概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題答案

./概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題一1．略.見教材習(xí)題參考答案.2.設(shè)A,B,C為三個事件,試用A,B,C的運算關(guān)系式表示下列事件：〔1A發(fā)生,B,C都不發(fā)生；〔2A與B發(fā)生,C不發(fā)生；〔3A,B,C都發(fā)生；〔4A,B,C至少有一個發(fā)生；〔5A,B,C都不發(fā)生；〔6A,B,C不都發(fā)生；〔7A,B,C至多有2個發(fā)生；〔8A,B,C至少有2個發(fā)生.[解]〔1A〔2AB〔3ABC〔4A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=<5>=<6><7>BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪<8>AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.略.見教材習(xí)題參考答案4.設(shè)A,B為隨機事件,且P〔A=0.7,P<AB>=0.3,求P〔.[解]P〔=1P〔AB=1[P<A>P<AB>]=1[0.70.3]=0.65.設(shè)A,B是兩事件,且P〔A=0.6,P<B>=0.7,求：〔1在什么條件下P〔AB取到最大值？〔2在什么條件下P〔AB取到最小值？[解]〔1當(dāng)AB=A時,P〔AB取到最大值為0.6.〔2當(dāng)A∪B=Ω時,P〔AB取到最小值為0.3.6.設(shè)A,B,C為三事件,且P〔A=P〔B=1/4,P〔C=1/3且P〔AB=P〔BC=0,P〔AC=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.[解]P〔A∪B∪C=P<A>+P<B>+P<C>P<AB>P<BC>P<AC>+P<ABC>=++=7.從52撲克牌中任意取出13,問有5黑桃,3紅心,3方塊,2梅花的概率是多少？[解]p=8.對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：〔1求五個人的生日都在星期日的概率；〔2求五個人的生日都不在星期日的概率；〔3求五個人的生日不都在星期日的概率.[解]〔1設(shè)A1={五個人的生日都在星期日},基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個,故P〔A1==〔5〔亦可用獨立性求解,下同〔2設(shè)A2={五個人生日都不在星期日},有利事件數(shù)為65,故P〔A2==<>5<3>設(shè)A3={五個人的生日不都在星期日}P〔A3=1P<A1>=1<>59.略.見教材習(xí)題參考答案.10.一批產(chǎn)品共N件,其中M件正品.從中隨機地取出n件〔n<N.試求其中恰有m件〔m≤M正品〔記為A的概率.如果：〔1n件是同時取出的；〔2n件是無放回逐件取出的；〔3n件是有放回逐件取出的.[解]〔1P〔A=<2>由于是無放回逐件取出,可用排列法計算.樣本點總數(shù)有種,n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序,從M件正品中取m件的排列數(shù)有種,從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為種,故P〔A=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可寫成P〔A=可以看出,用第二種方法簡便得多.〔3由于是有放回的抽取,每次都有N種取法,故所有可能的取法總數(shù)為Nn種,n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種,對于固定的一種正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M種取法,共有Mm種取法,nm次取得次品,每次都有NM種取法,共有〔NMnm種取法,故此題也可用貝努里概型,共做了n重貝努里試驗,每次取得正品的概率為,則取得m件正品的概率為11.略.見教材習(xí)題參考答案.12.50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上,其中有3個鉚釘強度太弱.每個部件用3只鉚釘.若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上,則這個部件強度就太弱.求發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？[解]設(shè)A={發(fā)生一個部件強度太弱}13.一個袋裝有大小相同的7個球,其中4個是白球,3個是黑球,從中一次抽取3個,計算至少有兩個是白球的概率.[解]設(shè)Ai={恰有i個白球}〔i=2,3,顯然A2與A3互斥.故14.有甲、乙兩批種子,發(fā)芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨機取一粒,求：〔1兩粒都發(fā)芽的概率；〔2至少有一粒發(fā)芽的概率；〔3恰有一粒發(fā)芽的概率.[解]設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽},〔i=1,2<1><2><3>15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.〔1問正好在第6次停止的概率；〔2問正好在第6次停止的情況下,第5次也是出現(xiàn)正面的概率.[解]〔1<2>16.甲、乙兩個籃球運動員,投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投了3次,求二人進球數(shù)相等的概率.[解]設(shè)Ai={甲進i球},i=0,1,2,3,Bi={乙進i球},i=0,1,2,3,則=0.3207617．從5雙不同的鞋子中任取4只,求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.[解]18.某地某天下雪的概率為0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1,求：〔1在下雨條件下下雪的概率；〔2這天下雨或下雪的概率.[解]設(shè)A={下雨},B={下雪}.〔1〔219.已知一個家庭有3個小孩,且其中一個為女孩,求至少有一個男孩的概率〔小孩為男為女是等可能的.[解]設(shè)A={其中一個為女孩},B={至少有一個男孩},樣本點總數(shù)為23=8,故或在縮減樣本空間中求,此時樣本點總數(shù)為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,現(xiàn)隨機地挑選一人,此人恰為色盲,問此人是男人的概率〔假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半.[解]設(shè)A={此人是男人},B={此人是色盲},則由貝葉斯公式21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會面,求一人要等另一人半小時以上的概率.題21圖題22圖[解]設(shè)兩人到達時刻為x,y,則0≤x,y≤60.事件"一人要等另一人半小時以上"等價于|xy|>30.如圖陰影部分所示.22.從〔0,1中隨機地取兩個數(shù),求：〔1兩個數(shù)之和小于的概率；〔2兩個數(shù)之積小于的概率.[解]設(shè)兩數(shù)為x,y,則0<x,y<1.〔1x+y<.<2>xy=<.23.設(shè)P〔=0.3,P<B>=0.4,P<A>=0.5,求P〔B｜A∪[解]24.在一個盒中裝有15個乒乓球,其中有9個新球,在第一次比賽中任意取出3個球,比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球,求第二次取出的3個球均為新球的概率.[解]設(shè)Ai={第一次取出的3個球中有i個新球},i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式,有25.按以往概率論考試結(jié)果分析,努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格,不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查,學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的,試問：〔1考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？〔2考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？[解]設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的},則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P〔A=0.8,P〔=0.2,又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P〔B|A=0.9,P〔|=0.9,故由貝葉斯公式知〔1即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%<2>即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來,接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？