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文檔簡介
2023/9/281數(shù)學(xué)物理方法概論主講教師:白璐聯(lián)系電話ailto:blu@/bailu之——(微分幾何)2023/9/282
課程特點(diǎn):
數(shù)學(xué)物理方法是物理學(xué)類、電子信息科學(xué)類和通信科學(xué)類的重要公共基礎(chǔ)課和工具。主要特色在于數(shù)學(xué)和物理的緊密結(jié)合,將數(shù)學(xué)用于實(shí)際的物理和交叉科學(xué)的實(shí)際問題的分析中,通過物理過程建立數(shù)學(xué)模型,通過求解和分析模型,對具體物理過程的深入理解。提高分析解決實(shí)際問題的能力。2023/9/283
課程內(nèi)容:第一章:微分幾何(4)第二章:線性空間(4)第三章:漸近方法(5)第四章:格林函數(shù)法(5)第五章:積分方程的解法(5)2023/9/284
課程學(xué)習(xí)目標(biāo):1、掌握微分幾何、線性空間的相關(guān)定義和本征函數(shù)集的應(yīng)用;2、掌握數(shù)學(xué)物理方程常規(guī)解法的技巧,以及特殊函數(shù)的應(yīng)用;3、掌握格林函數(shù)在數(shù)學(xué)物理方法求解中的應(yīng)用,掌握積分方程的數(shù)值求解方法,學(xué)習(xí)數(shù)值漸近方法。4、學(xué)習(xí)和提高編程分析實(shí)際問題的能力。2023/9/285
學(xué)習(xí)要求:按時到課,完成作業(yè),及時復(fù)習(xí)??己朔椒ǎ?0%平時+70%期末(閉卷)推薦用書:《數(shù)學(xué)物理方法》王一平主編,電子工業(yè)出版社《微分幾何的理論和習(xí)題》利普舒茨著,上??茖W(xué)技術(shù)出版社《微分幾何》梅向明黃敬之編,高等教育出版社《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》拜倫著,1982年,科學(xué)出版社2023/9/286第一章微分幾何
微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)展是與數(shù)學(xué)分析密切相連的,在這方面做出突出貢獻(xiàn)的有瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,法國的蒙日,德國的高斯、克萊因等。
在波的輻射、傳播、散射、反射等應(yīng)用領(lǐng)域常遇到對物體幾何形狀的分析,而微分幾何所闡明的概念和方法,在這一方面成為有力的工具。經(jīng)近300年的發(fā)展,已逐漸成為數(shù)學(xué)上獨(dú)具特色,應(yīng)用廣泛的學(xué)科。2023/9/287第一章微分幾何
微分幾何是采用微積分的方法研究幾何圖形的學(xué)科。本章重點(diǎn)討論曲面理論的基本原理。
微分幾何中,由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論,就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮小,一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的,不均勻的過程也可以變成均勻的,這些都是微分幾何特有的研究方法。
學(xué)習(xí)本章的重點(diǎn)是掌握微分幾何基本概念理解空間曲面的定義、定理及重要幾何量的計(jì)算方法。2023/9/28第一章微分幾何
微分幾何涉及用微積分方法了解空間形狀及其性質(zhì)。
微分幾何解決問題的一般思路是:
參數(shù)方程定義幾何體求導(dǎo)
從微積分導(dǎo)出能說明幾何學(xué)某些性質(zhì)的幾何量給定某些微分量求解
