微專題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在高考中一般會出現(xiàn)壓軸大題因此，總結(jié)和突破導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型就顯得十分必要一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題例1已知函數(shù)f＝a－－2lna∈R1若函數(shù)f在區(qū)間[1，＋∞上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；①當a≤0時，f′<0，函數(shù)f單調(diào)遞減；②當a>0時，令g＝a2－2＋a，∵函數(shù)f在區(qū)間[1，＋∞上是單調(diào)函數(shù)，∴g≥0在區(qū)間[1，＋∞上恒成立，當且僅當＝1時取等號∴a≥1經(jīng)驗證，當a≥1時，函數(shù)f在∪[1，＋∞2討論函數(shù)f的單調(diào)性解由1可知：①當a≤0時，f′<0，函數(shù)f在0，＋∞上單調(diào)遞減；②當a≥1時，此時函數(shù)f在0，＋∞上單調(diào)遞增③當0<a<1時，由a2－2＋a＝0，反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意以下幾點1關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間2已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價3分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集4求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題例2已知函數(shù)f＝2a－ln2，∈0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R1當a＝1時，求函數(shù)f的單調(diào)區(qū)間和極值；2是否存在實數(shù)a，使f的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由解假設(shè)存在實數(shù)a，使f＝2a－ln2，∈0，e]有最小值3，①當a≤0時，因為∈0，e]，所以f′<0，f在0，e]上單調(diào)遞減，所以fmin＝fe＝2ae－ln2e＝3，解得a＝e2，滿足條件，所以fmin＝fe＝2ae－ln2e＝3，綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當∈0，e]時，f的最小值為3反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值的策略1已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義2討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f′的正負3將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值進行比較，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題例3已知函數(shù)f＝ae－ln－11設(shè)＝2是f的極值點，求a，并求f的單調(diào)區(qū)間；令f′＝0，得＝2，當0<<2時，f′<0；當>2時，f′>0所以f在0,2上單調(diào)遞減，在2，＋∞上單調(diào)遞增令g′＝0，得＝1，當0<<1時，g′<0；當>1時，g′>0所以＝1是g的最小值點故當>0時，g≥g1＝0反思感悟求解恒成立問題的策略1直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題2分離參數(shù)四、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題√解析由f′sin>fcos，得f′sin－fcos>0，∴φ在1，＋∞上單調(diào)遞增，∴φ>φ1＝0，即證原不等式成立反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的基本思路解決不等式問題，通常先構(gòu)造新函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性，從而使不等式問題得以解決五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點例5已知函數(shù)f＝e－m－，其中m為常數(shù)1若對任意∈R有f≥0恒成立，求m的取值范圍；解由題意，可知f′＝e－m－1，故當∈－∞，m時，e－m<1，f′<0，f單調(diào)遞減；當∈m，＋∞時，e－m>1，f′>0，f單調(diào)遞增故當＝m時，fm為極小值也為最小值令fm＝1－m≥0，得m≤1，即對任意∈R，f≥0恒成立時，令f′＝0，得＝mm的取值范圍是－∞，1]2當m>1時，判斷f在上零點的個數(shù)，并說明理由解f在上有兩個零點，理由如下：∵f0＝e－m>0，f0·fm<0，且f在0，m上單調(diào)遞減，∴f在0，m上有一個零點又f2m＝em－2m，令gm＝em－2m，∵當m>1時，g′m＝em－2>0，∴gm>g1＝e－2>0，即f2m>0∴fm·f2m<0，故f在上有兩個零點當m>1時，fm＝1－m<0則g′m＝em－2，∴gm在1，＋∞上單調(diào)遞增∴f在m,2m上有一個零點反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根函數(shù)的零點的策略研究方程