[解]設(shè)A={原發(fā)信息是A},則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A},則={收到信息是B}由貝葉斯公式,得27.在已有兩個球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若發(fā)現(xiàn)這球為白球,試求箱子中原有一白球的概率〔箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種[解]設(shè)Ai={箱中原有i個白球}〔i=0,1,2,由題設(shè)條件知P〔Ai=,i=0,1,2.又設(shè)B={抽出一球為白球}.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品,檢查產(chǎn)品時,一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02,一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.[解]設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品},B={產(chǎn)品被認為是合格品}由貝葉斯公式得29.某保險公司把被保險人分為三類："謹慎的","一般的","冒失的".統(tǒng)計資料表明,上述三種人在一年發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果"謹慎的"被保險人占20%,"一般的"占50%,"冒失的"占30%,現(xiàn)知某被保險人在一年出了事故,則他是"謹慎的"的概率是多少？[解]設(shè)A={該客戶是"謹慎的"},B={該客戶是"一般的"},C={該客戶是"冒失的"},D={該客戶在一年出了事故}則由貝葉斯公式得30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨立的,求加工出來的零件的次品率.[解]設(shè)Ai={第i道工序出次品}〔i=1,2,3,4.31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?[解]設(shè)必須進行n次獨立射擊.即為故n≥11至少必須進行11次獨立射擊.32.證明：若P〔A｜B=P<A｜>,則A,B相互獨立.[證]即亦即因此故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼,他們能破譯的概率分別為,,,求將此密碼破譯出的概率.[解]設(shè)Ai={第i人能破譯}〔i=1,2,3,則34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊,設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中,則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中,則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中,則飛機一定被擊落,求：飛機被擊落的概率.[解]設(shè)A={飛機被擊落},Bi={恰有i人擊中飛機},i=0,1,2,3由全概率公式,得=<0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7>0.2+<0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7>0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試驗一種新藥是否有效,把它給10個病人服用,且規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效,反之則認為無效,求：〔1雖然新藥有效,且把治愈率提高到35%,但通過試驗被否定的概率.〔2新藥完全無效,但通過試驗被認為有效的概率.[解]〔1<2>36.一架升降機開始時有6位乘客,并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：〔1A="某指定的一層有兩位乘客離開"；〔2B="沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開"；〔3C="恰有兩位乘客在同一層離開"；〔4D="至少有兩位乘客在同一層離開".[解]由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開,故所有可能結(jié)果為106種.〔1,也可由6重貝努里模型：〔26個人在十層中任意六層離開,故〔3由于沒有規(guī)定在哪一層離開,故可在十層中的任一層離開,有種可能結(jié)果,再從六人中選二人在該層離開,有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況,因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開,另一人在其余8層中任一層離開,共有種可能結(jié)果；②4人同時離開,有種可能結(jié)果；③4個人都不在同一層離開,有種可能結(jié)果,故〔4D=.故37.n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐,求下列事件的概率：〔1甲、乙兩人坐在一起,且乙坐在甲的左邊的概率；〔2甲、乙、丙三人坐在一起的概率；〔3如果n個人并排坐在長桌的一邊,求上述事件的概率.[解]〔1<2><3>38.將線段[0,a]任意折成三折,試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率[解]設(shè)這三段長分別為x,y,axy.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所構(gòu)成的圖形,有利事件集為由構(gòu)成的圖形,即如圖陰影部分所示,故所求概率為.39.某人有n把鑰匙,其中只有一把能開他的門.他逐個將它們?nèi)ピ囬_〔抽樣是無放回的.證明試開k次〔k=1,2,…,n才能把門打開的概率與k無關(guān).[證]40.把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體,在這些小立方體中,隨機地取出一個,試求它有i面涂有顏色的概率P〔Ai〔i=0,1,2,3.[解]設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色},i=0,1,2,3.在1千個小立方體中,只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的,這樣的小立方體共有8個.只有位于原立方體的棱上〔除去八個角外的小立方體是兩面涂色的,這樣的小立方體共有12×8=96個.同理,原立方體的六個面上〔除去棱的小立方體是一面涂色的,共有8×8×6=384個.其余1000〔8+96+384=512個部的小立方體是無色的,故所求概率為,.41.對任意的隨機事件A,B,C,試證P〔AB+P〔ACP〔BC≤P<A>.[證]42.將3個球隨機地放入4個杯子中去,求杯中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概率.[解]設(shè)={杯中球的最大個數(shù)為i},i=1,2,3.將3個球隨機放入4個杯子中,全部可能放法有43種,杯中球的最大個數(shù)為1時,每個杯中最多放一球,故而杯中球的最大個數(shù)為3,即三個球全放入一個杯中,故因此或43.將一枚均勻硬幣擲2n次,求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.[解]擲2n次硬幣,可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)},B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)},C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)},A,B,C兩兩互斥.可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的,故P〔A=P〔B.所以由2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為故44.擲n次均勻硬幣,求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.[解]設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)},B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)},由對稱性知P〔A=P〔B〔1當(dāng)n為奇數(shù)時,正、反面次數(shù)不會相等.由P〔A+P〔B=1得P〔A=P〔B=0.5<2>當(dāng)n為偶數(shù)時,由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次,乙擲n次,求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.[解]令甲正=甲擲出的正面次數(shù),甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù),乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=〔甲正≤乙正=〔n+1甲反≤n乙反=〔甲反≥1+乙反=〔甲反>乙反由對稱性知P〔甲正>乙正=P〔甲反>乙反因此P<甲正>乙正>=46.