確定幾何體幾何量滿足的條件(微分方程)微分方程的解集即幾何體2023/9/289第一章微分幾何1、三維空間中的曲線;2、三維空間中的曲面;3、曲面的第一、二基本形式;4、曲面的曲率;5、測地線;6、張量簡述。2023/9/2810:推薦用書:《數(shù)學(xué)物理方法》王一平主編,電子工業(yè)出版社《微分幾何的理論和習(xí)題》利普舒茨著,上??茖W(xué)技術(shù)出版社《微分幾何講義》陳省身陳維恒著,北京大學(xué)出版社《微分幾何》梅向明黃敬之編,高等教育出版社第一章微分幾何2023/9/2811§1.1三維空間中的曲線
在E3
中Descartes直角坐標(biāo)系O-xyz
下運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置為其中為單位正交基向量.空間曲線定義:區(qū)間(a,b)上點(diǎn)t在映射:t
(x(t),y(t),z(t))下像的集合曲線C的表示:
§
1.1.1曲線的表示式中t
稱為C
的參數(shù)C
可用向量形式的參數(shù)方程表示為或?qū)憺榉至啃问降膮?shù)方程一、曲線的表示2023/9/2812§1.1三維空間中的曲線
假定所研究的曲線至少是t
的一階連續(xù)可微函數(shù)。
§
1.1.1曲線的表示二、正則定義:如果給定參數(shù)曲線C:,t
(a,b).若,則稱t
t0
的對應(yīng)點(diǎn)為C
的一個正則點(diǎn).若,則稱t
t0
的對應(yīng)點(diǎn)為C
的一個奇點(diǎn);若曲線上所有點(diǎn)正則,則稱C
為正則曲線,并稱參數(shù)t
為正則參數(shù).幾何意義:視參數(shù)曲線為動點(diǎn)軌跡,正則點(diǎn)的幾何意義則是當(dāng)參數(shù)在該點(diǎn)處作微小變動時動點(diǎn)的位置同時作真正的變動.2023/9/2813§1.1三維空間中的曲線§
1.1.1曲線的表示例1若參數(shù)曲線C:,t
R,則其幾何圖形僅僅表示一點(diǎn),而不是正常的曲線,此時所有的參數(shù)值對應(yīng)于圖形實(shí)體的同一點(diǎn).這是非正則曲線的極端例子.例2半徑為a,螺距為2πv的圓柱螺線,如視為動點(diǎn)的軌跡,表示為
(t)
(acos(w
t),asin(w
t),v
t),t
R,其中三個常數(shù)a
0,w
0和v
0分別為動點(diǎn)運(yùn)動的圓周半徑、角速率和向上速率.此時
(t)
(
awsin(wt),awcos(wt),v)
0,說明該參數(shù)化使之成為正則曲線?;蛘叻Q該曲線是(-
,)上的正則曲線。2023/9/2814§1.1三維空間中的曲線§
1.1.1曲線的表示例3半立方拋物線光滑曲線(t)
(t3,t2,0),t
R,則
(t)
(3t2,2t,0),故此時其奇點(diǎn)有且僅有一個:r(0).該曲線是(-
,0)和(0,)上的正則曲線。同一條曲線可有不同的參數(shù)表示。如果曲線C為
(t),用t=t
(t1)引入新參量t1,則
(t)
(t
(t1))
=1
(t1),為保障t,
t1一一對應(yīng)且為使t,
t1增加的方向均相應(yīng)于曲線正向,要求三、同一曲線的不同參數(shù)表示曲線C上一點(diǎn)如取參數(shù)t時為正則點(diǎn),則在取t1表示時也為正則點(diǎn)2023/9/2815§1.1三維空間中的曲線§
1.1.1曲線的表示
可以選取弧長作為曲線的參數(shù)并能夠方便地確定曲線的切線.是曲線切矢量的長度。注意:弧長是代數(shù)量;弧長只依賴于曲線上所選取的始末點(diǎn),而與參數(shù)的選擇無關(guān);對正則曲線可選取弧長s作為表示曲線的新參數(shù),這時切矢量為一單位矢量。四、正則曲線的意義設(shè)曲線C:
(t),t
(a,b)正則,則曲線從參數(shù)t0到t處的弧長為其中2023/9/2816§1.1三維空間中的曲線§
1.1.1曲線的表示選取弧長作為參數(shù)的曲線稱為單位速率曲線。單位速率曲線的意義類比:空間曲線——質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動軌跡參數(shù)t——時間
