《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教案 第十章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算基礎(chǔ)

PAGE第十章結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算基礎(chǔ)（6學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容10-1綜述10-2單自由度體系的自由振動(dòng)10-3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)10-4阻尼的影響10-5兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)10-1綜述動(dòng)力計(jì)算：動(dòng)荷載的特點(diǎn)、動(dòng)力計(jì)算的目的、方法；動(dòng)荷載類(lèi)型：周期荷載、沖擊荷載、隨機(jī)荷載；動(dòng)力自由度：集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法、有限元法。10-2單自由度體系的自由振動(dòng)自由振動(dòng)微分方程、自由振動(dòng)微分方程的解、結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率。10-3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程；簡(jiǎn)諧荷載下強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的解；簡(jiǎn)諧荷載下強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)；一般荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)：突加荷載、短時(shí)突加荷載、線性漸增荷載。10-4阻尼的影響阻尼的概念與分類(lèi)、有阻尼的自由振動(dòng)：ξ<1、ξ=1、ξ>1；有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)：突加荷載、簡(jiǎn)諧荷載。10-5兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)剛度法、撓度法：振動(dòng)方程、振動(dòng)方程的解、振幅方程、頻率方程、振型。重點(diǎn)難點(diǎn)10-1綜述重點(diǎn)：動(dòng)力自由度的判斷。10-2單自由度體系的自由振動(dòng)重點(diǎn)：掌握剛度法和柔度法建立振動(dòng)微分方程的基本原理；熟練掌握這些動(dòng)力特性的計(jì)算。難點(diǎn)：理解單自由度體系自由振動(dòng)的動(dòng)力特性。10-3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)重點(diǎn)：掌握單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的計(jì)算。難點(diǎn)：理解自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的本質(zhì)區(qū)別。10-4阻尼的影響重點(diǎn)：掌握阻尼對(duì)動(dòng)力特性（自振頻率、振幅等）的影響。難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)。10-5兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)重點(diǎn)：掌握剛度法和柔度法建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)微分方程的方法。難點(diǎn)：理解頻率方程和主振型等概念。第十章結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算基礎(chǔ)PAGEPAGE4010.1綜述知識(shí)點(diǎn)動(dòng)力計(jì)算：動(dòng)荷載的特點(diǎn)、動(dòng)力計(jì)算的目的、方法；動(dòng)荷載類(lèi)型：周期荷載、沖擊荷載、隨機(jī)荷載；動(dòng)力自由度：集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法、有限元法。重點(diǎn)動(dòng)力自由度的判斷。知識(shí)點(diǎn)：動(dòng)力計(jì)算（1）定義：動(dòng)荷載是荷載（大小、方向、作用位置）隨時(shí)間變化的量。（2）動(dòng)荷載與靜荷載的區(qū)別：考慮其對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)（慣性力），與荷載變化的快慢無(wú)關(guān)。（3）計(jì)算方法的區(qū)別：根據(jù)達(dá)朗伯原理，平衡形式相同，但力系中包括了慣性力，并且能求出的結(jié)果是時(shí)間的函數(shù)。從計(jì)算方法上看，靜力學(xué)所解的是線性方程組，而動(dòng)力學(xué)所解的是偏微分或常微分方程組。（4）結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的：對(duì)動(dòng)力荷載作用下的位移，內(nèi)力等進(jìn)行分析。知識(shí)點(diǎn)：動(dòng)荷載的分類(lèi)（1）周期荷載：簡(jiǎn)諧荷載—機(jī)械振動(dòng)（圖10.1a）；非簡(jiǎn)諧荷載（圖10.1b）。圖10.1a圖10.1b（2）沖擊荷載：在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。