離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望復(fù)習(xí)引入1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)定義：一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行；2、每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)生；3、各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；4、每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率是相同的。注：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：1基本概念基本概念2、二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生次的概率為此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作~Bn,p,并稱(chēng)p為成功概率。51概率分布列一般地，假定隨機(jī)變量有n個(gè)不同的取值，它們分別是1,2,…,n且P=i=pi,（i=1,2,…,n）則稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為的分布列Xx1x2…xnPP1,p2…pn此表叫概率分布列，表格表示1、某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列：X1234P互動(dòng)探索一、離散型隨機(jī)變量取值的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為：則稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁに从沉穗x散型隨機(jī)變量取值的平均水平。試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好例1誰(shuí)的技術(shù)比較好乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好3．2011·福建福州質(zhì)檢已知某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝63，則a的值為A5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性質(zhì)知：05＋01＋b＝1，∴b＝04∴Eξ＝4×05＋a×01＋9×04＝63∴a＝答案：Cξ4a9P0.50.1b類(lèi)型一求離散型隨機(jī)變量的期望解題準(zhǔn)備：求離散型隨機(jī)變量的期望，一般分兩個(gè)步驟：①列出離散型隨機(jī)變量的分布列；②利用公式Eξ＝1p1＋2p2＋…＋ipi＋…，求出期望值．【典例1】2011·福州市高中畢業(yè)班綜合測(cè)試卷口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，三張標(biāo)有數(shù)字2，兩張標(biāo)有數(shù)字3，第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ1ξ為何值時(shí)，其發(fā)生的概率最大？說(shuō)明理由．2求隨機(jī)變量ξ的期望Eξ本題主要考查某事件發(fā)生概率的求法，以及離散型隨機(jī)變量分布列的數(shù)學(xué)期望的求法．問(wèn)題1，對(duì)ξ的取值做到不重不漏，這是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方．利用好計(jì)數(shù)原理和排列、組合數(shù)公式，求事件發(fā)生的概率，問(wèn)題2比較容易，用好離散型隨機(jī)變量分布列的數(shù)學(xué)期望公式即可．（廣東卷17）

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為．

（1）求的分布列；

（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）；

（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于473萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？高考鏈接：【解析】（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,

故的分布列為：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為依題意，，即，解得所以三等品率最多為3%設(shè)Y＝a＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．（1）Y的分布列是什么？（2）EY=？思考：···························Y＝a＋b一、離散型隨機(jī)變量取值的均值············二、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（線(xiàn)性性質(zhì)）即時(shí)訓(xùn)練：1、隨機(jī)變量的分布列是X135P0.50.30.21則E=2、隨機(jī)變量ξ的分布列是242若Y=21，則EY=58ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=75,則a=b=0401例1：已知隨機(jī)變量的分布列如下：例1籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為07，則他罰球1次的得分的均值是多少？一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，X10Pp1－p則三、例題講解兩點(diǎn)分布的期望三、例題講解變式1籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為07，則他連續(xù)罰球3次的得分的均值是多少？X0123P分析：～B（3，07）為什么呢？E=例1籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為07，則他罰球1次的得分的均值是多少？三、例題講解變式2籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為p，則他連續(xù)罰球n次的得分的均值是多少？x01…k…np……的概率分布如下：~Bn,p為什么呢？能證明它嗎？E=np證明：所以若ξ～Bn，p，則E（ξ）＝np．證明：若ξ～Bn，p，則Eξ＝np2；一般地，如果隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即～B（n,p），則E=np結(jié)論：1；一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布（1，p，則E＝p3，一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是3即時(shí)訓(xùn)練：4，隨機(jī)變量~B（8，p），已知的均值E=2，則P（=3=例2一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中摸出3個(gè)球（1）求得到黃球個(gè)數(shù)ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小結(jié)：一般地,如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則超幾何分布的數(shù)學(xué)期望例3假如你是一位商場(chǎng)經(jīng)理，在五一那天想舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，若在商場(chǎng)內(nèi)舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，可獲利2萬(wàn)元；若在商場(chǎng)外舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，則要看天氣情況:不下雨可獲利10萬(wàn)元，下雨則要損失4萬(wàn)元。氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一那天有雨的概率是40%，你應(yīng)選擇哪種促銷(xiāo)方式？解：設(shè)商場(chǎng)在商場(chǎng)外的促銷(xiāo)活動(dòng)中獲得經(jīng)濟(jì)效益為萬(wàn)元，則的分布列為0406－410PXE=10×06＋－4×04=44萬(wàn)元＞2萬(wàn)元,故應(yīng)選擇在商場(chǎng)外搞促銷(xiāo)活動(dòng)。例4：一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得5分不選或選錯(cuò)不得分，滿(mǎn)分100分學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為09，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值思路分析：設(shè)甲、乙選對(duì)題數(shù)分別為X1、X2，則甲、乙兩人的成績(jī)分別為Y1=5X1、Y2=5X2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服從什么分布？5E(X1)5E(X2)解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是1和2，則1～B20，09，2～B20，025，E1＝20×09＝18，E2＝20×025＝5．由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是51和52。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E51＝5E1＝5×18＝90，E52＝5E2＝5×5＝25．布置作業(yè)謝謝！2010·衡陽(yáng)模擬一廠家向用戶(hù)提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有n件次品，用戶(hù)先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查取出的產(chǎn)品不放回箱子，若前三次沒(méi)有抽查到次品，則用戶(hù)接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶(hù)拒絕接收這箱產(chǎn)品．1若這箱產(chǎn)品被用戶(hù)接收的概率是，求n的值；2在1的條件下，記抽檢的產(chǎn)品次品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．作業(yè)：【解】1設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶(hù)接收”為事件A，∴n＝22的可能取值為1,2,3PA=P=1=P=2=P=3=∴的概率分布列為：X123P1．2010·河南六市聯(lián)考甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試．公司規(guī)定面試合格者可簽約．甲、乙面試合格就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：1至少有