數(shù)學物理方程第二章(波動)

第二章波動方程§1方程的導出及其定解條件§2一維波動方程的初值問題§3半無界弦的自由振動問題§4高維波動方程的初值問題§5混合問題的分離變量法一、弦的自由振動方程的建立問題：均勻柔軟且拉緊的細弦，在平衡位置附近作微小橫振動，求不同時刻弦線的形狀?！?、方程的導出及其定解條件分析與假設：1)柔軟的細弦：弦上的任意一點僅有的張力且沿弦的切線方向。2)拉緊：指弦線在彈性范圍內，服從虎克定律。3)橫振動：指振動只有沿u軸方向的位移，可用u(x,t)表示。4)微?。褐赶疑细鼽c位移與弦長相比很小，夾角很小，即用微元法及牛頓運動定律推導：橫向：縱向：其中：得：其中：由：得：弦線無伸長，T不隨時間變化，即………一維弦振動方程或一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力和外力作用：若在平面上放一個框架，其上一塊均勻的緊張的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，則用類似的方法可導出其運動規(guī)律滿足稱為二維波動方程或膜振動方程其中：u(x,y,t)表示在t時刻、膜在(x,y)

點處的位移f(x,y,t)表示單位質量所受的外力a2=T/：T表示張力、為線密度對三維波動方程或聲波方程可寫出為1、初始條件及柯西問題邊界條件是弦在兩個端點的狀態(tài)或受到的約束情況，一般有三種2、邊界條件及邊值問題其中函數(shù)分別表示弦振動的初始位置和初始速度二、定解條件主要有初始條件和邊界條件第一類邊界條件：已知端點處弦的位移（運動規(guī)律）第二類邊界條件：已知端點處弦所受的垂直于弦線的外力，第三類邊界條件：已知具有彈性支承的端點處弦的位移和所受的垂直于弦線的外力式中分別代表兩端支撐的彈性系數(shù)，表示兩端受到的外力,當外力為零時，表明弦固結在彈性支承上，有：3、混合問題§2、一維波動方程的初值問題

其特征方程為：得特征曲線：作變換：代入原方程可化為：從而：一、達朗貝爾公式無界弦的自由振動問題：一維波動方程的達朗貝爾公式

代回原變量：利用初始條件：積分得：解：將初始條件代入達朗貝爾公式例1：解定解問題例2、求解Cauchy問題解：原方程的特征方程為令：故兩特征線是：原方程化為：其通解為：帶回原變量得：利用初值條件得：積分得：聯(lián)立求解得：即：帶回u得：結論：達朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。代表以速度a沿x

軸正向傳播的波，稱為正行波代表以速度a沿x軸負向傳播的波，稱為反行波二、解的物理意義影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法幾個相關概念一點的影響區(qū)域三、非齊次問題的處理利用疊加原理將問題進行分解：齊次化原理：若是滿足下述定解問題的解：則：對u2可利用齊次化原理求解是下述定解問題的解從而原問題的解為令：為求解定解問題化為：§3、半無界弦的自由振動問題

一、一端固定定解問題為將邊界條件代入達朗貝爾公式，得由初速度和初始位移的獨立性，得故兩函數(shù)應為奇函數(shù)，可作奇延拓如下于是原定解問題變?yōu)橐痪S波動方程的初值問題由達朗貝爾公式得所以得解：二、一端自由定解問題為類似的，將邊界條件代入達朗貝爾公式，得由初速度和初始位移的獨立性，得故兩函數(shù)應為偶函數(shù)，可作偶延拓如下于是原定解問題變?yōu)橐痪S波動方程的初值問題由達朗貝爾公式得所以得解：§4高維波動方程的初值問題一、三維波動方程的球平均法考慮柯西問題改寫一維達朗貝爾公式上兩式恰是兩函數(shù)在以x為中心，以at為半徑的區(qū)域上的算術平均值。在以p為中心，以at為半徑的球面上作初始函數(shù)和的平均值，分別為：于是問題的形式解就應該是：其中S代表以P為中心，以r=at為半徑的球面，上式稱為三維波動方程柯西問題的泊松公式，此法也稱為球面平均法pr為計算方便，可將公式化為球坐標下的累次積分，球面的方程為設M為球面上的點，則有pr解：將初始條件代入泊松公式得例：求解三維波動方程二、二維波動方程的求解-降維法二維波動方程的初始問題其解u(x,y,t)可看成是三維柯西問題解u(x,y,z,t)與z無關的量由三維公式得由于初始函數(shù)是與z無關的柱函數(shù)，故在球面上的積分可化為球面在z=0平面上投影區(qū)域上的積分由