初中數(shù)學(xué)說課稿萬能模板比賽一等獎?wù)f題稿

初中數(shù)學(xué)教師基本功比賽一等獎?wù)f題稿中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來是初三師生關(guān)注的焦點，它一般有動態(tài)問題、開放性題型、探索性題型、存在性題型等類型，涉及到代數(shù)、幾何多個知識點，囊括初中重要的數(shù)學(xué)思想和方法。對于考生而言，中考壓軸題是一根標(biāo)尺，可以比較準(zhǔn)確的衡量學(xué)生綜合解題能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時它的得失，可以直接影響到學(xué)生今后的發(fā)展。下面我就2022年上海市數(shù)學(xué)中考第23題第2問進(jìn)行講評。中考題如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P

為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，

使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接

BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論;（3）設(shè)AP為X，四邊形EFGP的面積為S，求出S與X的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．.審題分析本題涉及的知識點有：折疊問題；勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。本題通過翻折將全等變換，相似構(gòu)造，勾股定理運用，融進(jìn)正方形，不失一道好的壓軸題，很值得推敲。由于此圖形是正方形，因此里面隱含著很多直角，這是學(xué)生所不注意的地方，也正是解決問題的突破口和切入點。題目的難點是學(xué)生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進(jìn)行解決，總有“老虎吃天無從下口”的感覺。用好直角三角形和構(gòu)造直角三角形是解決此題的關(guān)鍵。由于此題綜合性較強，條件較分散，對學(xué)生分析問題的能力要求較高，因此難度較大，難度系數(shù)是0.19。.解題過程同一個問題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。思路與解法一：從線段AD上有三個直角這一條件出發(fā)，運用“一線三角兩相似”這一規(guī)律（見課件），可將條件集中到△EAP與^PDH上，通過勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)來解決。解法如下：答：APDH的周長不變，為定值8.證明：設(shè)BE=a,則AE=4—a,有折疊可知PE=BE=a,:.AP=2v：2a—4,PD=4—2?√2a—4,?.?/EPG=900,λ/APE+/DPH=900.又?/PHD+/DPH=900,:ZAPE=/PHD又＜ZA=ZD=900,:AAEP?APDH.:AAEP的周長APDH的周長AEPd4+2√2θ≡4 4—a即 ?一一= .APDH的周長4—2√2a—4:APDH的周長=32~8a=8.4-a評析這種解法用的是設(shè)而不求的方法，這也是解決幾何問題的常規(guī)解法之一，解題過程中運用了勾股定理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。思路與解法二：求^PDH的周長，因為PD、DH都在正方形的邊上，所以需要將PH轉(zhuǎn)化到正方形的邊上進(jìn)行解決，因此利用輔助線構(gòu)造三角形全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解法如下：答：△PDH的周長不變，為定值8.證明：如圖2,過B作BQ⊥PH，垂足為Q.由（1）知ZAPB=ZBPH，又?ZA=ZBQP=900,BP=BP,???△ABP^△QBP.ΛAP=QP,AB=BQ.又：AB=BC,ΛBC=BQ.又?ZC=ZBQH=900,BH=BH,，△BCH之^BQH.ΛCH=QH.???△PDH的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.評析這種解法用到了作輔助線,這樣把問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，利用三角形全等的知識，得出線段PH=PQ+PH=AP+CH,把分散的問題集中到已知條件上來，從而做到了化未知為己知，使問題迎刃而解。3.總結(jié)提升：在原題的條件下，還可得以下結(jié)論：⑴求證：ZPBH=450；⑵求證：S=S +S ；APBH AABPABCH⑶當(dāng)PH=m時，則S =16—4m。ADHP證明略。評析拓展提升題有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高思維能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力，并有助于拓展思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性都得到提高。逆向探究：如圖1,現(xiàn)有一張邊長為4的正方形ABCD紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF，連接BP、BH.ADHP的周長為8.求ABPH面積的最小值。解：設(shè)ABPH的面積為S,PD=x,DH=y,貝UAP=4—X,CH=4—y,S=2S+S正方形ABCD ABPH ADHP:.16=2S+2xy.?.?HP=AP+CH,HP=(4-x)+(4-y)=8-x-y.由勾股定理得HP2=DP2+DH2,即(8-x-y)2=x2+y2.整理得y=8x-32x-82S+-x?2:16=8X-32

