微專題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在高考中一般會(huì)出現(xiàn)壓軸大題因此，總結(jié)和突破導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型就顯得十分必要一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例1已知函數(shù)f＝a－－2lna∈R1若函數(shù)f在區(qū)間[1，＋∞上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；①當(dāng)a≤0時(shí)，f′<0，函數(shù)f單調(diào)遞減；②當(dāng)a>0時(shí)，令g＝a2－2＋a，∵函數(shù)f在區(qū)間[1，＋∞上是單調(diào)函數(shù)，∴g≥0在區(qū)間[1，＋∞上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)＝1時(shí)取等號(hào)∴a≥1經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f在∪[1，＋∞2討論函數(shù)f的單調(diào)性解由1可知：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′<0，函數(shù)f在0，＋∞上單調(diào)遞減；②當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f在0，＋∞上單調(diào)遞增③當(dāng)0<a<1時(shí)，由a2－2＋a＝0，反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意以下幾點(diǎn)1關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間2已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià)3分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集4求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問(wèn)題例2已知函數(shù)f＝2a－ln2，∈0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R1當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f的單調(diào)區(qū)間和極值；2是否存在實(shí)數(shù)a，使f的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f＝2a－ln2，∈0，e]有最小值3，①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)椤?，e]，所以f′<0，f在0，e]上單調(diào)遞減，所以fmin＝fe＝2ae－ln2e＝3，解得a＝e2，滿足條件，所以fmin＝fe＝2ae－ln2e＝3，綜上，存在實(shí)數(shù)a＝e2，使得當(dāng)∈0，e]時(shí)，f的最小值為3反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值的策略1已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義2討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f′的正負(fù)3將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題例3已知函數(shù)f＝ae－ln－11設(shè)＝2是f的極值點(diǎn)，求a，并求f的單調(diào)區(qū)間；令f′＝0，得＝2，當(dāng)0<<2時(shí)，f′<0；當(dāng)>2時(shí)，f′>0所以f在0,2上單調(diào)遞減，在2，＋∞上單調(diào)遞增令g′＝0，得＝1，當(dāng)0<<1時(shí)，g′<0；當(dāng)>1時(shí)，g′>0所以＝1是g的最小值點(diǎn)故當(dāng)>0時(shí)，g≥g1＝0反思感悟求解恒成立問(wèn)題的策略1直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題2分離參數(shù)四、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題√解析由f′sin>fcos，得f′sin－fcos>0，∴φ在1，＋∞上單調(diào)遞增，∴φ>φ1＝0，即證原不等式成立反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題的基本思路解決不等式問(wèn)題，通常先構(gòu)造新函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，從而使不等式問(wèn)題得以解決五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)例5已知函數(shù)f＝e－m－，其中m為常數(shù)1若對(duì)任意∈R有f≥0恒成立，求m的取值范圍；解由題意，可知f′＝e－m－1，故當(dāng)∈－∞，m時(shí)，e－m<1，f′<0，f單調(diào)遞減；當(dāng)∈m，＋∞時(shí)，e－m>1，f′>0，f單調(diào)遞增故當(dāng)＝m時(shí)，fm為極小值也為最小值令fm＝1－m≥0，得m≤1，即對(duì)任意∈R，f≥0恒成立時(shí)，令f′＝0，得＝mm的取值范圍是－∞，1]2當(dāng)m>1時(shí)，判斷f在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由解f在上有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下：∵f0＝e－m>0，f0·fm<0，且f在0，m上單調(diào)遞減，∴f在0，m上有一個(gè)零點(diǎn)又f2m＝em－2m，令gm＝em－2m，∵當(dāng)m>1時(shí)，g′m＝em－2>0，∴gm>g1＝e－2>0，即f2m>0∴fm·f2m<0，故f在上有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)m>1時(shí)，fm＝1－m<0則g′m＝em－2，∴gm在1，＋∞上單調(diào)遞增∴f在m,2m上有一個(gè)零點(diǎn)反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根函數(shù)的零點(diǎn)的策略研究方程