第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學習要求:1掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)2通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念3能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點1指數(shù)冪的概念1根式的概念必備知識

·

整合

方根的概念符號表示備注如果①

xn=a

,n>1,n∈N*,那么x叫做a的n次方根

當n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個②

正數(shù)

,負數(shù)的n次方根是一個③

負數(shù)

0的n次方根是0當n為偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有④

兩個

,它們互為⑤

相反數(shù)

±

負數(shù)沒有偶次方根2兩個重要公式?=??n=⑨

a

注意a必須使?有意義2有理數(shù)指數(shù)冪1分數(shù)指數(shù)冪的表示?=⑩

?

a>0,m,n∈N*,n>1,?=?

?

=?a>0,m,n∈N*,n>120的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪是?

0

,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義

3有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則iaras=?

ars

a>0,r,s∈Qiiars=?

ars

a>0,r,s∈Qiiiabr=?

arbr

a>0,b>0,r∈Q3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域

R

值域

(0,+∞)

性質(zhì)過定點

(0,1)

當x>0時,

y>1

;當x<0時,

0<y<1

當x>0時,

0<y<1

;當x<0時,

y>1

在(-∞,+∞)上是

增函數(shù)

在(-∞,+∞)上是

減函數(shù)

?提醒1當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時,需分a>1和0<a<1兩種情況

進行討論2指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點0,1,1,a,?,依據(jù)這三點的坐標可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象知識拓展判斷指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示的是指數(shù)函數(shù)1y=a,2y=b,3y=c,4y=d的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1

之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指

數(shù)函數(shù)y=aa>0,且a≠1的圖象越高,底數(shù)越大1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1?=?n=a?2-1?=-1?=??3函數(shù)y=a-a>0,且a≠1是R上的增函數(shù)?4函數(shù)y=2-1是指數(shù)函數(shù)?5若am<ana>0,且a≠1,則m<n???????2新教材人教A版必修第一冊P107T2改編設a>0,將?表示成分數(shù)指數(shù)冪,其結(jié)果是A?

B?

C?

D?C3新教材人教A版必修第一冊P115T2改編若函數(shù)f=aa>0,且a≠1的圖象

經(jīng)過點?,則f-1=?A1

B2

C?

D3C4新教材人教A版必修第一冊年內(nèi),計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加By=a1,∈NCy=a1Dy=a1,∈NB=aa>0,a≠1在區(qū)間上的最大值是最小值的2倍,則a的值是?

A?或?

B?或2C?

D2B1002?-??-?-10=-45

關(guān)鍵能力

·

突破

考點一根式、指數(shù)式的化簡與求值解析

-

+

-(

-1)0=0.3-1-49+

-1=-50+

+

=-45.22??-6??÷-3??a>0且b>0=4a

解析(2

)(-6

)÷(-3

)=

·

=4a.3化簡下列各式:1?2-2×?-00105;2?a>0,b>0解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×-

=1+-

=

.(2)原式=

=

=

.名師點評指數(shù)冪運算的一般原則1有括號的先算括號里的,無括號的先進行指數(shù)運算2先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)3底數(shù)是負數(shù)的,先確定符號;底數(shù)是小數(shù)的,先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先

化成假分數(shù)4若是根式,則化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算

性質(zhì)來解答?提醒運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負指數(shù)冪,形式要統(tǒng)一考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應用典例11在同一平面直角坐標系中,如果a>0且a≠1,那么函數(shù)f=a與g=

a-在[0,∞上的圖象可能是?

A2多選題已知實數(shù)a,b滿足等式?=?,則下列關(guān)系式中不可能成立的是

A0<b<a

Ba<b<0C0<a<b

Db<a<0CD解析(1)易知f(x)=xa為冪函數(shù),g(x)=a-x=

為指數(shù)函數(shù).g(x)=a-x=

的圖象過定點(0,1),當0<

<1,即a>1時,g(x)是減函數(shù),f(x)=xa是下凹增函數(shù),故A選項正確,B選項錯誤;當

>1,即0<a<1時,g(x)是增函數(shù),f(x)=xa是上凹增函數(shù),故C、D選項錯誤.(2)畫出函數(shù)y=

和y=

的圖象,如圖所示:結(jié)合圖象分析a,b滿足等式

=

時a,b的大小關(guān)系.易知,若a,b均為正數(shù),則a>b>0;若a,b均為負數(shù),則a<b<0;若a=b=0,則

=

=1.名師點評應用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧1畫指數(shù)函數(shù)y=aa>0,且a≠1的圖象,應抓住三個關(guān)鍵點:1,a,0,1,?2已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這

些點,若不滿足,則排除3對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入

手,通過平移、伸縮、與1的大小關(guān)系

不確定時,應注意分類討論4有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往要作出相應的指數(shù)型函數(shù)圖象,運用數(shù)形結(jié)合的思想求解=a-a2aa>0且a≠1的圖象不可能是?