x—8化簡得2X2+(S-16)X+(64-8S)=0.:.A=(S-16)2-8(64-8S)≥0.S2+32S-256≥0.:.S≥16√2-16或S≤-16√2-16（舍去）。.：S≥16√2-16.:S的最小值為16V2-16.評析加強逆向思維的訓(xùn)練，可改變思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學(xué)中應(yīng)注重逆向思維的培養(yǎng)與塑造，以充分發(fā)揮學(xué)生的思考能力，訓(xùn)練其思維的敏捷性，從而激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧秘的興趣。像以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學(xué)過程中，如果有意識的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必能起道以一當(dāng)十、以少勝多的效果，增大課堂的容量，培養(yǎng)學(xué)生各方面的技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無需茫茫的題海，唯恐學(xué)生不學(xué)了。我會繼續(xù)努力深入去研究課本的例、習(xí)題和全國各地的中考試題，象學(xué)生一樣，不斷追求新知，完善自己。說題稿原題已知：如圖，AD垂直平分BC,D為垂足，DM⊥AC,DN⊥AB,M,N分別為垂足，求證：DM=DN一、說背景與價值本題選自八年級上第一章《三角形的初步知識》之《1.5三角形全等的判定4》的課內(nèi)練習(xí)2。解決此題涉及的知識有垂直的定義，垂直平分線的定義及性質(zhì)，三角形全等的判定，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等。本習(xí)題是在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形全等的判定定理“AAS”，及角平分線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上給出的。課本設(shè)置此練習(xí)的目的旨在鞏固三角形全等的判定及角平分線的性質(zhì)。大部分學(xué)生想到利用三角形全等，然而解題的方法較多，需要學(xué)生發(fā)散思維，充分聯(lián)系已知與求證，綜合運用已學(xué)的知識來解決，在眾多的方法中進(jìn)行選優(yōu)，從而獲得一定的解題經(jīng)驗。二、說教學(xué)與改進(jìn)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了三角形全等的判定定理“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，對于證明相等的線段，基本上具備了解決此題的知識儲備和技能。而學(xué)生往往會思維定勢，聯(lián)想到證明三角形全等，而忽視了此時證明的是垂線段這個重要信息，缺乏相應(yīng)的想象。學(xué)生可能的做法：1、先證明^ADCm^ADB得∠B=∠C再證明ADCMMADBN得到DM=DN;2、先證明AADCmAADB?∠CAD=∠BADj再證明ADAM^ADAN，得到DM=DN;3、先證明AadcmAADB得AD是角平分線，再利用角平分線的性質(zhì)，得到DM=DN;4、先由中垂線的性質(zhì)證明AB=AC，再由三角形的中線將三角形的面積二等分，得S =S，由DM⊥ACDN⊥AB，得到DM=DN。AADB AADC在原先的教學(xué)中，讓學(xué)生思考后回答，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是第1，2種解法，很少出現(xiàn)第3，4的解法，然后再追問，還有其他的方法嗎？能利用今天學(xué)過的知識來解決嗎？能利用角平分線的性質(zhì)嗎？終于有了第3種方法，可是學(xué)生缺乏想象，這樣的教學(xué)效果不好。針對很少學(xué)生想出方法3，方法4，以及充分發(fā)揮這道題目的價值，我在第二節(jié)課時對教學(xué)進(jìn)行了如下的改進(jìn)。首先是講解角平分線的性質(zhì)時做好鋪墊，在講解角平分線時，引導(dǎo)學(xué)生理解角平分線上的點到角兩邊的距離相等，這個距離指的是垂線段的長度。以及應(yīng)用角平分線性質(zhì)時具備3個條件：角平分線，兩條垂線段。其次在講解時讓學(xué)生說出各自的解法，當(dāng)大部分學(xué)生出現(xiàn)前兩種方法時，進(jìn)行如下的引導(dǎo)啟發(fā)。引導(dǎo)關(guān)注條件，所求證的DM=DN，與它相關(guān)的條件是什么？DM⊥ACDN⊥AB，發(fā)現(xiàn)所證明的兩條線段與眾不同，它們是垂線段，再啟發(fā)學(xué)生對垂線段展開聯(lián)想。由“垂線段”能聯(lián)想到什么？這時學(xué)生積極思考，而且有有驚喜。有了剛才的鋪墊和現(xiàn)在的啟發(fā)，有學(xué)生聯(lián)想到了剛學(xué)過的角平分線的性質(zhì)。問題轉(zhuǎn)化為證明AD是∠BAC的平分線。驚喜的是有的學(xué)生在啟發(fā)引導(dǎo)下，由垂線段聯(lián)想到了三角形的高，進(jìn)而聯(lián)想到三角形的面積。由中線將三角形的面積二等分得S =S，要證DM=DN，只需證明AB=ACoAADBAADC通過此題，有什么收獲？