如爆炸荷載等（3）隨機(jī)荷載：地震（唐山地震，圖10.2）、風(fēng)圖10.2知識(shí)點(diǎn)：動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度（1）定義：在動(dòng)力計(jì)算中，一個(gè)體系的自由度是指為了確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需確定的獨(dú)立集合參數(shù)的數(shù)目。（2）意義：在動(dòng)力問(wèn)題中需要考慮慣性力，而慣性力與質(zhì)量有關(guān)，因此確定任一時(shí)刻質(zhì)量的位置就是動(dòng)力學(xué)研究的關(guān)鍵之一。（3）方法：第一種：集中質(zhì)量法：把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣就可以把一個(gè)原來(lái)無(wú)限自由度的問(wèn)題簡(jiǎn)化成為有限自由度的問(wèn)題。例：梁，剛架，圖10.3圖10.3注意：自由度的個(gè)數(shù)與集中質(zhì)量的個(gè)數(shù)并不一定彼此相等。第二種：廣義坐標(biāo)法：將無(wú)限自由度體系的位移曲線用一組形狀函數(shù)的疊加表示，則這組形狀函數(shù)可以看成是確定質(zhì)量位置的坐標(biāo)系，而其幅值則稱(chēng)為廣義坐標(biāo)。例：簡(jiǎn)支梁：第三種：有限單元法，圖10.4圖10.4，8自由度學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重要意義（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力設(shè)計(jì)計(jì)算的基礎(chǔ)知識(shí)動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，城市建設(shè)環(huán)境評(píng)價(jià)（如軌道交通環(huán)境評(píng)價(jià)）等等。（2）工程防災(zāi)(抗風(fēng)抗震)的重要先修內(nèi)容10.2單自由度體系的自由振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)自由振動(dòng)微分方程、自由振動(dòng)微分方程的解、結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握剛度法和柔度法建立振動(dòng)微分方程的基本原理；熟練掌握這些動(dòng)力特性的計(jì)算。難點(diǎn)：理解單自由度體系自由振動(dòng)的動(dòng)力特性。知識(shí)點(diǎn)：自由振動(dòng)微分方程的建立（1）模型圖10.5（2）單元分析:彈性力—,與位移的方向相反；慣性力—,與加速度的方向相反。（3）平衡方程：+=這是從力系平衡角度建立的自由振動(dòng)微分方程，這種方法稱(chēng)為剛度法。根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件，慣性力=,用表示柔度系數(shù)，即在單位力作用下所產(chǎn)生的位移，則質(zhì)量的位移為：這種根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立自由振動(dòng)微分方程的方法稱(chēng)為柔度法。知識(shí)點(diǎn)：自由振動(dòng)微分方程的解將原方程寫(xiě)為：+=其中：=其解為：其中由初始條件確定。如果設(shè)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)有初始位移和初始速度，即：則可求得：=,即：上式為由引起的位移和由初始速度引起的位移的疊加。如果將其解寫(xiě)為：的形式，其中稱(chēng)為振幅，稱(chēng)為初始相位角，則可導(dǎo)出：=,=或=,=知識(shí)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)的自振周期由其位移函數(shù)我們知道這是一個(gè)周期函數(shù)，其周期為：=由此周期，頻率，角頻率的相關(guān)公式可表示成：====其中：=,(為W作用時(shí)的靜位移)結(jié)構(gòu)自振周期的一些重要性質(zhì)：（1）自振周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界的影響無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)自振周期反映了結(jié)構(gòu)自身的特性；（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比；因此要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度入手；（3）自振周期是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要數(shù)量標(biāo)志。實(shí)例：例1：求圖10.6a體系的頻率及自振周期。圖10.6a圖10.6b解：?jiǎn)挝缓奢d下的彎矩圖（圖10.6b），柔度系數(shù)：例2：求圖10.7懸臂桿的自振頻率。（桿件截面積A，慣性矩I，彈性模量E，自身質(zhì)量不計(jì)，桿頂重物重量為W）圖10.7a圖10.7b解：?jiǎn)挝缓奢d下的彎矩圖（圖10.7b），柔度系數(shù)：例3:求圖10.8a結(jié)構(gòu)自振頻率。（EI為常數(shù)，桿件自身質(zhì)量不計(jì)）圖10.8a圖10.8b解：?jiǎn)挝缓奢d下的彎矩圖（圖10.8b），柔度系數(shù)：例4：計(jì)算圖10.9a剛架的頻率和周期。圖10.9a圖10.9b解：圖10.9b，10.3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程；簡(jiǎn)諧荷載下強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的解；簡(jiǎn)諧荷載下強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)；一般荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)：突加荷載、短時(shí)突加荷載、線性漸增荷載。