重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

重慶市高2024屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】分別求得集合，，得到，進(jìn)而求得子集的個(gè)數(shù)，得到答案.【詳解】由集合，，則，所以中子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.2.命題“，的否定是（）A“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定判斷各選項(xiàng).【詳解】命題“，的否定是，.故選：B.3.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D4.已知函數(shù)定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分與討論列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，恒成立，當(dāng)時(shí)，即，很顯然不滿足，當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上可得，.

故選：B5.某高鐵動(dòng)車檢修基地庫(kù)房?jī)?nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動(dòng)車、高鐵共五列車入庫(kù)檢修，若已知兩列動(dòng)車安排在相鄰軌道，則動(dòng)車停放在道的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計(jì)算求得正確答案.【詳解】記“兩動(dòng)車相鄰”，“動(dòng)車停在道”，則.故選：C6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題知，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又和在單調(diào)遞增，故由故選：B7.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的根（），則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，把四個(gè)不同的根用表示，借助導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值解決問(wèn)題.【詳解】圖，由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的根，且，由題：，，設(shè)則，令，故在遞增，在遞減，.故選：A.8.已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，分類討論不成立，則，要最大，需要，，對(duì)于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過(guò).【詳解】如圖，由圖像可知，不成立，則，要最大，需要，；時(shí)，時(shí)不成立，則；對(duì)于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過(guò)作的切線，切線斜率即為最大的a.設(shè)切點(diǎn)，則，即，.，,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以在時(shí)，取得最大值.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9.定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則以下說(shuō)法一定正確的是（）A.為周期函數(shù) B.C. D.在單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性、單調(diào)性判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，，，所以周期為4，故A正確；對(duì)于B，由于，得到關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)槎x域?yàn)镽，所以，故B正確；對(duì)于C，由于周期性和奇偶性，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于周期為4，在的單調(diào)性與的單調(diào)性相同，由于偶函數(shù)，在的單調(diào)性與的單調(diào)性相反，在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.10.兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)為，，求得樣本中心點(diǎn)為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為；若將數(shù)據(jù)調(diào)整為，，求得新的樣本中心點(diǎn)為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為，則以下說(shuō)法正確的有（）附，，A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由以及的計(jì)算公式，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】，А錯(cuò)誤；的計(jì)算中，數(shù)據(jù)不變，也不變，所以不變，B正確；，C正確；由于，變成了，，，從而，都不變，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知離心率為的橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，A在x軸上方，M為線段上一點(diǎn)，且滿足，則（）A. B.直線l的斜率為C.，，成等差數(shù)列 D.的內(nèi)切圓半徑【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：由得，可證得結(jié)論成立；對(duì)于B：設(shè)，由結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值即得斜率；對(duì)于C：可證得A點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，求出，，驗(yàn)證即可；對(duì)于D，可得是以A為直角的直角三角形，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求解即可.