對(duì)數(shù)函數(shù)省賽一等獎(jiǎng)

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)44對(duì)數(shù)函數(shù)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)什么是對(duì)數(shù)函數(shù)【定義】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由可以得到

也是的函數(shù)而通常我們用表示自變量，用表示函數(shù)，為此，將中的字母對(duì)調(diào)，變成了

一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域是0，∞

指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化

什么是對(duì)數(shù)函數(shù)【問(wèn)題】怎樣判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？【答】抓住對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的三個(gè)結(jié)構(gòu)特征：【1】的系數(shù)為1【2】底數(shù)滿足【3】真數(shù)是自變量

為什么對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是0，∞？【答】由函數(shù)定義及解析式可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是0，∞

【1】求下列函數(shù)的定義域【解】

所以函數(shù)的定義域是

所以函數(shù)的定義域是

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【1】的圖像

0.5-110214262.58583123.585

1

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【2】的圖像

0.51102-14-28-316-4

1

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【3】和圖像

1

利用換底公式，可以得到下式：

即這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱實(shí)際上對(duì)于一般的兩個(gè)函數(shù)和

它們的圖像也是關(guān)于軸對(duì)稱的的圖像和性質(zhì)在同一坐標(biāo)系中畫出不同底數(shù)的圖像，通過(guò)圖像我們發(fā)現(xiàn)除了和的圖像關(guān)于軸對(duì)稱之外，還可以把底數(shù)分成和兩種情況來(lái)討論:

1

【問(wèn)題】怎樣畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像？【答】用三點(diǎn)法，描出

三個(gè)點(diǎn)之后，用平滑的曲線連接起來(lái)即可的圖像和性質(zhì)

過(guò)定點(diǎn)（1，0）減函數(shù)增函數(shù)①圖像都在y軸右側(cè)②都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）③無(wú)限靠近y軸但不相交④時(shí)，圖像上升⑤時(shí)，圖像下降

的圖像和性質(zhì)【注意】①對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化：

【1】比較下列各式的大小【解】

反函數(shù)【探究】觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)，定義域R,值域0,∞和對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)?,∞，值域?yàn)镽，他們的定義域和值域恰好相反，并且它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，那么我們就稱函數(shù)的反函數(shù)是，函數(shù)的反函數(shù)是這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)

【結(jié)論】一般地，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域互換

反函數(shù)【指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的比較】