證明"確定的原則"〔Surething：若P〔A|C≥P<B|C>,P<A|>≥P<B|>,則P〔A≥P<B>.[證]由P〔A|C≥P<B|C>,得即有同理由得故47.一列火車共有n節(jié)車廂,有k<k≥n>個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂至少有一個旅客的概率.[解]設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的},〔i=1,…,n,則其中i1,i2,…,in1是1,2,…,n中的任n1個.顯然n節(jié)車廂全空的概率是零,于是故所求概率為48.設(shè)隨機試驗中,某一事件A出現(xiàn)的概率為ε>0.試證明：不論ε>0如何小,只要不斷地獨立地重復(fù)做此試驗,則A遲早會出現(xiàn)的概率為1.[證]在前n次試驗中,A至少出現(xiàn)一次的概率為49.袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣〔次品硬幣的兩面均印有國徽.在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？[解]設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國徽}B={這只硬幣為正品}由題知則由貝葉斯公式知50.巴拿赫〔Banach火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根的概率又有多少？[解]以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件,則有.〔1發(fā)現(xiàn)一盒已空,另一盒恰剩r根,說明已取了2nr次,設(shè)n次取自B1盒〔已空,nr次取自B2盒,第2nr+1次拿起B(yǎng)1,發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗,則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對稱性〔即也可以是B2盒先取空.〔2前2nr1次取火柴,有n1次取自B1盒,nr次取自B2盒,第2nr次取自B1盒,故概率為51.求n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.[解]設(shè)在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率,則只要將兩式相加,即得.52.設(shè)A,B是任意兩個隨機事件,求P{〔+B〔A+B〔+〔A+}的值.[解]因為〔A∪B∩〔∪=A∪B〔∪B∩〔A∪=AB∪所求故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨立的三事件,A,B和C滿足條件：ABC=,P<A>=P<B>=P<C><1/2,且P〔A∪B∪C=9/16,求P〔A.[解]由故或,按題設(shè)P〔A<,故P〔A=.54.設(shè)兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,求P〔A.[解]①②故故③由A,B的獨立性,及①、③式有故故或〔舍去即P〔A=.55.隨機地向半圓0<y<<a為正常數(shù)>擲一點,點落在半圓任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點和該點的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？[解]利用幾何概率來求,圖中半圓面積為πa2.陰影部分面積為故所求概率為56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品,從中任取兩件,已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.[解]設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品},B={另一件也是不合格品}57.設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表,其中女生的報名表分別為3份、7份和5份.隨機地取一個地區(qū)的報名表,從中先后抽出兩份.〔1求先抽到的一份是女生表的概率p；〔2已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.[解]設(shè)Ai={報名表是取自第i區(qū)的考生},i=1,2,3.Bj={第j次取出的是女生表},j=1,2.則<1><2>而故58.設(shè)A,B為隨機事件,且P〔B>0,P<A|B>=1,試比較P<A∪B>與P<A>的大小.<2006研考>解：因為所以.習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球,編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大,寫出隨機變量X的分布律.[解]故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣,以X表示取出的次品個數(shù),求：〔1X的分布律；〔2X的分布函數(shù)并作圖；<3>.[解]故X的分布律為X012P〔2當(dāng)x<0時,F〔x=P〔X≤x=0當(dāng)0≤x<1時,F〔x=P〔X≤x=P<X=0>=當(dāng)1≤x<2時,F〔x=P〔X≤x=P<X=0>+P<X=1>=當(dāng)x≥2時,F〔x=P〔X≤x=1故X的分布函數(shù)<3>3.射手向目標獨立地進行了3次射擊,每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù),并求3次射擊中至少擊中2次的概率.[解]設(shè)X表示擊中目標的次數(shù).則X=0,1,2,3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)4.〔1設(shè)隨機變量X的分布律為P{X=k}=,其中k=0,1,2,…,λ＞0為常數(shù),試確定常數(shù)a.〔2設(shè)隨機變量X的分布律為P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,試確定常數(shù)a.[解]〔1由分布律的性質(zhì)知故<2>由分布律的性質(zhì)知即.5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次,求：〔1兩人投中次數(shù)相等的概率;〔2甲比乙投中次數(shù)多的概率.[解]分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù),則X~b〔3,0.6,Y~b<3,0.7><1>+<2>=0.2436.設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落,任一飛機在某一時刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道,才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01<每條跑道只能允許一架飛機降落>？[解]設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù),則X~b<200,0.02>,設(shè)機場需配備N條跑道,則有即利用泊松近似查表得N≥9.故機場至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少〔利用泊松定理？[解]設(shè)X表示出事故的次數(shù),則X~b〔1000,0.00018.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.[解]設(shè)在每次試驗中成功的概率為p,則故所以.9.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時,指示燈發(fā)出信號,〔1進行了5次獨立試驗,試求指示燈發(fā)出信號的概率；〔2進行了7次獨立試驗,試求指示燈發(fā)出信號的概率.[解]〔1設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù),則X~6〔5,0.3<2>令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù),則Y~b〔7,0.310.某公安局在長度為t的時間間隔收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為〔1/2t的泊松分布,而與時間間隔起點無關(guān)〔時間以小時計.〔1求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；〔2求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.[解]〔1<2>11.設(shè)P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,試求P{Y≥1}.[解]因為,故.而故得即從而12.某教科書出版了2000冊,因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.[解]令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù),則X~b<2000,0.001>.利用泊松近似計算,得13.進行某種試驗,成功的概率為,失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù),試寫出X的分布律,并計算X取偶數(shù)的概率.