第八節(jié)函數(shù)與方程

第八節(jié)函數(shù)與方程學(xué)習(xí)要求:1結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系2結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點,了解函數(shù)零點存在性定理1函數(shù)零點的概念1定義:對于函數(shù)y=f,把使①

f=0

的實數(shù)叫做函數(shù)y=f的零點2意義:方程f=0有實根?函數(shù)y=f的圖象與②

軸

有交點?函數(shù)y=f有③

零點

必備知識

·

整合

2函數(shù)零點的判定零點存在性定理一般地,如果函數(shù)y=f在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有

④

fa·fb<0

,那么函數(shù)y=f在區(qū)間⑤

a,b

內(nèi)有零點,即存在c∈

a,b,使得⑥

fc=0

,這個⑦

c

也就是方程f=0的根我們把這一結(jié)論

稱為零點存在性定理?提醒1函數(shù)的零點不是點,是方程f=0的實根2函數(shù)零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點,而不能判斷

函數(shù)的不變號零點,而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函

數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件=a2bca>0的圖象與零點的關(guān)系

Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

與x軸的交點⑧

(x1,0),

(x2,0)

⑨

(x1,0)

無交點零點個數(shù)⑩

兩個

一個

無

1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸的交點?2若函數(shù)y=f在區(qū)間a,b上有零點函數(shù)圖象連續(xù)不斷,則fa·fb<0?

3只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值?4二次函數(shù)y=a2bca≠0在b2-4ac<0時沒有零點?5函數(shù)f=lg的零點是1,0????√?2新教材人教A版必修第一冊P144T1改編下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零

點的是?

D3新教材人教A版必修第一冊P144T2改編根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以斷定方程

e-2=0e≈272的一個根所在的區(qū)間是?x-10

123ex0.3712.727.4020.12x+212345A-1,0

B0,1

C1,2

D2,3C4新教材人教A版必修第一冊P155T2改編函數(shù)f=?的零點個數(shù)為?

A0

B1

C2

D3A=2mn,若fa>0,fb>0,則函數(shù)f在區(qū)間a,b內(nèi)?A一定有零點

B一定沒有零點C可能有兩個零點

D至多有一個零點C考點一判斷函數(shù)零點的個數(shù)關(guān)鍵能力

·

突破

典例112020湖南懷化高三期末已知f是R上的偶函數(shù),fπ=f,當(dāng)0

≤≤?時,f=sin,則函數(shù)y=f-lg||的零點個數(shù)是?A12

B10

C6

D522020河北石家莊二模已知函數(shù)f=?則y=ff-3的零點個數(shù)為?A3

B4

C5

D6BC解析(1)由f(x+π)=f(x)得函數(shù)周期是π,又f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x∈

時,f(x)=sinx,因此可得f(x)=|sinx|,y=lg|x|是偶函數(shù),作出函數(shù)y=f(x)的圖象與當(dāng)x>0時,y

=lg|x|=lgx的圖象,如圖所示,

由圖象可知,當(dāng)x>0時,兩函數(shù)圖象共有5個交點,又函數(shù)y=f(x)與y=lg|x|均為偶函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)-lg|x|的零點個數(shù)是10,即函數(shù)y=f(x)-lg|x|的零點個數(shù)是10.(2)易知函數(shù)y=f(f(x))-3的零點個數(shù),即方程f(f(x))=3的實數(shù)根個數(shù),設(shè)t=f(x),則f(t)=3,作出f(x)的圖象,如圖所示,

結(jié)合圖象可知,方程f(t)=3有三個實根,t1=-1,t2=

,t3=4,則f(x)=-1有一個解,f(x)=

有一個解,f(x)=4有三個解,故方程f(f(x))=3有5個解,即y=f(f(x))-3的零點個數(shù)為5.名師點評函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法1直接求零點,令f=0,有幾個解就有幾個零點;2零點存在性定理,要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線,且fa·fb<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù);3利用圖象交點個數(shù),作出兩函數(shù)圖象,觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù)12020貴州銅仁三模函數(shù)f=ln2的零點個數(shù)是?A0

B1

C2

D3B解析

因為y=lnx與y=x2均在(0,+∞)上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=lnx+x2至

多有一個零點,又因為f

=ln

+

=-1+

<0,f(1)=ln1+1=1>0,所以f

·f(1)<0,即函數(shù)f(x)在

上有一個零點.=?的零點個數(shù)為?A3

B2

C1

D0B解析

解法一:由f(x)=0得

或

解得x=-2或x=e.因此函數(shù)f(x)共有2個零點.解法二:函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點.

考點二確定零點所在的區(qū)間典例21函數(shù)f=ln1-?的零點所在的區(qū)間是?A?

B1,e-1Ce-1,2

D2,e2設(shè)函數(shù)y=3與y=?的圖象的交點為0,y0,若0∈n,n1,n∈N,則0所在的區(qū)間是1,2

C解析(1)因為函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

在(0,+∞)上單調(diào)遞增且連續(xù),又f(e-1)=ln(e-1+1)-

=1-

<0,f(2)=ln(2+1)-

=ln3-1>0,即f(e-1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

的零點所在的區(qū)間是(e-1,2),故選C.(2)設(shè)f(x)=x3-

,則x0是函數(shù)f(x)的零點,在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=x3與y=

的圖象,如圖所示.