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的計(jì)算。難點(diǎn)：理解自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的本質(zhì)區(qū)別。知識(shí)點(diǎn)：強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的建立（1）定義：結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)或受迫振動(dòng)。（2）模型：圖10.10（3）平衡方程設(shè)=，則上式變?yōu)椋?=知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)諧荷載下強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的解設(shè)其中：為簡(jiǎn)諧荷載的圓頻率，為荷載的幅值，運(yùn)動(dòng)方程為：+=上式為非齊次常微分方程。其特征值，故可按兩種情況來(lái)討論。（1）時(shí)，不是方程的根，故其特解為：=可求得：，=故其通解為：（2）當(dāng)時(shí)，則是特征方程的根，故設(shè)=可求得：==此時(shí)的通解為：從上式可以看出當(dāng)時(shí)，位移隨時(shí)間的增大而增大，即產(chǎn)生共振現(xiàn)象，這種情況是在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中應(yīng)避免的。知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)諧荷載下強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)時(shí)，在通解中設(shè)其初始條件為，，則可得：=，=故=（）上式表明，強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)由兩部分疊加而成，第一部分按荷載頻率振動(dòng)，第二部分按自振頻率振動(dòng)。由于阻尼的存在，按自振頻率振動(dòng)的部分會(huì)逐漸消失，而只出現(xiàn)按荷載頻率振動(dòng)的部分。這時(shí)我們可把振動(dòng)分為兩個(gè)階段，即“過(guò)渡階段”和“平穩(wěn)階段”。對(duì)平穩(wěn)階段，任一時(shí)刻的位移為：=其最大位移為：=最大位移與最大靜位移的比值稱(chēng)為動(dòng)力系數(shù)，用表示，即：(圖10.11)==圖10.11討論以下幾種情況：①時(shí)，②時(shí)，③時(shí)，④時(shí)，的絕對(duì)值隨的增大而減小。實(shí)例：例：一無(wú)重簡(jiǎn)支梁，在跨中有重W＝20kN的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)生的干擾力P(t)＝10sinθt，電機(jī)每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)n=500r/min，梁EI＝1.008×104kN.m2。求梁的最大位移和彎矩。圖10.12解：（1）自振頻率（2）荷載頻率（3）動(dòng)力系數(shù)（4）最大位移與最大彎矩知識(shí)點(diǎn)：一般荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)（1）荷載模型PP(t)t0dpP(t)tS=pd0d圖10.13（2）公式推導(dǎo)設(shè)體系在時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則沖量,初速度=,則此時(shí)的位移為：=設(shè)在=時(shí)作用瞬時(shí)沖量,則>時(shí)的位移為：=（上式中設(shè)初位移為零）因此，有=對(duì)上式進(jìn)行疊加得：=上式稱(chēng)為杜哈梅積分。原理：任意荷載作用下的任一時(shí)刻的位移等于從荷載作用開(kāi)始至該時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng)的疊加（或積分）。當(dāng)初始位移和初始速度不為時(shí)，則：=++（3）應(yīng)用突加荷載PP(t)t=圖10.14==,表示在靜荷載作用下所產(chǎn)生的位移。此時(shí)，動(dòng)力系數(shù)。短時(shí)荷載PP0P(t)utP(t)=圖10.15當(dāng)時(shí)，=當(dāng)時(shí)，自由振動(dòng)，計(jì)算方法可分為兩種。第一種以時(shí)刻達(dá)到位移和速度作為起始位移和起始速度，即可得。另外，也可直接用杜哈梅積分計(jì)算。===下面討論體系的最大響應(yīng)，分以下兩種情況①（加載持續(xù)時(shí)間大于半個(gè)自振動(dòng)周期），此時(shí)，動(dòng)力系數(shù)；②，此時(shí)最大反應(yīng)發(fā)生在自由振動(dòng)階段。綜上所述，有即：設(shè)按的不同情況，繪出圖形（圖10.16）。圖10.16線形漸增荷載PP(t)trtP0圖10.17計(jì)算結(jié)果如下：圖10.18動(dòng)力系數(shù)介乎1與2之間。如果升載時(shí)間很短，例如tr<T/4，則動(dòng)力系數(shù)β接近于2.0，即相當(dāng)于突加荷載的情況。如升載時(shí)間很長(zhǎng)，如tr>4T，則β接近于1.0，相當(dāng)于靜荷載情況。10.4阻尼的影響知識(shí)點(diǎn)阻尼的概念與分類(lèi)有阻尼的自由振動(dòng)：ξ<1、ξ=1、ξ>1；有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)：突加荷載、簡(jiǎn)諧荷載。