[解]14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費,而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：〔1保險公司虧本的概率;〔2保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.[解]以"年"為單位來考慮.〔1在1月1日,保險公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則X~b<2500,0.002>,則所求概率為由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有<2>P<保險公司獲利不少于10000>即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P〔保險公司獲利不少于20000即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=Ae|x|,∞<x<+∞,求：〔1A值；〔2P{0<X<1};<3>F<x>.[解]〔1由得故.<2><3>當(dāng)x<0時,當(dāng)x≥0時,故16.設(shè)某種儀器裝有三只同樣的電子管,電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f<x>=求：〔1在開始150小時沒有電子管損壞的概率；〔2在這段時間有一只電子管損壞的概率；〔3F〔x.[解]〔1<2><3>當(dāng)x<100時F〔x=0當(dāng)x≥100時故17.在區(qū)間［0,a］上任意投擲一個質(zhì)點,以X表示這質(zhì)點的坐標,設(shè)這質(zhì)點落在［0,a］中任意小區(qū)間的概率與這小區(qū)間長度成正比例,試求X的分布函數(shù).[解]由題意知X~∪[0,a],密度函數(shù)為故當(dāng)x<0時F〔x=0當(dāng)0≤x≤a時當(dāng)x>a時,F〔x=1即分布函數(shù)18.設(shè)隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測,求至少有兩次的觀測值大于3的概率.[解]X~U[2,5],即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X〔以分鐘計服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),試寫出Y的分布律,并求P{Y≥1}.[解]依題意知,即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車,有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠,所需時間X服從N〔40,102；第二條路程較長,但阻塞少,所需時間X服從N〔50,42.〔1若動身時離火車開車只有1小時,問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？〔2又若離火車開車時間只有45分鐘,問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？[解]〔1若走第一條路,X~N〔40,102,則若走第二條路,X~N〔50,42,則++故走第二條路乘上火車的把握大些.〔2若X~N〔40,102,則若X~N〔50,42,則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)X~N〔3,22,〔1求P{2<X≤5},P{4<X≤10},P{｜X｜＞2},P{X＞3};〔2確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.[解]〔1<2>c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度〔cmX~N〔10.05,0.062,規(guī)定長度在10.05±0.12為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.[解]23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X〔小時服從正態(tài)分布N〔160,σ2,若要求P{120＜X≤200}≥0.8,允許σ最大不超過多少？[解]故24.設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為F〔x=〔1求常數(shù)A,B；〔2求P{X≤2},P{X＞3}；〔3求分布密度f〔x.[解]〔1由得〔2<3>25.設(shè)隨機變量X的概率密度為f〔x=求X的分布函數(shù)F〔x,并畫出f〔x及F〔x.[解]當(dāng)x<0時F〔x=0當(dāng)0≤x<1時當(dāng)1≤x<2時當(dāng)x≥2時故26.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為〔1f<x>=ae|x|,λ>0;<2>f<x>=試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F〔x.[解]〔1由知故即密度函數(shù)為當(dāng)x≤0時當(dāng)x>0時故其分布函數(shù)<2>由得b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x≤0時F〔x=0當(dāng)0<x<1時當(dāng)1≤x<2時當(dāng)x≥2時F〔x=1故其分布函數(shù)為27.求標準正態(tài)分布的上分位點,〔1=0.01,求;〔2=0.003,求,.[解]〔1即即故〔2由得即查表得由得即查表得28.設(shè)隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.[解]Y可取的值為0,1,4,9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設(shè)P{X=k}=<>k,k=1,2,…,令求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.[解]30.設(shè)X~N〔0,1.〔1求Y=eX的概率密度；〔2求Y=2X2+1的概率密度；〔3求Y=｜X｜的概率密度.[解]〔1當(dāng)y≤0時,當(dāng)y>0時,故<2>當(dāng)y≤1時當(dāng)y>1時故<3>當(dāng)y≤0時當(dāng)y>0時故31.設(shè)隨機變量X~U〔0,1,試求：〔1Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；〔2Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).[解]〔1故當(dāng)時當(dāng)1<y<e時當(dāng)y≥e時即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為〔2由P〔0<X<1=1知當(dāng)z≤0時,當(dāng)z>0時,即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=試求Y=sinX的密度函數(shù).[解]當(dāng)y≤0時,當(dāng)0<y<1時,當(dāng)y≥1時,故Y的密度函數(shù)為33.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)如下：試填上<1>,<2>,<3>項.[解]由知②填1。由右連續(xù)性知,故①為0。從而③亦為0。即34.同時擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止,求拋擲次數(shù)X的分布律.[解]設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}?！瞚=1,2,P<Ai>=.且A1與A2相互獨立。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點}。則故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?[解]令X為0出現(xiàn)的次數(shù),設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字,則X~b<n,0.1>即得n≥22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。36.已知F〔x=則F〔x是〔隨機變量的分布函數(shù).〔A連續(xù)型；〔B離散型；〔C非連續(xù)亦非離散型.[解]因為F〔x在〔∞,+∞上單調(diào)不減右連續(xù),且,所以F〔x是一個分布函數(shù)。但是F〔x在x=0處不連續(xù),也不是階梯狀曲線,故F〔x是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選〔C37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上,隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=sinx,而在[a,b]外,f<x>=0,則區(qū)間[a,b]等于〔<A>[0,π/2];<B>[0,π];<C>[π/2,0];<D>[0,].[解]在上sinx≥0,且.故f<x>是密度函數(shù)。在上.故f<x>不是密度函數(shù)。在上,故f<x>不是密度函數(shù)。在上,當(dāng)時,sinx<0,f<x>也不是密度函數(shù)。