立體幾何中的向量方法

321立體幾何中的向量方法（一）研究因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示1空間直線、平面間的平行、垂直、2夾角、3距離等位置關(guān)系用向量方法解決立體問(wèn)題lAP１．直線的方向向量換句話說(shuō),平行于直線的非零向量叫做直線的方向向量一、方向向量與法向量2、平面的法向量

AlP換句話說(shuō),與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為_(kāi)__________平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(kāi)__________平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(kāi)__________-1,-1,10,0,11,0,0練習(xí)1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系XYZ設(shè)平面EDB的法向量為利用直線的方向向量與平面的法向量表示1空間直線、平面間的平行、垂直、2夾角、3距離等位置關(guān)系用向量方法解決立體問(wèn)題lm二、空間中的平行與垂直1平行關(guān)系：線線平行l(wèi)線面平行面面平行l(wèi)m2垂直關(guān)系：線線垂直l線面垂直面面垂直總結(jié)：平行關(guān)系：總結(jié)：垂直關(guān)系：鞏固性訓(xùn)練11設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系平行垂直平行鞏固性訓(xùn)練22設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系垂直平行相交鞏固性訓(xùn)練31、設(shè)平面α的法向量為1,2,-2,平面β的法向量為-2,-4,,若，則=；若則=。2、已知，且的方向向量為2,m,1，平面的法向量為1,1/2,2,則m=3、若的方向向量為2,1,m,平面的法向量為1,1/2,2,且，則m=例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F1求證：PA//平面EDB2求證：PB平面EFDABCDPEF322立體幾何中的向量方法（2）——空間角1異面直線所成角lmlm若兩直線所成的角為,

則復(fù)習(xí)引入2線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為(),則a注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角L

將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角。如圖，向量，則二面角的大小＝〈〉或

3、二面角若二面角的大小為,

則②法向量法2、如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是______3、已知兩平面的法向量分別m=0,1,0,n=0,1,1，則兩平面所成的鈍二面角為_(kāi)_____基礎(chǔ)訓(xùn)練:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)法向量是______.6001350N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-y,則即在長(zhǎng)方體中，例1：N又在長(zhǎng)方體中，例1：如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=1求證2求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz【練習(xí)1】例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F1求證：PA//平面EDB2求證：PB平面EFD3求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F3求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ平面PBC的一個(gè)法向量為解2如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1平面PBD的一個(gè)法向量為GyADCBS【練習(xí)2】例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。【典例剖析】DBACEPxzy解：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為軸、Y軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，則【鞏固練習(xí)】1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點(diǎn),則PA與BE所成角的余弦值為_(kāi)________

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_(kāi)________

3正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點(diǎn),則二面角E-BC-A的大小是__________1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：1異面直線SA和OB所成的角的余弦值2OS與面SAB所成角的余弦值3二面角B－AS－O的余弦值OAB