第2章 矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用

第二章矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用

2.1矩陣的加減乘法2.2矩陣的逆2.3矩陣的分塊2.4初等矩陣2.5應(yīng)用實(shí)例2.6習(xí)題2.1矩陣的加減乘法2.1.1矩陣的加法定義2.1設(shè)有兩個同型的矩陣，，矩陣A與矩陣B的和記作，規(guī)定為：若，把記作，稱為A的負(fù)矩陣。顯然有：由此可定義矩陣的減法為：2.1.2矩陣的數(shù)乘定義2.2數(shù)與矩陣的乘積，簡稱數(shù)乘，記作或，規(guī)定為矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的線性運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律（A、B、C是同型矩陣，、是數(shù)）（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律

（3）（4）

（5）（6）（7）（8）數(shù)乘分配律

2.1.3矩陣的乘法定義2.3設(shè)A是矩陣，B是矩陣，那么矩陣A

和矩陣B的乘積是一個矩陣C，其中記作C=AB由定義知，只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)和第二個矩陣的行數(shù)相等，即它們的內(nèi)階數(shù)相等時，兩個矩陣才能相乘。乘積矩陣的第元素等于前一個矩陣的第行各元素與后一個矩陣的第列相應(yīng)元素乘積之和，即：定義2.4對于變量，若它們都能由變量線性表示，即有：

（2-1）則稱此關(guān)系式為變量到變量的線性變換。

可以寫成輸出向量Y等于系數(shù)矩陣A左乘輸入向量X：例2.4式（2-2）給出變量到變量的線性變換；式（2-3）給出變量到變量的線性變換。請寫出變量到變量的線性變換。

（2-2）

（2-3）

解：方法一，代換法。將式（2-3）代入式（2-2），得：

（2-4）方法二，矩陣運(yùn)算法。根據(jù)矩陣乘法的定義，可以把式（2-2）和式（2-3）分別寫為式（2-5）和式（2-6）的矩陣等式：

（2-5）

（2-6）

把式（2-6）代入式（2-5）中，得：

（2-7）

式（2-7）和式（2-4）等價。通過這個例子，可以看出矩陣乘法在線性變換中的運(yùn)用。有了矩陣乘法的定義后，可以把一般的線性方程組（1-3）寫為矩陣形式：

（2-8）

若用A表示系數(shù)矩陣，X表示未知量構(gòu)成的向量，b表示常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的向量，則式（2-8）可以化簡為：AX=b例2.5已知，，求AB，BA解：根據(jù)矩陣乘法定義，有：由于矩陣有2列，矩陣有3行，所以B不能左乘A。由矩陣乘法定義和前面的例題可以看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下（2）不能由，推出或（3）不能由，，推出在一般情況下有：矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）（3），為數(shù)（4）（5），，其中為正整數(shù)，必須為方陣。

2.1.4矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.5設(shè)是一個矩陣，將矩陣中的行換成同序數(shù)的列得到的一個矩陣，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，或。例如，，則矩陣轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律（1）（2）（3）（4）

在此只證明（4）證明：設(shè),,記，，據(jù)矩陣乘法定義及矩陣轉(zhuǎn)置定義知：而的第行就是的第列，為：，的第列就是的第行，為：，因而有即得，亦即。定義2.6如果n階方陣

滿足，則稱為對稱矩陣。如果n階方陣滿足，則稱為反對稱矩陣。顯然反對稱陣的主對角線上元素都是零。2.2矩陣的逆2.2.1逆矩陣的定義定義2.7設(shè)為n階方陣，若存在n階方陣，使得，其中為n階單位矩陣，則稱為可逆矩陣或是可逆的，并稱為的逆矩陣。如果的逆矩陣為，記，顯然，則的逆矩陣為，記，我們也稱矩陣和矩陣互逆。例2.7設(shè),,,分析矩陣和矩陣、矩陣和矩陣的關(guān)系。解：

所以，矩陣和矩陣互為逆矩陣。矩陣和矩陣也互為逆矩陣。2.2.2逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1如果矩陣可逆，則的逆矩陣唯一性質(zhì)2若和為同階方陣，且滿足則，即矩陣和矩陣互逆。性質(zhì)3若可逆，則也可逆，且性質(zhì)4若可逆，數(shù)，則可逆，且性質(zhì)5若、均為階可逆方陣，則也可逆，且

性質(zhì)6若可逆，則也可逆，且例2.8設(shè)方陣滿足，試證可逆，并求。解：根據(jù)已知條件，可以得到：則有：所以矩陣可逆，且。2.3矩陣的分塊在矩陣運(yùn)算中，特別是針對高階矩陣，常常采用矩陣分塊的方法將其簡化為較低階的矩陣運(yùn)算。用若干條縱線和橫線將矩陣分為若干個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣。比如將4×3矩陣分為,,,它們可分別表示為：

分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣類似，1．加法運(yùn)算設(shè)，都是矩陣，且將，按完全相同的方法分塊：2．?dāng)?shù)乘運(yùn)算設(shè),有：3．乘法運(yùn)算設(shè)為矩陣，為矩陣，將它們分別分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，即可以左乘。則有：其中4．轉(zhuǎn)置運(yùn)算

設(shè)有：注意分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，不僅要把每個子塊內(nèi)的元素位置轉(zhuǎn)置，而且要要把子塊本身的位置轉(zhuǎn)置。5．分塊對角矩陣如果將方陣分塊后，有以下形式：其中主對角線上的子塊均是方陣，而其余子塊全是零矩陣，則稱為分塊對角矩陣，記為。設(shè)有兩個同型且分塊方法相同的對角矩陣則有對于上面的分塊矩陣，若對角線上的所有子塊都可逆，則有：例2.9利用分塊矩陣的概念，把下列線性方程組寫成向量等式。解：線性方程組的矩陣表示為：把系數(shù)矩陣按列分成4塊：與常數(shù)矩陣分別用向量和向量來表示，則有：進(jìn)而得到向量等式：2.4初等矩陣

定義2.8單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣或初等方陣。前面介紹了三種初等變換，每一種初等變換，都有一個相對應(yīng)的初等矩陣（1）交換單位矩陣的,兩行（或,兩列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-12）

（2）用一個非零數(shù)乘單位矩