故選〔A。38.設(shè)隨機變量X~N〔0,σ2,問：當(dāng)σ取何值時,X落入?yún)^(qū)間〔1,3的概率最大？[解]因為利用微積分中求極值的方法,有得,則又故為極大值點且惟一。故當(dāng)時X落入?yún)^(qū)間〔1,3的概率最大。39.設(shè)在一段時間進入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P〔λ,每個顧客購買某種物品的概率為p,并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立,求進入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.[解]設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y,在進入商店的人數(shù)X=m的條件下,Y~b<m,p>,即由全概率公式有此題說明：進入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布,購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布,但參數(shù)改變?yōu)棣藀.40.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1e2X在區(qū)間〔0,1上服從均勻分布.[證]X的密度函數(shù)為由于P〔X>0=1,故0<1e2X<1,即P〔0<Y<1=1當(dāng)y≤0時,FY〔y=0當(dāng)y≥1時,FY〔y=1當(dāng)0<y<1時,即Y的密度函數(shù)為即Y~U〔0,141.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=若k使得P{X≥k}=2/3,求k的取值圍.<2000研考>[解]由P〔X≥k=知P〔X<k=若k<0,P<X<k>=0若0≤k≤1,P<X<k>=當(dāng)k=1時P〔X<k=若1≤k≤3時P〔X<k=若3<k≤6,則P〔X<k=若k>6,則P〔X<k=1故只有當(dāng)1≤k≤3時滿足P〔X≥k=.42.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F<x>=求X的概率分布.〔1991研考[解]由離散型隨機變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系,可知X的概率分布為X113P0.40.40.243.設(shè)三次獨立試驗中,事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.[解]令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),若設(shè)P〔A=p,則X~b<3,p>由P〔X≥1=知P〔X=0=〔1p3=故p=44.若隨機變量X在〔1,6上服從均勻分布,則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？[解]45.若隨機變量X~N〔2,σ2,且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=.[解]故因此46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器,以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠,以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n<n≥2>臺儀器〔假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立.求〔1全部能出廠的概率α；〔2其中恰好有兩臺不能出廠的概率β；〔3其中至少有兩臺不能出廠的概率θ.[解]設(shè)A={需進一步調(diào)試},B={儀器能出廠},則={能直接出廠},AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB,且令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù),則X~6〔n,0.94,故47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語成績〔百分制近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.[解]設(shè)X為考生的外語成績,則X~N〔72,σ2故查表知,即σ=12從而X~N〔72,122故48.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2〔假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N〔220,252.試求：〔1該電子元件損壞的概率α;<2>該電子元件損壞時,電源電壓在200~240V的概率β[解]設(shè)A1={電壓不超過200V},A2={電壓在200~240V},A3={電壓超過240V},B={元件損壞}。由X~N〔220,252知由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設(shè)隨機變量X在區(qū)間〔1,2上服從均勻分布,試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY<y>.[解]因為P〔1<X<2=1,故P〔e2<Y<e4=1當(dāng)y≤e2時FY〔y=P<Y≤y>=0.當(dāng)e2<y<e4時,當(dāng)y≥e4時,即故50.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fX<x>=求隨機變量Y=eX的密度函數(shù)fY<y>.<1995研考>[解]P〔Y≥1=1當(dāng)y≤1時,當(dāng)y>1時,即故51.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fX<x>=,求Y=1的密度函數(shù)fY<y>.[解]故52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間發(fā)生故障的次數(shù)N〔t服從參數(shù)為λt的泊松分布.〔1求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；〔2求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下,再無故障運行8小時的概率Q.〔1993研考[解]〔1當(dāng)t<0時,當(dāng)t≥0時,事件{T>t}與{N<t>=0}等價,有即即間隔時間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。〔253.設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1,P{X=1}=1/8,P{X=1}=1/4.在事件{1<X<1}出現(xiàn)的條件下,X在{1,1}任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比,試求X的分布函數(shù)F〔x=P{X≤x}.<1997研考>[解]顯然當(dāng)x<1時F〔x=0；而x≥1時F〔x=1由題知當(dāng)1<x<1時,此時當(dāng)x=1時,故X的分布函數(shù)54.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分N〔μ1,σ12>,Y服從正態(tài)分布N<μ2,σ22>,且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},試比較σ1與σ2的大小.<2006研考>解：依題意,,則,.因為,即,所以有,即.習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.[解]X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.[解]X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY0123000102P<0黑,2紅,2白>=03.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F〔x,y=求二維隨機變量〔X,Y在長方形域的概率.[解]如圖題3圖說明：也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設(shè)隨機變量〔X,Y的分布密度f〔x,y=求：〔1常數(shù)A；〔2隨機變量〔X,Y的分布函數(shù)；〔3P{0≤X<1,0≤Y<2}.[解]〔1由得A=12〔2由定義,有<3>5.設(shè)隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=〔1確定常數(shù)k；〔2求P{X＜1,Y＜3}；〔3求P{X<1.5}；〔4求P{X+Y≤4}.[解]〔1由性質(zhì)有故〔2<3><4>題5圖6.設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,0.2上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為fY〔y=求：〔1X與Y的聯(lián)合分布密度；〔2P{Y≤X}.題6圖[解]〔1因X在〔0,0.2上服從均勻分布,所以X的密度函數(shù)為而所以<2>7.