第二章第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二章函數(shù)、導數(shù)及其應用第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值抓基礎明考向提能力教你一招我來演練

考

什

么1.理解函數(shù)的單調(diào)性，會討論和證明函數(shù)的單調(diào)性．2.理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義，并能求函數(shù)的最大(小)值.怎

么

考1.利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、

求變量的取值是歷年高考考查的熱點．2.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，及利用它們求參數(shù)取值范圍

問題是重點，也是難點．3.題型以選擇題和填空題為主，與導數(shù)交匯命題則會以解答

題的形式出現(xiàn).一、函數(shù)的單調(diào)性1．單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f1<f2f1>f2增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是

自左向右看圖象是

逐漸上升逐漸下降2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f在區(qū)間D上是或，則稱函數(shù)f在這一區(qū)間上具有嚴格的單調(diào)性，叫做f的單調(diào)區(qū)間．增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D二、函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意x∈I，都有

②存在x0∈I，使得

①對于任意x∈I，都有②存在x0∈I，使得

結(jié)論M為最大值M為最小值f≤Mf0＝Mf≥Mf0＝M答案：A答案：D答案：D答案：84．教材習題改編f＝2－2∈的單調(diào)增區(qū)間為________；fma＝________解析：函數(shù)f的對稱軸：＝1，單調(diào)增區(qū)間為，fma＝f－2＝f4＝8答案：－1,0∪0,11．函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性，從定義上看，是指函數(shù)在定義域的某個子區(qū)間上的單調(diào)性，是局部的特征．在某個區(qū)間上單調(diào)，在整個定義域上不一定單調(diào)．2．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域．對于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復合函數(shù)，應根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．B若把題中區(qū)間變?yōu)?,2時，結(jié)論如何？解：當1<<2時，y＝|－1|＝－1是增函數(shù)，其余增減性不變，故只有②為減函數(shù)．——————課堂突破保分題，分分必保！答案：B對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法1可以結(jié)合定義基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷求解．2可導函數(shù)則可以利用導數(shù)解之．但是，對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進行C答案：－∞，1]3．2012·金華質(zhì)檢函數(shù)y＝－|1－|的單調(diào)增區(qū)間為________．4．2012·衢州調(diào)研函數(shù)f＝log22－1的單調(diào)減區(qū)間為________．解析：函數(shù)的定義域為2－1>0，即{|>1或<－1}．令u＝2－1，圖象如圖所示．由圖象知，u在－∞，－1上是減函數(shù)，在1，＋∞上是增函數(shù)．而fu＝log2u是增函數(shù)．故f＝log22－1的單調(diào)增區(qū)間是1，＋∞，單調(diào)減區(qū)間是－∞，－1．答案：－∞，－1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致．1利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．2定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間．3圖象法：如果f是以圖象形式給出的，或者f的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．4導數(shù)法：利用導數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間B—————課堂突破保分題，分分必保！f在定義域上或某一單調(diào)區(qū)間上具有單調(diào)性，則f1<f2?f1－f2<0，若函數(shù)是增函數(shù)，則f1<f2?1<2，函數(shù)不等式或方程的求解，總是想方設法去掉抽象函數(shù)的符號，化為一般不等式或方程求解，但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行．答題模板定義法判定函數(shù)單調(diào)性12分2011·上海高考已知函數(shù)f＝a·2＋b·3，其中常數(shù)a，b滿足ab≠01若ab>0，判斷函數(shù)f的單調(diào)性；2若ab<0，求f＋1>f時的取值范圍．1當a>0，b>0時，任意1，2∈R，1<2，則f1－f2＝a21－22＋b31－32． 2分∵21<22，a>0?a21－22<0， 3分31<32，b>0?b31－32<0， 4分∴f1－f2<0，函數(shù)f在R上是增函數(shù)．當a<0，b<0時，同理，函數(shù)f在R上是減函數(shù)．6分用定義法判斷或證明函數(shù)f在給定的區(qū)間D上的增減性的步驟：第一步：取值，即設1、2