正態(tài)分布省賽一等獎(jiǎng)

24正態(tài)分布高二數(shù)學(xué)選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率。離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。引入100個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖252352529525355254152547525535產(chǎn)品尺寸（mm頻率組距復(fù)習(xí)回顧200個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖252352529525355254152547525535產(chǎn)品尺寸（mm頻率組距復(fù)習(xí)回顧樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品尺寸mm總體密度曲線復(fù)習(xí)回顧產(chǎn)品尺寸mm總體密度曲線復(fù)習(xí)回顧高爾頓板11總體密度曲線0Y產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：1、正態(tài)曲線的定義：函數(shù)式中的實(shí)數(shù)μ、σσ>0是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，則f的圖象稱為正態(tài)曲線導(dǎo)入cdab平均數(shù)XY若用表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo),則是一個(gè)隨機(jī)變量落在區(qū)間a,b]的概率為:2正態(tài)分布的定義:如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量滿足:則稱為的正態(tài)分布正態(tài)分布由參數(shù)μ、（μ，σ2）其圖象稱為正態(tài)曲線如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記作~N（μ，σ2）在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；在測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果；在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；……；在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。m的意義產(chǎn)品尺寸mmx1x2總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的平均水平34平均數(shù)=μ產(chǎn)品尺寸(mm)總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的平均水平總體標(biāo)準(zhǔn)差反映總體隨機(jī)變量的集中與分散的程度平均數(shù)s的意義正態(tài)總體的函數(shù)表示式當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線μ（－∞，μ]（μ，+∞）（1）當(dāng)=時(shí),函數(shù)值為最大.(3)的圖象關(guān)于對(duì)稱.（2）的值域?yàn)?/p>

（4）當(dāng)∈時(shí)為增函數(shù).當(dāng)∈時(shí)為減函數(shù).012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線正態(tài)總體的函數(shù)表示式

=μ例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

ABC

DB典型例題例2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為（1）證明f是偶函數(shù)；（2）求f的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f的增減性。典型例題1、若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。2025301510xy5352、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。練一練3、正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲線在軸的上方，與軸不相交（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線=μ對(duì)稱3、正態(tài)曲線的性質(zhì)（4）曲線與軸之間的面積為1（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

2σ=05μ=-1μ=0μ=1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

=0.5=1=2μ=0若固定,大時(shí),曲線矮而胖；小時(shí),曲線瘦而高,故稱為形狀參數(shù)。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=26當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中（5）當(dāng)<μ時(shí),曲線上升;當(dāng)>μ時(shí),曲線下降并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí),以軸為漸近線,向它無(wú)限靠近3、正態(tài)曲線的性質(zhì)動(dòng)畫(huà)例3、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說(shuō)法中不正確的是（）仍然是正態(tài)曲線；的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;為概率密度曲線的總體的期望大2;為概率密度曲線的總體的方差大2。D典型例題正態(tài)曲線下的面積規(guī)律軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對(duì)稱區(qū)域面積相等。S-,-S,＝S-,-

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對(duì)稱區(qū)域面積相等。S-1,-2-1-221S1,2=S-2,-1

4、特殊區(qū)間的概率:m-am+ax=μ若X~N,則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說(shuō)明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^(guò)5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。例4、在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即~N90,100（1）試求考試成績(jī)位于區(qū)間70,110上的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?0,100間的考生大約有多少人？典型例題2、已知~N0,1，則在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于（）A09544B00456C09772D002283、設(shè)離散型隨機(jī)變量~N0,1,則=,=4、若~(yú)N5,1,求P6<<7D05095441、已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績(jī)X~據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]C課堂練習(xí)6.已知，且，則等于()A.0.1