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F〔x,y=求〔X,Y的聯(lián)合分布密度.[解]8.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]題10圖10.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=〔1試確定常數(shù)c；〔2求邊緣概率密度.[解]〔1得.<2>11.設(shè)隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求條件概率密度fY｜X〔y｜x,fX｜Y〔x｜y.題11圖[解]所以12.袋中有五個1,2,3,4,5,從中任取三個,記這三個中最小的為X,最大的為Y.〔1求X與Y的聯(lián)合概率分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X與Y的聯(lián)合分布律如下表YYX345120300<2>因故X與Y不獨立13.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03〔1求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38<2>因故X與Y不獨立.14.設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,1上服從均勻分布,Y的概率密度為fY〔y=〔1求X和Y的聯(lián)合概率密度；〔2設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實根的概率.[解]〔1因故題14圖<2>方程有實根的條件是故X2≥Y,從而方程有實根的概率為：15.設(shè)X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命〔以小時計,并設(shè)X和Y相互獨立,且服從同一分布,其概率密度為f〔x=求Z=X/Y的概率密度.[解]如圖,Z的分布函數(shù)<1>當(dāng)z≤0時,〔2當(dāng)0<z<1時,〔這時當(dāng)x=1000時,y=<如圖a>題15圖<3>當(dāng)z≥1時,〔這時當(dāng)y=103時,x=103z〔如圖b即故16.設(shè)某種型號的電子管的壽命〔以小時計近似地服從N〔160,202分布.隨機地選取4只,求其中沒有一只壽命小于180的概率.[解]設(shè)這四只壽命為Xi<i=1,2,3,4>,則Xi~N〔160,202,從而17.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,其分布律分別為P{X=k}=p〔k,k=0,1,2,…,P{Y=r}=q〔r,r=0,1,2,….證明隨機變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=,i=0,1,2,….[證明]因X和Y所有可能值都是非負整數(shù),所以于是18.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,它們都服從參數(shù)為n,p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n,p的二項分布.[證明]方法一：X+Y可能取值為0,1,2,…,2n.方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服從兩點分布〔參數(shù)為p,則X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以,X+Y服從參數(shù)為〔2n,p>的二項分布.19.設(shè)隨機變量〔X,Y的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05<1>求P{X=2｜Y=2},P{Y=3｜X=0}；〔2求V=max〔X,Y的分布律；〔3求U=min〔X,Y的分布律；〔4求W=X+Y的分布律.[解]〔1〔2所以V的分布律為V=max<X,Y>012345P00.040.160.280.240.28<3>于是U=min<X,Y>0123P0.280.300.250.17<4>類似上述過程,有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標出現(xiàn)點〔X,Y在屏幕上服從均勻分布.〔1求P{Y＞0｜Y＞X}；〔2設(shè)M=max{X,Y},求P{M＞0}.題20圖[解]因〔X,Y的聯(lián)合概率密度為〔1<2>21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e2所圍成,二維隨機變量〔X,Y在區(qū)域D上服從均勻分布,求〔X,Y關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖[解]區(qū)域D的面積為〔X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為〔X,Y關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量〔X,Y聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61[解]因,故從而而X與Y獨立,故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX123.設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ<λ>0>的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p〔0<p<1,且中途下車與否相互獨立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求：〔1在發(fā)車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率；〔2二維隨機變量〔X,Y的概率分布.[解]<1>.<2>24.設(shè)隨機變量X和Y獨立,其中X的概率分布為X~,而Y的概率密度為f<y>,求隨機變量U=X+Y的概率密度g<u>.[解]設(shè)F〔y是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為由于X和Y獨立,可見由此,得U的概率密度為25.25.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布,求P{max{X,Y}≤1}.解：因為隨即變量服從[0,3]上的均勻分布,于是有因為X,Y相互獨立,所以推得.26.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率分布為XXY101101a00.20.1b0.200.1其中a,b,c為常數(shù),且X的數(shù)學(xué)期望E<X>=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,記Z=X+Y.求：〔1a,b,c的值；〔2Z的概率分布；〔3P{X=Z}.解<1>由概率分布的性質(zhì)知,a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由,可得.再由,得.解以上關(guān)于a,b,c的三個方程得.<2>Z的可能取值為2,1,0,1,2,,,,,,即Z的概率分布為Z21012P0.20.10.30.30.1<3>.習(xí)題四1.設(shè)隨機變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E〔X,E〔X2,E〔2X+3.[解]<1><2><3>2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品,求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.[解]設(shè)任取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則X的分布律為X012345P故3.設(shè)隨機變量X的分布律為X101Pp1p2p3且已知E〔X=0.1,E<X2>=0.9,求P1,P2,P3.[解]因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得4.袋中有N只球,其中的白球數(shù)X為一隨機變量,已知E〔X=n,問從袋中任取1球為白球的概率是多少？[解]記A={從袋中任取1球為白球},則5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f〔x=求E〔X,D〔X.[解]故6.設(shè)隨機變量X,Y,Z相互獨立,且E〔X=5,E〔Y=11,E〔Z=8,求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望.〔1U=2X+3Y+1；〔2V=YZ4X.[解]<1><2>7.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,且E〔X=E〔Y=3,D〔X=12,D〔Y=16,求E〔3X2Y,D〔2X3Y.[解]<1><2>8.設(shè)隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=試確定常數(shù)k,并求E〔XY.[解]因故k=2.9.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為fX〔x=fY〔y=求E〔XY.