第三節(jié)-矩陣的對角化

第三節(jié)矩陣的對角化一．矩陣的對角化的概念二．矩陣的對角化判別與計算1一．矩陣的對角化的概念若n

階方陣A

與對角陣相似，則稱A

可對角化．若A

可對角化，則Am就比較容易計算了．問題：如何判別一個方陣是否可對角化？若能夠?qū)腔?，如何找可逆矩陣P？定義：2二.矩陣可對角化的判別與計算A可對角化

?A~Λ

?存在可逆矩陣

使得?A有n個線性無關的特征向量3由上面的討論可得矩陣A可對角化的充要條件

.定理1：n階方陣A可對角化?A

有n

個線性無關的特征向量．上述定理告訴我們，找可逆矩陣P，使得為對角陣，關鍵是找出A的n個線性無關的特征向量滿足此時令則4是數(shù)域P上n

階矩陣A

的所有設是齊次線性方程組不同的特征值，是否仍線性無關？的一個基礎解系，它們是A的線性無關的特征向量，我們自然會想：把這m組向量合在一起，即問題：如何判斷數(shù)域P上的n階矩陣A有沒有n個線性無關的特征向量？5定理2：證：線性無關．是數(shù)域P上n

階矩陣A

的不同的設于線性無關的特征向量，則分別是A的屬特征值，設兩邊左乘A得①6①式兩邊乘以得以上兩式相減得

從而有7由于

線性無關，則代入①式得由于

線性無關，則線性無關．從而8數(shù)域P上n

階矩陣A的屬于不同特征值對于A的不同的特征值的個數(shù)作歸納，可得到定理3：是數(shù)域P上n

階矩陣A

的設是A的屬于的不同的特征值，線性無關．線性無關的特征向量，則向量組推論1：的特征向量線性無關。9從定理3可得出如下結(jié)論：是數(shù)域P上n

階矩陣A

的所有設是齊次線性方程組不同的特征值，一定線性無關．的一個基礎解系，則A的特征向量組10①若的特征向量，從而A不可以對角化；則A沒有n個線性無關②若特征向量，從而A可以對角化；此時令則A有n個線性無關的則P為n

階可逆矩陣，且11稱為的相似標準型．注：除了主對角線元素排列次序外，A

的相似標準型是被A唯一確定的。

特別地，推論2：數(shù)域P上n

階矩陣A若有n個互異的特征值，則A可對角化。12例1已知問A

是否可對角化，若可以，求可逆矩陣P

，使得為對角陣．解：A

有兩個互異的特征值，故可對角化⑴求矩陣A的特征值.13⑵求A

的特征向量,的一個基礎解系是對于求得齊次線性方程組的一個基礎解系是對于求得齊次線性方程組14線性無關，令∴

P可逆，且15例2設(書P168—例5.3.1)判斷A是否可對角化，若可對角化，求可逆矩陣P

，使得為對角陣．解：⑴求A

的特征值16一個基礎解系為⑵求A

的特征向量,對于求得齊次線性方程組一個基礎解系為對于求得齊次線性方程組17因為3階矩陣A

有3個線性無關的特征向量，故A可對角化.⑶構造可逆矩陣P令18則或者①令則19②令③令則則20例3判斷(書P169—例5.3.2)對解：為A

的特征值對于求的一個基礎解系:因為A

只有一個線性無關的特征向量,故A不能對角化.21例4設二階方陣A滿