——質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度
——質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路程選取弧長作為曲線的參數(shù)的好處是曲線上每一點(diǎn)的切向量都是單位向量。2023/9/2817§1.1三維空間中的曲線§
1.1.1曲線的表示
t為正則參數(shù),且有
ds
=
|r¢(t)|
dt
=
a2w2
+
v2
dt
s(t)
-
s(t0)
=
òtt0
|r¢(u)|du
=
òtt0
a2w2
+
v2du
=
a2w2
+
v2(t
-
t0).點(diǎn)(a,0,0)對應(yīng)于參數(shù)t=0,故從點(diǎn)(a,0,0)計(jì)起的弧長參數(shù)
s(t)
s(0)=tsqrt(a2w2+v2)故一個螺紋對應(yīng)于參數(shù)t取值區(qū)間為[t0,t0+|2π/ω|]的長度為s(2π/ω)
s(0)=|2π/ω|sqrt(a2w2+v2)例4圓柱螺線參數(shù)化為(t)
(acos(wt),asin(wt),vt),t
R,其中三個常數(shù)a>0,w
0和v
0.試求其從點(diǎn)(a,0,0)計(jì)起的弧長參數(shù),并確定其一個螺紋的長度.解:因2023/9/2818§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量一、曲線的曲率考慮單位切向及其方向相對于弧長的變化率.定義:曲率曲率和曲率矢量的定義不依賴于正則參數(shù)的選?。实囊饬x——表征了曲線的切向量相對于弧長的轉(zhuǎn)動速度。其值的大小代表了曲線的彎曲程度。2023/9/2819§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量定義
曲率半徑;曲率矢量.其中,是與正交的單位矢。且指向曲線的凹向。曲率——曲率半徑——曲率矢量——2023/9/2820§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量一、曲線的曲率密切面方程——如果密切面上的點(diǎn)用定義
密切平面——曲線
(s)在s點(diǎn)的所構(gòu)成的平面
表示,則位于密切面內(nèi),即命為曲線在s處的從法向單位矢,它是密切面的法線。2023/9/2821§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量從切面曲線
(s)在s點(diǎn)的描述曲線密切面方向變化引入撓率密切面所構(gòu)成的平面法平面二、曲線的撓率由上式所確定的函數(shù)稱為曲線在s點(diǎn)的撓率
撓率的絕對值表示了曲線的密切面(或從法矢量)隨s的旋轉(zhuǎn)速率2023/9/2822§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量1)當(dāng)曲線以弧長為參數(shù)表示時,即三、曲線的曲率撓率的計(jì)算公式曲率撓率2)當(dāng)曲線以一般參數(shù)t表示曲率撓率2023/9/2823§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量例5對曲率非零的曲線C
而言,C
為平面曲線的充要條件是其撓率函數(shù)恒等于零.證明:只要證明“從法向量恒等于常向量”等價于“撓率函數(shù)恒等于零”,而這由
(s)
,即可得證.如果曲線的撓率恒為零,則(s)
常矢量。于是
由此得設(shè)s0是曲線上任一點(diǎn),則由上式得可見(s)位于通過s0,法線為的平面上,即其是一平面曲線。還可類似證明曲率恒為零的曲線為直線。
2023/9/2824§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量