D解析

當0<a<1時,函數(shù)y=ax-a2+a為減函數(shù),取x=0,則y=a0-a2+a=-

+

,又0<a<1,所以1<-

+

≤

,故C中圖象可能,D中圖象不可能;當a>1時,函數(shù)y=ax-a2+a為增函數(shù),取x=0,則y=a0-a2+a=-

+

,又a>1,所以-

+

<1,故A、B中圖象可能.=a-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是?

Aa>1,b<0

Ba>1,b>0C0<a<1,b>0D0<a<1,b<0D解析

由題中f=a-b的圖象可以觀察出,函數(shù)f=a-b在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1函數(shù)f=a-b的圖象是將f=a的圖象向左平移得到的,所以b<0考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用角度一比較指數(shù)式的大小典例2

2020四川成都七中高三模擬已知a=?,b=?,c=2?,則?Ab<a<c

Ba<b<cCb<c<a

Dc<a<bA解析

a=

=1

,b=

=1

,c=2

,因為冪函數(shù)y=

在R上單調(diào)遞增,所以a<c,因為指數(shù)函數(shù)y=16x在R上單調(diào)遞增,所以b<a,即b<a<c.角度二解簡單的指數(shù)方程或不等式典例3設函數(shù)f=?1解不等式f<?;2求函數(shù)f的值域解析(1)因為f(x)=

=1+

<

,所以4x+1<3,即22x<21,所以x<

,即不等式的解集為

.(2)因為f(x)=1+

,4x>0,所以4x+1>1,-2<

<0,-1<1+

<1,所以f(x)的值域為(-1,1).角度三與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性典例4函數(shù)f=?的單調(diào)遞增區(qū)間為?A?

B?C?D?C解析

由-x2+x+1≥0得

≤x≤

,∴f(x)的定義域為

.∵y=-x2+x+1在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,∴t=

在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,又y=

在R上單調(diào)遞減,∴f(x)=

的單調(diào)遞增區(qū)間為

.角度四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題典例5已知定義在R上的函數(shù)f=?是奇函數(shù)1求實數(shù)a,b的值;2若對任意實數(shù),不等式f4-·2f221-<0恒成立,求實數(shù)的取值范圍解析(1)∵定義在R上的函數(shù)f(x)=

是奇函數(shù),∴f(0)=0,解得b=1.由f(-1)=-f(1),得

=-

,解得a=2.故實數(shù)a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=

=

=-

+

,∵y=2x+1在R上單調(diào)遞增,且y>1,∴f(x)在R上單調(diào)遞減.不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立即不等式f(4x-k·2x)<-f(22x+1-k)恒成立,∵f(x)是奇函數(shù),又是單調(diào)遞減函數(shù),∴4x-k·2x>k-22x+1,可得3·4x-k·2x-k>0恒成立,令t=2x(t>0),則3t2-kt-k>0(t>0)恒成立,若

≤0,則-k≥0,即k≤0;若

>0,則Δ<0,即k2+12k<0,此時無解.綜上,實數(shù)k的取值范圍是(-∞,0].名師點評指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用問題的解題策略:1比較大小問題常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值0或1比較大小2解簡單的指數(shù)型不等式要充分利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),將指數(shù)型不等式轉(zhuǎn)化

為一次、二次不等式解決3指數(shù)函數(shù)的綜合問題要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)如

奇偶性、周期性相結(jié)合,同時要特別注意,底數(shù)不確定時,應對底數(shù)進行分類

討論1多選題已知函數(shù)f=?,則下列說法正確的是?Af的圖象關(guān)于原點對稱Bf的圖象關(guān)于y軸對稱Cf的值域為-1,1D?1,2∈R,且1≠2,?<0恒成立AC解析

f(x)=

的定義域為R,關(guān)于原點對稱,又f(-x)=

=

=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,故A選項中說法正確;f(1)=

=

,f(-1)=

=-

≠f(1),所以f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱,故B選