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握阻尼對(duì)動(dòng)力特性（自振頻率、振幅等）的影響。難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)。知識(shí)點(diǎn)：阻尼的概念與分類(lèi)振動(dòng)中阻尼力有多種來(lái)源，例如振動(dòng)過(guò)程中結(jié)構(gòu)與支承之間的摩擦，材料之間的內(nèi)摩擦，周?chē)橘|(zhì)的阻力等。阻尼力對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起阻礙作用，從方向上看，它總是與質(zhì)點(diǎn)的速度方向相反，從數(shù)值上看它與質(zhì)點(diǎn)速度有如下的關(guān)系：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度成正比，稱(chēng)為粘滯阻尼。阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比（例如，固體在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻尼）。阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)速度無(wú)關(guān)（摩擦力）。（1）力學(xué)模型圖10.19（2）控制方程知識(shí)點(diǎn)：有阻尼的自由振動(dòng)令則有：特征方程為：其解為：根據(jù)三種情況可得：（1）特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，令則有：其解為：設(shè)初始條件為則有：上式也可寫(xiě)為：其中位移曲線為：yytT圖10.20討論：振幅的衰減，自振頻率的影響。對(duì)自振頻率的影響對(duì)振幅的影響所以：如果，則這里稱(chēng)為振幅的對(duì)數(shù)遞減率。同樣，用表示兩個(gè)相隔幾個(gè)周期的振幅，可得：實(shí)際工程中，很小，通常用來(lái)計(jì)算。（2）時(shí)其解為：由初始條件有：位移曲線如下：y(t)y(t)t圖10.21結(jié)論：時(shí)，自由振動(dòng)具有衰減性質(zhì)。時(shí)，不產(chǎn)生振動(dòng)，這時(shí)的阻尼稱(chēng)為臨界阻尼，用表示。表示阻尼常數(shù)C與臨界阻尼Cr的比值，叫做阻尼比。（3）時(shí)，不出現(xiàn)振動(dòng)，故不再討論。知識(shí)點(diǎn)：有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼體系（設(shè)，此時(shí)一般稱(chēng)為小阻尼體系）承受一般動(dòng)力荷載時(shí)，它的反應(yīng)也可用杜哈梅積分表示，與無(wú)阻尼時(shí)的推導(dǎo)過(guò)程相似。由前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，我們知道初始速度引起的振動(dòng)為：沖量，故時(shí)，故=上式即為處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下所引起的有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)。如果還有初始位移和初始速度，則總位移為：=下面討論突加荷載和簡(jiǎn)諧荷載兩種情況。突加荷載=y(t)y(t)圖10.22簡(jiǎn)諧荷載由于，故可設(shè)特解為：可求得：其通解為：由于阻尼的存在，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，振動(dòng)按荷載頻率振動(dòng)，這時(shí)稱(chēng)為平穩(wěn)振動(dòng)。此時(shí)位移可表示為：其中動(dòng)力系數(shù)圖10.23①與的關(guān)系②時(shí)，③在阻尼體系中，共振時(shí)的動(dòng)力系數(shù)不等于最大的動(dòng)力系數(shù)。④相位角的關(guān)系：，與同步，（低頻振動(dòng)），（臨界狀態(tài)）（高頻振動(dòng)）10.5兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)剛度法、撓度法：振動(dòng)方程、振動(dòng)方程的解、振幅方程、頻率方程、振型。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握剛度法和柔度法建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)微分方程的方法。難點(diǎn)：理解頻率方程和主振型等概念。多自由度體系的求解方法有兩種，剛度法與柔度法。剛度法通過(guò)建立力的平衡方程求解，柔度法通過(guò)建立位移協(xié)調(diào)方程求解。知識(shí)點(diǎn)：剛度法先討論兩個(gè)自由度的體系，然后推廣到n個(gè)自由度的體系。(1)兩個(gè)自由度的體系模型：圖10.24平衡方程：彈性力：是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，表示j點(diǎn)產(chǎn)生單位位移時(shí)在i點(diǎn)引起的反力。由此可得：求解：設(shè)其解為其特點(diǎn)：（1）具有相同的頻率與相位角，Y1,Y2為振幅；（2）=常數(shù)這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱(chēng)為主振型或振型。代入可得：上式有非零解的條件為系數(shù)行列式為零，即上式稱(chēng)為頻率方程或特征方程。