[解]方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨立性,得方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨立,故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機變量X,Y的概率密度分別為fX〔x=fY〔y=求〔1E〔X+Y;〔2E〔2X3Y2.[解]從而<1><2>11.設(shè)隨機變量X的概率密度為f〔x=求〔1系數(shù)c;〔2E〔X;〔3D〔X.[解]<1>由得.<2><3>故12.袋中有12個零件,其中9個合格品,3個廢品.安裝機器時,從袋中一個一個地取出〔取出后不放回,設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量X,求E〔X和D〔X.[解]設(shè)隨機變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù),則X的可能取值為0,1,2,3.為求其分布律,下面求取這些可能值的概率,易知于是,得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X〔以年計服從指數(shù)分布,概率密度為f〔x=為確保消費者的利益,工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備,工廠獲利100元,而調(diào)換一臺則損失200元,試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.[解]廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有兩個值：100元和200元故<元>.14.設(shè)X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量,且有E〔Xi=μ,D〔Xi=σ2,i=1,2,…,n,記,S2=.〔1驗證=μ,=；〔2驗證S2=；〔3驗證E〔S2=σ2.[證]<1><2>因故.<3>因,故同理因,故.從而15.對隨機變量X和Y,已知D〔X=2,D〔Y=3,Cov<X,Y>=1,計算：Cov〔3X2Y+1,X+4Y3.[解]<因常數(shù)與任一隨機變量獨立,故Cov<X,3>=Cov<Y,3>=0,其余類似>.16.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=試驗證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨立的.[解]設(shè).同理E<Y>=0.而,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性,當(dāng)|x|≤1時,當(dāng)|y|≤1時,.顯然故X和Y不是相互獨立的.17.設(shè)隨機變量〔X,Y的分布律為XXY1011011/81/81/81/801/81/81/81/8驗證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨立的.[解]聯(lián)合分布表中含有零元素,X與Y顯然不獨立,由聯(lián)合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表.X101PY101PXY101P.由期望定義易得E〔X=E〔Y=E〔XY=0.從而E<XY>=E<X>·E<Y>,再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0,從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.18.設(shè)二維隨機變量〔X,Y在以〔0,0,〔0,1,〔1,0為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布,求Cov〔X,Y,ρXY.[解]如圖,SD=,故〔X,Y的概率密度為題18圖從而同理而所以.從而19.設(shè)〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求協(xié)方差Cov〔X,Y和相關(guān)系數(shù)ρXY.[解]從而同理又故20.已知二維隨機變量〔X,Y的協(xié)方差矩陣為,試求Z1=X2Y和Z2=2XY的相關(guān)系數(shù).[解]由已知知：D<X>=1,D<Y>=4,Cov<X,Y>=1.從而故21.對于兩個隨機變量V,W,若E〔V2,E〔W2存在,證明：［E〔VW］2≤E〔V2E〔W2.這一不等式稱為柯西許瓦茲〔CouchySchwarz不等式.[證]令顯然可見此關(guān)于t的二次式非負,故其判別式Δ≤0,即故22.假設(shè)一設(shè)備開機后無故障工作的時間X服從參數(shù)λ=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時開機,出現(xiàn)故障時自動關(guān)機,而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機.試求該設(shè)備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數(shù)F〔y.[解]設(shè)Y表示每次開機后無故障的工作時間,由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時間X~E<λ>,E<X>==5.依題意Y=min<X,2>.對于y<0,f<y>=P{Y≤y}=0.對于y≥2,F<y>=P<X≤y>=1.對于0≤y<2,當(dāng)x≥0時,在<0,x>無故障的概率分布為P{X≤x}=1eλx,所以F<y>=P{Y≤y}=P{min<X,2>≤y}=P{X≤y}=1ey/5.23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后,求：〔1乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；〔2從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.[解]〔1Z的可能取值為0,1,2,3,Z的概率分布為,Z=k0123Pk因此,<2>設(shè)A表示事件"從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品",根據(jù)全概率公式有24.假設(shè)由自動線加工的某種零件的徑X〔毫米服從正態(tài)分布N〔μ,1,徑小于10或大于12為不合格品,其余為合格品.銷售每件合格品獲利,銷售每件不合格品虧損,已知銷售利潤T〔單位：元與銷售零件的徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑μ取何值時,銷售一個零件的平均利潤最大？[解]故得兩邊取對數(shù)有解得<毫米>由此可得,當(dāng)u=10.9毫米時,平均利潤最大.25.設(shè)隨機變量X的概率密度為f<x>=對X獨立地重復(fù)觀察4次,用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù),求Y2的數(shù)學(xué)期望.〔2002研考[解]令則.因為及,所以,從而26.兩臺同樣的自動記錄儀,每臺無故障工作的時間Ti<i=1,2>服從參數(shù)為5的指數(shù)分布,首先開動其中一臺,當(dāng)其發(fā)生故障時停用而另一臺自動開啟.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T=T1+T2的概率密度fT<t>,數(shù)學(xué)期望E〔T及方差D〔T.[解]由題意知：因T1,T2獨立,所以fT<t>=f1<t>*f2<t>.當(dāng)t<0時,fT<t>=0;當(dāng)t≥0時,利用卷積公式得故得由于Ti~E<5>,故知E<Ti>=,D<Ti>=<i=1,2>因此,有E<T>=E<T1+T2>=.又因T1,T2獨立,所以D〔T=D〔T1+T2=.27.設(shè)兩個隨機變量X,Y相互獨立,且都服從均值為0,方差為1/2的正態(tài)分布,求隨機變量|XY|的方差.[解]設(shè)Z=XY,由于且X和Y相互獨立,故Z~N〔0,1.因而,所以.28.某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為p<0<p<1>,各產(chǎn)品合格與否相互獨立,當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時,即停機檢修.設(shè)開機后第一次停機時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為X,求E〔X和D〔X.[解]記q=1p,X的概率分布為P{X=i}=qi1p,i=1,2,…,故又所以題29圖29.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布在點〔0,1,〔1,0及〔1,1為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布.〔如圖,試求隨機變量U=X+Y的方差.[解]D<U>=D<X+Y>=D<X>+D<Y>+2Cov<X,Y>=D<X>+D<Y>+2[E<XY>E<X>·E<Y>].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為從而因此同理可得于是30.設(shè)隨機變量U在區(qū)間[2,2]上服從均勻分布,隨機變量X=Y=試求〔1X和Y的聯(lián)合概率分布；〔2D〔X+Y.