2023學(xué)年完整公開課版等比數(shù)列一

等比數(shù)列

2006926一、溫故知新：1、等差數(shù)列定義：2、等差數(shù)列單調(diào)性：an－an－１=dd為常數(shù)d>0單調(diào)遞增d<0單調(diào)遞減d=0常數(shù)列二、課題引入：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示q≠0。問：數(shù)列a,a,a,a,…a∈R是否為等比數(shù)列？如果是,a必須滿足什么條件？1a＝0;它只是等差數(shù)列。2a≠0;它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。1定義：注：對(duì)定義的認(rèn)識(shí)1等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0,即a1≠0。2等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，即an≠0。3公比不為0，即q≠0。數(shù)學(xué)語(yǔ)言：an1:an=qq≠0的常數(shù)。2由定義歸納通項(xiàng)公式問：如何用a1和q表示第n項(xiàng)ana2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q…an/an-1=q其中，a1與q均不為0。由于當(dāng)n=1時(shí)上面等式兩邊均為a1，即等式也成立，說明上面公式當(dāng)n∈N*時(shí)都成立，因此它就是等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。這n-1個(gè)式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-11疊乘法（累乘法）a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…

an=a1qn-12不完全歸納法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

an=a1qn-1（n∈N﹡,q≠0）特別地，等比數(shù)列{an}中，a1≠0,q≠0若數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1=1,公比q=2,則用通項(xiàng)公式表示是：

＿＿＿＿＿＿an=2n－1上式還可以寫成可見，表示這個(gè)等比數(shù)列的各點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，如右圖所示。01234nan87654321····3例題講解:在等比數(shù)列中,3、等比中項(xiàng)

觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后者三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等比數(shù)列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。例題講解分析：可由等比數(shù)列的知識(shí)求解例３．一個(gè)等比數(shù)列的第３項(xiàng)和第４項(xiàng)分別是１２和１８，求它的第１項(xiàng)和第２項(xiàng)．分析：要求第１項(xiàng)和第２項(xiàng)，必先求公比q可利用方程的思想進(jìn)行求解。解：用｛an｝表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有解得因此，答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是例３．一個(gè)等比數(shù)列的第３項(xiàng)和第４項(xiàng)分別是１２和１８，求它的第１項(xiàng)和第２項(xiàng)．

結(jié)論：如果是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列．

證明：設(shè)數(shù)列的公比為p，的公比為q，那么數(shù)列的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為與，即與．因?yàn)樗且粋€(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列．

特別地，如果是等比數(shù)列，c是不等于０的常數(shù)，那么數(shù)列也是等比數(shù)列．探究對(duì)于例４中的等比數(shù)列與，數(shù)列也一定是等比數(shù)列嗎？是知識(shí)拓展一、通項(xiàng)公式的推廣

4、等比數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同；所有偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同。二、等比數(shù)列的性質(zhì)定義法:三、判斷等比數(shù)列的方法中項(xiàng)法:三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列