因為f(1)=1-

=-1<0,f(2)=8-

=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).名師點評確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法:1解方程法:當(dāng)對應(yīng)方程f=0易解時,可先解方程,然后看求得的根是否落在

給定區(qū)間內(nèi)2圖象法:把方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù),看圖象的交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間3利用函數(shù)零點存在性定理:首先看函數(shù)y=f在區(qū)間上的圖象是否連

續(xù),再看是否有fa·fb<0若有,則函數(shù)y=f在區(qū)間a,b內(nèi)必有零點4數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點來

判斷<b<c,則函數(shù)f=-a-b-b-c-c-a的兩個零點分別位于區(qū)

間Aa,b和b,c內(nèi)

B-∞,a和a,b內(nèi)Cb,c和c,∞內(nèi)

D-∞,a和c,∞內(nèi)A解析

∵a<b<c,∴fa=a-ba-c>0,fb=b-cb-a<0,fc=c-ac-b>0,即fafb<0,fbfc<

0由函數(shù)零點存在性定理可知在區(qū)間a,b,b,c內(nèi)分別存在零點,又函數(shù)f是

二次函數(shù),最多有兩個零點,因此函數(shù)f的兩個零點分別位于區(qū)間a,b和

b,c內(nèi)2-2=0的根所在的區(qū)間為?A?

B?C?

D?B解析

設(shè)f(x)=2x+2x-2,可得f(x)是R上的增函數(shù),因為f(0)=1-2=-1<0,f

=

-1>0,所以f(0)·f

<0,所以f(x)的零點在

上,即方程2x+2x-2=0的根所在的區(qū)間為

.考點三函數(shù)零點的應(yīng)用典例312020廣東海珠二模已知函數(shù)f=?函數(shù)g=m,若函數(shù)y=f-2g恰有三個零點,則實數(shù)m的取值范圍是?A?

B?C?

D?A2多選題已知函數(shù)f=?若方程f=m有四個不同的實根1,2,3,4滿足1<2<3<4,則下列說法正確的是?2=1

B??=1C34=12

4∈27,29BCD解析(1)由題意,畫出函數(shù)f(x)=

的圖象如下圖所示:

y=f(x)-2g(x)恰有三個零點,即f(x)=2g(x)有三個不等實根,即f(x)的圖象與g(x)=2mx的圖象有三個不同交點,由圖象可知,當(dāng)直線斜率在kOA,kOB之間時,有三個交

點,即kOA<2m<kOB,所以-

<2m<1,可得-

<m<

.(2)作出函數(shù)f(x)的圖象,方程f(x)=m有四個不同的實根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m有四個不同的交點,如圖所示:

由圖象可知|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,且1<x1<2<x2<3,所以log2(x1-1)=-log2(x2-1),即log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,所以log2[(x1-1)(x2-1)]=0,即(x1-1)·(x2-1)=1,所以x1+x2=x1x2,所以

+

=1,故選項A錯誤,選項B正確;又x3,x4是方程

x2-6x+

=m(0<m<1)的兩根,即x3,x4是方程x2-12x+29-2m=0的兩根,所以x3+x4=12,x3x4=29-2m,因為方程f(x)=m有四個不同的實根,所以由圖可知m∈(0,1),所以x3x4=29-2m∈(27,29),故選項C,選項D均正確.名師點評1已知函數(shù)的零點求參數(shù),主要方法有:1直接求方程的根,構(gòu)建方程不等式

求參數(shù);2數(shù)形結(jié)合;3分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值2已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)

的圖象的交點個數(shù)問題,需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象,利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍若函數(shù)f=2-?-a的一個零點在區(qū)間1,2上,則實數(shù)a的取值范圍是?

A1,3

B1,2C0,3

D0,2C解析

因為函數(shù)f(x)=2x-

-a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x-

-a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)<0,所以-a(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.直觀想象——數(shù)形結(jié)合在解決函數(shù)零點問題中的應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)

·

提升

2020天津,9,5分已知函數(shù)f=?若函數(shù)g=f-|2-2|∈R恰有4個零點,則的取值范圍是?A?∪2?,∞

B?∪0,2?C-∞,0∪0,2?

D-∞,0∪2?,∞D(zhuǎn)解析

令h(x)=|kx2-2x|,函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個零點,即y=f(x)與y=h(x)的圖象恰有4個不同交點.當(dāng)k=-

時,h(x)=

=

,在同一直角坐標(biāo)系中作出y=f(x),y=h(x)的圖象如圖.

由圖可知y=f(x)與y=h(x)的圖象恰有4個不同交點,即函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個零點,排除A,B;當(dāng)k=1時,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)與y=f(x)的圖象如圖所示.

此時,函數(shù)y=f(x)與y=h(x)的圖象僅有2個交點,不合題意,排除C,故選D.

本題把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為了兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,再借助

于函數(shù)的圖象解決問題,這是解決函數(shù)零點問題最常用的方法,提升了直觀想

象素養(yǎng)?=?若方程f-2m=0恰有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是?A2,∞

B4,∞C2,4

D3,4A解析

畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.當(dāng)x>0時,f(x)=x+

≥4.設(shè)g(x)=2m,則方程f(x)-2m=0恰有三個不同的實數(shù)根,即f(x)和g(x)=2m的圖象有三個交點.由圖象可知,2m>4,即m>2,故實數(shù)m的