[解]〔1為求X和Y的聯(lián)合概率分布,就要計算〔X,Y的4個可能取值<1,1>,<1,1>,<1,1>及<1,1>的概率.P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1}P{X=1,Y=1}=P{U≤1,U>1}=P{}=0,P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.<2>因,而X+Y及〔X+Y2的概率分布相應(yīng)為,.從而所以31.設(shè)隨機變量X的概率密度為f<x>=,〔∞<x<+∞<1>求E〔X及D〔X；〔2求Cov<X,|X|>,并問X與|X|是否不相關(guān)？〔3問X與|X|是否相互獨立,為什么？[解]<1><2>所以X與|X|互不相關(guān).<3>為判斷|X|與X的獨立性,需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷,為此,對定義域∞<x<+∞中的子區(qū)間〔0,+∞上給出任意點x0,則有所以故由得出X與|X|不相互獨立.32.已知隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N〔1,32和N〔0,42,且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=1/2,設(shè)Z=.〔1求Z的數(shù)學(xué)期望E〔Z和方差D〔Z；〔2求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ；〔3問X與Z是否相互獨立,為什么？[解]<1>而所以<2>因所以<3>由,得X與Z不相關(guān).又因,所以X與Z也相互獨立.33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù).[解]由條件知X+Y=n,則有D〔X+Y=D〔n=0.再由X~B<n,p>,Y~B<n,q>,且p=q=,從而有所以故=1.34.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YYX101010.070.180.150.080.320.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ.[解]由已知知E<X>=0.6,E<Y>=0.2,而XY的概率分布為YX101P0.080.720.2所以E〔XY=0.08+0.2=0.12Cov<X,Y>=E<XY>E<X>·E<Y>=0.120.6×0.2=0從而=035.對于任意兩事件A和B,0<P<A><1,0<P<B><1,則稱ρ=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：〔1事件A和B獨立的充分必要條件是ρ=0；〔2|ρ|≤1.[證]〔1由ρ的定義知,ρ=0當(dāng)且僅當(dāng)P<AB>P<A>·P<B>=0.而這恰好是兩事件A、B獨立的定義,即ρ=0是A和B獨立的充分必要條件.<2>引入隨機變量X與Y為由條件知,X和Y都服從01分布,即從而有E<X>=P<A>,E<Y>=P<B>,D<X>=P<A>·P<>,D<Y>=P<B>·P<>,Cov<X,Y>=P<AB>P<A>·P<B>所以,事件A和B的相關(guān)系數(shù)就是隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|ρ|≤1.36.設(shè)隨機變量X的概率密度為fX<x>=令Y=X2,F〔x,y為二維隨機變量〔X,Y的分布函數(shù),求：<1>Y的概率密度fY<y>；<2>Cov<X,Y>;<3>.解：<1>Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y≤0時,,；當(dāng)0＜y＜1時,,；當(dāng)1≤y<4時,；當(dāng)y≥4時,,.故Y的概率密度為<2>,,,故Cov<X,Y>=.<3>.習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲4次,點數(shù)總和記為X.估計P{10<X<18}.[解]設(shè)表每次擲的點數(shù),則從而又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而所以2.假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%,問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？[解]令而至少要生產(chǎn)n件,則i=1,2,…,n,且X1,X2,…,Xn獨立同分布,p=P{Xi=1}=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.3.某車間有同型號機床200部,每部機床開動的概率為0.7,假定各機床開動與否互不影響,開動時每部機床消耗電能15個單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).[解]要確定最低的供應(yīng)的電能量,應(yīng)先確定此車間同時開動的機床數(shù)目最大值m,而m要滿足200部機床中同時開動的機床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機床數(shù)目,則X~B〔200,查表知,m=151.所以供電能151×15=2265〔單位.4.一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk〔k=1,2,…,20,設(shè)它們是相互獨立的隨機變量,且都在區(qū)間〔0,10上服從均勻分布.記V=,求P{V＞105}的近似值.[解]易知:E<Vk>=5,D<Vk>=,k=1,2,…,20由中心極限定理知,隨機變量于是即有P{V>105}≈0.3485.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根,問其中至少有30根短于3m的概率是多少？[解]設(shè)100根中有X根短于3m,則X~B〔100,0.2從而6.某藥廠斷言,該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受這一斷言,否則就拒絕這一斷言.〔1若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？〔2若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7,問接受這一斷言的概率是多少？[解]令<1>X~B<100,0.8>,<2>X~B<100,0.7>,7.用Laplace中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中,任取1000件,其中有20件廢品的概率.[解]令1000件中廢品數(shù)X,則p=0.05,n=1000,X~B<1000,0.05>,E<X>=50,D<X>=47.5.故8.設(shè)有30個電子器件.它們的使用壽命T1,…,T30服從參數(shù)λ=0.1[單位：〔小時-1]的指數(shù)分布,其使用情況是第一個損壞第二個立即使用,以此類推.令T為30個器件使用的總計時間,求T超過350小時的概率.[解]故9.上題中的電子器件若每件為a元,那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用〔假定一年有306個工作日,每個工作日為8小時.[解]設(shè)至少需n件才夠用.則E<Ti>=10,D<Ti>=100,E<T>=10n,D<T>=100n.從而即故所以需272a元10.對于一個學(xué)生而言,來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量,設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨立,且服從同一分布.〔1求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率？〔2求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.[解]〔1以Xi<i=1,2,…,400>記第i個學(xué)生來參加會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E〔Xi=1.1,D<Xi>=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心極限定理得于是<2>以Y記有一名家長來參加會議的學(xué)生數(shù).則Y~B<400,0.8>由拉普拉斯中心極限定理得11.設(shè)男孩出生率為0.515,求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？[解]用X表10000個嬰兒中男孩的個數(shù),則X~B〔10000,0.515要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率,即求P{X≤5000}.由中心極限定理有12.設(shè)有1000個人獨立行動,每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計,在一次行動中：〔1至少有多少個人能夠進入？〔2至多有多少人能夠進入？[解]用Xi表第i個人能夠按時進入掩蔽體〔i=1,2,…,1000.令Sn=X1+X2+…+X1000.<1>設(shè)至少有m人能夠進入掩蔽體,要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95,事件由中心極限定理知：從而故所以m=900-15.65=884.35≈884人<2>設(shè)至多有M人能進入掩蔽體,要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.6