對于這幾種方法，你喜歡哪一種？最欣賞哪一種？師生共同提煉：1、證明相等的線段，一般可通過證明兩條線段所在的三角形全等。2、對于證明垂線段相等時，可聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)或利用三角形面積等。3、對解題方法進(jìn)行比較，讓學(xué)生從中選優(yōu)，體現(xiàn)最優(yōu)化思想。有些學(xué)生喜歡利用三角形全等，因為他最拿手，有些學(xué)生喜歡利用角平分線的性質(zhì)，因為它最直接，有些學(xué)生喜歡利用等積法，因為解法巧妙，而在幾何教學(xué)中我們也經(jīng)常利用等積法，如可由面積相等這個等量關(guān)系來解決問題，也可以利用面積相等進(jìn)行等積變形，改變圖形的形狀以便于求解，是個非常巧妙的方法。所以我對此進(jìn)行有關(guān)計算，推理的拓展與命題。設(shè)計意圖：讓學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生會反思，形成一定的解題經(jīng)驗，讓學(xué)生選優(yōu)體現(xiàn)解題方法的優(yōu)化。三、說拓展與命題拓展1 已知在RtAABD中，AD=4,BD=3,DN⊥AB,N為垂足，則DN=設(shè)計意圖：在原題的基礎(chǔ)上拓展，滲透等積法。拓展2 已知：如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,D為邊BC上一點，DM⊥AC,DN⊥AB,M,N分別為垂足，隨著點D在線段上運動，DM+DN的值是否發(fā)生改變；若改變，說出變化的情況，若不改變，求出它的值。C在原題的基礎(chǔ)上改變點D的位置，還是在BC上，但是動點，判斷這兩條垂線段的和會不會改變？此時學(xué)生很難想到通過三角形的全等，但會“截長補短”的學(xué)生可能會解決；而利用等積法來解決，是非常巧妙的做法。實質(zhì)上所求的垂線段的和就是一腰上的高。設(shè)計意圖：改變條件，使原來的點變成邊上的動點，此時學(xué)生很難想到通過三角形的全等來解決問題，而利用等積法來解決，從而發(fā)展學(xué)生解決問題的能力。.拓展3某數(shù)學(xué)興趣小組組織了以“等積變形”為的主題的課題研究。第1小組發(fā)現(xiàn)：如圖（1），點A、點B在直線l上，點C、點D在直線l上，第超且線:ABC=S“反之若S"AABD，則O!2如圖（2），點P是反比例函數(shù)y=k上任意一點，過點Px作X軸、y軸的垂線，垂足為M、N，則矩形OMPN的面積為定值k請利用上述結(jié)論解決下列問題：（1）如圖（3）,點C、D是半圓上的三等分點，圓O的半徑是2,則陰影部分的面積是 .（2）如圖（4）,四邊形ABCD是正方形，圓A的半徑是2，交邊AD于點E，則S=. .ACEF2（3）如圖（5）,點A,B在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則S = x ΔOAB第一小組討論的問題是常見的“同底等高”的兩個三角形面積相等,反之成立,類似的有“等底同高”,“等底等高”。第二小組討論的問題是反比例函數(shù)的幾何意義,圖象上的點與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積不變。3小題考查等積變形,第1題在圓中求不規(guī)則圖形面積,已經(jīng)具有平行線,學(xué)生容易想到利用等積變形,將陰影圖形轉(zhuǎn)化為扇形；第2題求三角形面積,沒有平行線,需要利用正方形對角線構(gòu)造平行線，將S轉(zhuǎn)化為S，此題也可運用割補法，等積變形顯然更巧妙。第3題是求ΔCEF ΔAEF直角坐標(biāo)系中斜放的三角形面積，利用反比例函數(shù)的幾何意義，S=S，則ΔAOCΔBODS=S。可將斜放的三角形等積變形為直角梯形,直接利用坐標(biāo)的意義求解,體現(xiàn)出ΔAOE 四邊形CDBE等積法的優(yōu)越性。設(shè)計意圖：將等積法進(jìn)行研究,了解基本圖形,滲透等積法,體驗等積法的巧妙。拓展4如圖，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把aABC沿直線BC翻折，點A的對應(yīng)點為D，拋物線y=ax2-10ax+c經(jīng)過點C，頂點M在直線BC上.（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標(biāo)；（I”）（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達(dá)式；（直線χ=5,函數(shù)表達(dá)式為y=5x2-4x+8）（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與aPCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.考查動點產(chǎn)生的面積問題。由三角形面積相等，聯(lián)想到“同底等高”，“等底同高”，“等底等高”。“同底等高”兩個三角形可以以PD為底，則點P是BC的平行線與圖象的交點“等底同高”不存在；“等底等高”第一小題證明的菱形ABCD,CD=BD,可以分別以它們?yōu)榈?，等高?lián)想到了/BDC的平分線，則點P是∠BDC的平分線與圖象的交點。設(shè)計意圖：通過此題,