上式展開(kāi)得整理后得其解為由此可得兩個(gè)自由度體系的兩個(gè)自振頻率，用w1表示其中最小的圓頻率，稱(chēng)為第一圓頻率或基本圓頻率。另一個(gè)圓頻率w2為第二圓頻率。由此可得（17—39任一式）其中Y11,Y21分別表示第一振型中質(zhì)點(diǎn)1和2的振幅。同樣可得其中Y12，Y22分別表示第二振型中質(zhì)點(diǎn)1和2的振幅。振型曲線如下：圖10.25在一般情況下，兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)可看作是兩種頻率及其主振型的疊加，即根據(jù)初始條件可求得A1,與結(jié)論：（1）對(duì)多自由度問(wèn)題，確定自振頻率與主振型；（2）多自由度體系的自振頻率個(gè)數(shù)與自由度的個(gè)數(shù)相等。（3）各個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型就是多自由度體系能夠按單自由度振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。（4）自振頻率和主振型是體系本身的固有性質(zhì)，與外荷載無(wú)關(guān)。實(shí)例：例：圖10.26a兩層剛架，其橫梁為無(wú)限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間側(cè)移剛度（層間產(chǎn)生單位相對(duì)側(cè)移時(shí)所需施加的力）分別為k1、k2。求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率和主振型。圖10.26a圖10.26b解：（1）求剛度系數(shù)，見(jiàn)圖10.26b（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：圖10.27討論：當(dāng)n=90，鞭梢效應(yīng)第一主振型：第二主振型：（2）n個(gè)自由度體系模型圖10.28平衡方程：剛度方程：的意義同前運(yùn)動(dòng)方程：用矩陣可表示為：或簡(jiǎn)寫(xiě)為：其中分別為位移向量，加速度向量，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。求解：設(shè)其解為這里是位移幅值向量，即代入運(yùn)動(dòng)方程得：同理，系數(shù)行列式為零，即由此可求得體系的n個(gè)自振頻率。令表示與頻率相應(yīng)的主振型向量，代入特征方程得：令=1，2，……，n，可得出n個(gè)向量方程，由此可求出n個(gè)主振型。知識(shí)點(diǎn)：柔度法基本方法：根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件來(lái)建立平衡方程模型：以兩個(gè)自由度為例，圖10.29基本思路：在自由振動(dòng)過(guò)程中的任一時(shí)刻t，質(zhì)量m1，m2的位移y1(t)，y2(t)應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力作用下所產(chǎn)生的靜力位移?？刂品匠蹋菏街惺求w系的柔度系數(shù)，表示在j質(zhì)點(diǎn)處作用單位力時(shí)在i質(zhì)點(diǎn)處所產(chǎn)生的位移。設(shè)解為：代入上式得：上式表明，主振型的位移幅值（Y1,Y2）就是體系在此主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。將上式整理得：如果Y1,Y2不全為零，則有：將上式展開(kāi)即可求得求體系的主振型。由平衡方程實(shí)例：例：求圖10.29a等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型，EI為常數(shù)。圖10.29a圖10.29b解：（1）求撓度系數(shù)，圖10.29b（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：圖10.29c例2：求圖10.30a結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。質(zhì)量m，分布質(zhì)量不計(jì)，EI=常數(shù)，l=4m。圖10.30a圖10.30b解：（1）求撓度系數(shù)，圖10.30b（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：圖10.30c本題可利用對(duì)稱(chēng)性，第一、二頻率和主振型分別按圖10.30d、圖10.30e計(jì)算。圖10.30d圖10.30en個(gè)自由度體系柔度法的一般方程可采用兩種方法來(lái)推導(dǎo)。一種是如上述所示用柔度法直接推導(dǎo)，另一種是利用剛度法的方程間接導(dǎo)出。由剛度方程，有；然后用[K]-1前乘上式，并利用剛度矩陣與柔度矩陣之間的如下關(guān)系：得：令，得：由此得頻率方程：其展開(kāi)形式為：由此可得到關(guān)于λ的n次代數(shù)方程，可解出n個(gè)根。最后求與各個(gè)頻率相應(yīng)的主振型。為此，將代入前式，得：令i=1，2，……，n，可得n個(gè)向量方程，由此可求出n個(gè)主振型。

小結(jié)動(dòng)荷載與靜荷載的區(qū)別：是否考慮慣性力。動(dòng)力自由度是指為了確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需確定的獨(dú)立集合參數(shù)的數(shù)目。單自由度體系的自由振動(dòng)：（1）微分方程：剛度法+=；柔度法（2）方程的解：其中：自振頻率：=單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)：（1）微分方程：（2）方程的解：簡(jiǎn)諧荷載：，一般荷載：=++，突加荷載低阻尼的自由振動(dòng)：共振：；最大值：兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)：（1）剛度法振動(dòng)方程：方程的解：頻率方程