3，))即x2＋y2＋z2＝6.所以外接球的半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(\r(6),2).【變式3】在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AB＝2eq\r(3)，AC＝4，∠BAC＝30°，則該三棱錐外接球的體積為________.【答案】9eq\r(2)π【解析】如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝(2eq\r(3))2＋42－2×2eq\r(3)×4·cos30°＝4.所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC為直角三角形.故△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點.取AC的中點為O1，連接PO1，則PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.該三棱錐外接球的球心在線段PO1上.設球心為O，連接OA，則OA＝OP，且均為外接球的半徑.在Rt△PO1A中，PO1＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2).在Rt△OO1A中，OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)，即R2＝(2eq\r(2)－R)2＋4，則R＝eq\f(3\r(2),2).所以外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π＝9eq\r(2)π.【變式4】設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)【答案】B【解析】由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).【規(guī)律形成】“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準切點，通過作截面來解決，截面過球心．(2)“接”的處理空間幾何體外接球問題的處理關鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解.(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據4R2＝a2＋b2＋c2求解.(3)利用平面幾何體知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.1、過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是()A．1B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(6),2)【答案】D【解析】取AA1的中點E，CC1的中點F，連接BE，ED1，D1F，FB，如圖所示．四邊形BED1F為過棱長為1的正方體的一條體對角線BD1所作截面的面積最小的截面，且四邊形BED1F是菱形，其截面面積為eq\f(1,2)·BD1·EF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).故選D.2、(2022·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2π，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)【答案】C【解析】方法一由甲、乙兩個圓錐的母線長相等，結合eq\f(S甲,S乙)＝2，可知甲、乙兩個圓錐側面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設兩個圓錐的母線長為l＝3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個圓錐的側面展開圖剛好可以拼成一個周長為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\r(5)，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝2eq\r(2)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).故選C.方法二設兩圓錐的母線長為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，側面展開圖的圓心角分別為n1，n2，則由eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(\f(n1πl(wèi)2,2π),\f(n2πl(wèi)2,2π))＝2，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)＝2.由題意知n1＋n2＝2π，所以n1＝eq\f(4π,3)，n2＝eq\f(2π,3)，所以2πr1＝eq\f(4π,3)l,2πr2＝eq\f(2π,3)l，得r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\f(\r(5),3)l，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).故選C.1.下列說法中，正確的是()A.棱柱的側面可以是三角形B.若棱柱有兩個側面是矩形，則該棱柱的其他側面也是矩形C.正方體的所有棱長都相等D.棱柱的所有棱長都相等【答案】C【解析】棱柱的側面都是平行四邊形，A錯誤；其他側面可能是平行四邊形，B錯誤；棱柱的側棱與底面邊長并不一定相等，D錯誤；易知C正確.2．(2023·淄博模擬)若圓錐的母線長為2eq\r(3)，側面展開圖的面積為6π，則該圓錐的體積是()A.eq\r(3)πB．3πC．3eq\r(3)πD．9π【答案】B【解析】設圓錐的高為h，底面圓半徑為r，因為母線長為2eq\r(3)，所以側面展開圖的面積為πr×2eq\r(3)＝6π，解得r＝eq\r(3)，所以h＝eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×3＝3π.3.如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是()A．8 B．16C．32 D．64【答案】C【解析】根據題意，如圖，原圖形△AOB的底邊OB的長為4，高為16，所以其面積S＝eq\f(1,2)×4×16＝32.4、在我國古代數學名著《數學九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺【答案】C【解析】由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長24尺，另一條直角邊長5×2＝10(尺)，因此葛藤長的最小值為eq\r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．故選C．5、.(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()【答案】A【解析】如圖所示，設球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因為⊙O1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.6、如圖，在正四棱錐P－ABCD中，B1為PB的中點，D1為PD的中點，則棱錐A－B1CD1與棱錐P－ABCD的體積之比是()A．1∶4B．3∶8C．1∶2D．2∶3【答案】A【解析】棱錐A－B1CD1的體積可以看成是正四棱錐P－ABCD的體積減去角上的四個小棱錐的體積得到的．因為B1為PB的中點，D1為PD的中點，所以棱錐B1－ABC的體積和棱錐D1－ACD的體積都是正四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,4)，棱錐C－PB1D1的體積與棱錐A－PB1D1的體積之和是正四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,4)，則中間剩下的棱錐A－B1CD1的體積＝VP－ABCD－3×eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)VP－ABCD，則∶VP－ABCD＝1∶4.7、（多選題）如圖圓柱內有一個內切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,,為圓柱上下底面的圓心,為球心,為底面圓的一條直徑,若球的半徑,則()

A.球與圓柱的體積之比為

B.四面體的體積的取值范圍為

C.平面截得球的截面面積最小值為

D.若為球面和圓柱側面的交線上一點,則的取值范圍為【答案】A,D【解析】對于A,球的體積為,圓柱的體積,

則球與圓柱的體積之比為,A正確;

對于B,設為點到平面的距離,,而平面經過線段的中點,

四面體的體積,B錯誤;

對于C,過作于,如圖,而,則,

又,于是,

設截面圓的半徑為,球心到平面的距離為,則,

又,

則平面截球的截面圓面積,C錯誤;

對于D,令經過點的圓柱的母線與下底面圓的公共點為,連接,,

當與都不重合時,設,則,,

當與之一重合時,上式也成立,

因此,,,

則,

令,則,

而,即,因此,解得,

所以的取值范圍為,D正確.故選AD.

8、（多選題）數學中有許多形狀優(yōu)美,寓意獨特的幾何體,“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心,以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖,在勒洛四面體中,正四面體的棱長為,則下列結論正確的是()

A.勒洛四面體最大的截面是正三角形

B.若,是勒洛四面體表面上任意兩點,則的最大值為

C.勒洛四面體的體積是

D.勒洛四面體內切球的半徑是【答案】B,D【解析】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經過四面體表面的截面,如