【ch04】連續(xù)時間的馬氏鏈

第四章連續(xù)時間的馬氏鏈1.設(shè){P(t);t∈R*}是一個有限維標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族，證明detP(t)>0(對Vt>0)。要證明對于正數(shù)t和正的向量$V_t$，有限維標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族${P(t);t∈R*}$的行列式$detP(t)>0$。首先，我們需要理解有限維標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族的定義。有限維標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族是一個由一組轉(zhuǎn)移矩陣組成的集合，其中每個轉(zhuǎn)移矩陣$P(t)$的大小為nxn，被認(rèn)為是在時間t的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣。這些轉(zhuǎn)移矩陣滿足以下性質(zhì)：每個矩陣的每個元素都非負(fù)；每個矩陣的每一行的元素之和為1；對于任意的正數(shù)t，矩陣乘積$P(t_1)P(t_2)…P(t_n)$是一個非負(fù)矩陣?，F(xiàn)在，我們來證明$detP(t)>0$對于正數(shù)t和正的向量$V_t$。首先，我們注意到對于任意的正的向量$V_t$，我們可以通過將標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族中的每個轉(zhuǎn)移矩陣作用在向量$V_t$上來得到一個新的向量$V_t’=P(t)V_t$。然后，我們可以繼續(xù)將標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族中的其他轉(zhuǎn)移矩陣作用在向量$V_t’$上，得到一個更長的鏈?zhǔn)阶儞Q$V_t’’=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)V_t$?，F(xiàn)在，考慮矩陣乘積$A=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)$。根據(jù)矩陣乘法的性質(zhì)，我們知道矩陣乘積仍然滿足標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族的特性：矩陣$A$的每個元素都非負(fù)；矩陣$A$的每一行的元素之和為1。因此，我們可以將矩陣$A$視為標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族中的一個轉(zhuǎn)移矩陣?，F(xiàn)在，我們來證明對于任意的正數(shù)t和正的向量$V_t$，行列式$detP(t)>0$。根據(jù)上述建立的鏈?zhǔn)阶儞Q$V_t’’=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)V_t$，我們可以看到向量$V_t’’$是由向量$V_t$通過標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族的作用變換而來的。其中，矩陣乘積$A=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)$也是標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族的一個轉(zhuǎn)移矩陣。既然$V_t$是正的向量，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族的性質(zhì)，向量$V_t’’$也是正的向量。這是因為矩陣乘積$A$的每個元素都非負(fù)，并且矩陣乘積的每一行元素之和為1?，F(xiàn)在，我們來看矩陣$A$的行列式$detA$，根據(jù)線性代數(shù)的性質(zhì)，行列式$detA$是由矩陣的特征值乘積組成。由于矩陣$A$是一個正的轉(zhuǎn)移矩陣，其特征值也都是正的。因此，我們可以得出結(jié)論$detP(t)>0$對于正數(shù)t和正的向量$V_t$。綜上所述，對于有限維標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣族${P(t);t∈R*}$，當(dāng)向量$V_t$是正的時候，行列式$detP(t)>0$成立。2.略3.略4.略5.6.略7.8.9.略10.略11.略12.略