【詳解】如圖1：因?yàn)?，設(shè)，則，所以，所以，故，故A正確.設(shè)，，，由橢圓離心率為可得：，，故橢圓方程可化為：，聯(lián)立直線l方程整理得：.設(shè)，，則有：，，又，所以，，所以，解得：，故，故B錯(cuò)誤.如圖2：設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為，則，因?yàn)樗?，所以與重合，所以為上頂點(diǎn)，故，，，易知滿足，故C正確對(duì)于D：由知：是以A為直角的直角三角形，故內(nèi)切圓半徑，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：，由的單調(diào)性知；對(duì)C：令，根據(jù)，得的符號(hào)，根據(jù)得；對(duì)B：由得從而可判斷符號(hào)；對(duì)D：化簡(jiǎn)，可判斷符號(hào).【詳解】由題知方程有兩不等實(shí)根，且在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，令，，則方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，，其中，，若，則，則不可能有兩個(gè)解，所以.若，為開口向下的二次函數(shù)，當(dāng)即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增不成立，故，故A正確.對(duì)C：，，又，，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)B：，，故B正確，對(duì)于D：，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與二次方程的問(wèn)題解決，充分利用，求得參數(shù)的范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】X服從二項(xiàng)分布，則，，所以，解得.故答案為：14.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______【答案】##【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，求得，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，若，則，不符合題意，若，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以最小值為.故答案為：15.隨著全球的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增長(zhǎng)，資源消耗和環(huán)境問(wèn)題日益凸顯，為了實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，我國(guó)近年來(lái)不斷推出政策促進(jìn)再生資源的回收利用.某家冶金廠生產(chǎn)的一種金屬主要用于電子設(shè)備的制造，2023年起該廠新增加了再生資源的回收生產(chǎn)，它每年的金屬產(chǎn)量將由兩部分構(gòu)成：一部分是由采礦場(chǎng)新開采的礦石冶煉，每年可冶煉3萬(wàn)噸金屬；另一部分是從回收的電子設(shè)備中提煉的再生資源，每年可生產(chǎn)的金屬約占該廠截止到上一年末的累計(jì)金屬總產(chǎn)量的10%.若截止2022年末這家冶金廠該金屬的累計(jì)總產(chǎn)量為20萬(wàn)噸，則估計(jì)該廠2024年的金屬產(chǎn)量為______萬(wàn)噸，預(yù)計(jì)到______年，這家廠當(dāng)年的金屬產(chǎn)量首次超過(guò)15萬(wàn)噸.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】①.②.2035【解析】【分析】設(shè)2023年為第一年，第n年該廠的金屬產(chǎn)量為，截止第n年末這家冶金廠該金屬的累計(jì)總產(chǎn)量為，由初始數(shù)據(jù)求得，，利用題意得出關(guān)系式，用作差法求得，然后解不等式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)2023年為第一年，第n年該廠的金屬產(chǎn)量為，截止第n年末這家冶金廠該金屬的累計(jì)總產(chǎn)量為，，，，故2024年產(chǎn)量為萬(wàn)噸，，作差得，所以，也成立，所以，由得，，則n取13，為2035年故答案：；2035.16.已知拋物線焦點(diǎn)為F，斜率為k的直線過(guò)F交拋物線于A，B，中點(diǎn)為Q，若圓上存在點(diǎn)P使得，則k的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線方程，然后列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，即，P在為直徑的圓上，所以只需該圓與為直徑的圓有公共點(diǎn)即可.設(shè)直線，聯(lián)立得解得，，所以圓心距，即可（不可能內(nèi)含）則化簡(jiǎn)得，代入得，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差、等比公式法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性證得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，，因?yàn)閿?shù)列的公差為3，數(shù)列的公比為2，所以，【小問(wèn)2詳解】由（1）知：易知在單調(diào)遞增，故，取最小值，又，恒成立.故成立.18.如圖，多面體中，平面，且，，，M是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直與面面垂直的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解．【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)N，連結(jié)，因?yàn)?，所?因?yàn)槊妫?，所?又因?yàn)椋覂芍本€在平面內(nèi)，所以平面.因?yàn)辄c(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，且.所以四邊形為平行四邊形，所以，所以面，又平面，從而平面平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)O，D分別為，的中點(diǎn)，連結(jié)，則，因?yàn)槊?，面，所?因?yàn)?，由?）知，又因?yàn)樗裕詾檎切?，所以，因?yàn)槊?，所以?故，，兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，設(shè)平面的法向量，則所以取，則，設(shè)與平面所成的角為，則，因?yàn)?，所以，故與平面所成角的大小為.19.已知函數(shù)在處的切線和直線垂直.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意的，，都有成立（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得，得到，根據(jù)題意得到，即可求解；（2）不妨設(shè)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞增，即在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，可得，可得因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線l和直線垂直，所以，即，解得.【小問(wèn)2詳解】解：不妨設(shè)，則，因?yàn)閷?duì)任意的，，都有成立，可得，即，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，從而有，即在上恒成立，設(shè)，則，因?yàn)?，令，即，解得，令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故在上最小值，所以，?shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．20.為了帶動(dòng)節(jié)能減排的社會(huì)風(fēng)尚，引導(dǎo)居民錯(cuò)峰用電，某地區(qū)下個(gè)月開始將實(shí)行分時(shí)電價(jià).過(guò)去居民用電實(shí)行的是階梯電價(jià)，每月用電量不超過(guò)180度的部分，按照每度電元收取，超過(guò)180度的部分，按照每度電元收取.而新的分時(shí)電價(jià)則是將每日24小時(shí)分為峰段、谷段、平段三個(gè)時(shí)段，按照峰段每度電元，谷段每度電元，平段每度電元收取.該地區(qū)一位居民為了預(yù)估自己下個(gè)月的用電費(fèi)用變化，他做了以下工作：首先，為了估計(jì)開空調(diào)與不開空調(diào)的用電量，他統(tǒng)計(jì)了過(guò)去一些天自己家的日均用電情況后得出結(jié)論：開空調(diào)時(shí)的每日用電量為10度，不開空調(diào)時(shí)的每日用電量為5度.然后，他統(tǒng)計(jì)了一天中三個(gè)時(shí)段的用電量比例，在開和不開空調(diào)的情況下分別如下圖：假設(shè)下個(gè)月一共30天，每天他開空調(diào)的概率均為（）.（1）根據(jù)他統(tǒng)計(jì)的每日用電量數(shù)據(jù)，若下個(gè)月的某一天用電量為度，求的分布列和期望（用表示）.（2）根據(jù)他統(tǒng)計(jì)的各時(shí)段用電量比例，使用分時(shí)電價(jià)計(jì)價(jià)時(shí)，若開空調(diào)時(shí)的每日平均用電費(fèi)用為a元，不開空調(diào)的每日平均用電費(fèi)用為b元，分別求a，b；若使用分時(shí)電價(jià)計(jì)價(jià)時(shí)下個(gè)月某一天他的用電費(fèi)用為Y元，求Y的分布列和期望（用p表示）.（3）如果用階梯電價(jià)計(jì)算全月電費(fèi)時(shí)，將每日用電量視為；用分時(shí)電價(jià)計(jì)算全月電費(fèi)時(shí)，將每日用電費(fèi)用視為.要使該居民下個(gè)月使用分時(shí)電價(jià)計(jì)價(jià)的費(fèi)用不超過(guò)使用階梯電價(jià)的計(jì)價(jià)方式的費(fèi)用，則p的取值范圍為多少?【答案】（1）分布列見解析，（2），，分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）依題意的可能取值為、，即可得到其概率與分布列，從而求出其期望；（2）求出峰段、谷段、平段的點(diǎn)量，即可求出、的值，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）求出分時(shí)電價(jià)總電費(fèi)與階梯電價(jià)總電費(fèi)，再作差求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意的可能取值為、，且，，所以的分布列為：510p所以.【小問(wèn)2詳解】開空調(diào)時(shí)每日用電量：峰段度，谷段度，平段度，則元，不開空調(diào)時(shí)每日用電量：峰段度，谷段度，平段度，則元，所以的分布列為：p則.【小問(wèn)3詳解】分時(shí)電價(jià)總電費(fèi)（元），30天總用電量度，由，解得，當(dāng)時(shí)，階梯電價(jià)總電費(fèi)為（元），當(dāng)時(shí)，階梯電價(jià)總電費(fèi)為（元），所以當(dāng)時(shí)，，解得，不成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，時(shí)，下個(gè)月使用分時(shí)電價(jià)計(jì)價(jià)的費(fèi)用不超過(guò)使用階梯電價(jià)的計(jì)價(jià)方式的費(fèi)用.21.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點(diǎn)在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，（1）求雙曲線C的方程；（2）若，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，，.成等比數(shù)列，若存在，求出的值，不存在說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線距離及漸近線列出a,b方程，求解即可得到雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達(dá)定理得坐標(biāo)關(guān)系，利用點(diǎn)到直線距離及弦長(zhǎng)公式表示面積，利用面積得到，最后利用等比數(shù)列性質(zhì)建立方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題可得，解得，所以雙曲線C的方程為；【小問(wèn)2詳解】由點(diǎn)在上可得：.聯(lián)立和整理得：，設(shè)，，則有：，，，又由直線交左右兩支各一點(diǎn)可得