物理意義:撓率是刻劃曲線彎曲狀況的又一個重要的幾何量,因而又可稱之為曲線的第二曲率;由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉(zhuǎn)狀況,通常說它表示了曲線的扭曲程度.當(dāng)撓率非零時,稱其倒數(shù)為撓率半徑2023/9/2825§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量
曲率、撓率的意義:沿曲線的變化告訴我們曲線自身在空間中是如何旋轉(zhuǎn)彎曲的的變化又由微分決定。由的定義所以曲率描述了方向的變化。因?yàn)槭侨S空間R3中三個相互垂直的單位向量。故R3中任一向量都是它們的線性組合,如果,如能確定a,b,c則也就確定了2023/9/2826§1.1三維空間中的曲線§
1.1.2空間曲線的重要幾何量同理的表達(dá)式中僅剩一個非零系數(shù),既然不能用已知量刻畫它,就把它定義為撓率。因?yàn)樗杂蔀榱阋驗(yàn)樗远x為曲線的撓率,則2023/9/2827§1.1三維空間中的曲線§
1.1.3曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)一、Frenet標(biāo)架在曲線上與自身幾何屬性密切相關(guān)的標(biāo)架場.Frenet標(biāo)架——
按照標(biāo)架運(yùn)動的一般規(guī)律,對于無逗留點(diǎn)的曲線r
,其Frenet標(biāo)架關(guān)于曲線弧長s
的運(yùn)動公式(作微小位移時的變換公式)為這組公式稱為Frenet
公式(曲線論基本方程),它包含了曲線幾何的最基本信息:弧長,曲率,撓率2023/9/2828§1.1三維空間中的曲線二、曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)在明確了Frenet公式之后,F(xiàn)renet標(biāo)架關(guān)于弧長的各階導(dǎo)向量在Frenet標(biāo)架下的分量就都可以用曲率、撓率以及它們的各階導(dǎo)數(shù)等幾何量具體表示出來。一階近似二階近似三階近似(Frenet
近似)意義:如果撓率正,隨s的增加曲線沿法線的正方向穿過密切面,反之則反向穿過;該曲線段近似于一段圓柱螺線,撓率正,右螺旋,負(fù),左螺旋§
1.1.3曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)2023/9/2829§1.2三維空間中的曲面一、曲面參數(shù)u,v在二維區(qū)域D內(nèi)變化時,依賴于兩個參數(shù)的矢量設(shè)端點(diǎn)的軌跡確定出的曲面可表為是D中任一固定點(diǎn)§
1.2三維空間中的曲面固定讓在D中變動得曲線曲線參數(shù)曲線網(wǎng)如果即點(diǎn)處u曲線的切向量與v曲線的切向量不平行,則稱該點(diǎn)為曲面上的正則點(diǎn)。反之為奇點(diǎn)。由正則點(diǎn)所構(gòu)成的曲面稱為正則曲面。2023/9/2830二、正則坐標(biāo)網(wǎng)對正則曲面,在點(diǎn)(u0,v0)處若根據(jù)ru和rv
的連續(xù)性,則存在該點(diǎn)的一個鄰域,使得在此鄰域內(nèi)§
1.2三維空間中的曲面于是在這塊曲面上每一點(diǎn)有惟一的一條u曲線和一條v曲線,且這兩條曲線不相切。這樣的兩族曲線構(gòu)成正則坐標(biāo)網(wǎng)。例6球面方程可表示為因?yàn)楣十?dāng)且僅當(dāng)時為零。即除球面上南北極外,球面上的經(jīng)線(等于常數(shù))和緯線(等于常數(shù))構(gòu)成正則曲線網(wǎng)?!?.2三維空間中的曲面2023/9/2831一、切平面曲面在某點(diǎn)處ru和
rv所構(gòu)成的平面為曲面在該點(diǎn)的切平面的切平面上的點(diǎn),則如果用§
1.2.1曲面的切平面與法向量上式即切平面方程。表示曲面§1.2三維空間中的曲面2023/9/2832二、法向量曲面的切平面的法線稱為曲面在切點(diǎn)處的法線。曲面的單位法向量為§
1.2.1曲面的切平面與法向量正負(fù)號取決于法線正方向的選取。在電磁理論與天線工程中研究反射面或波面時,總?cè)∑湔蛑赶虿ㄔ础G娣ㄏ蛄恳矟M足參數(shù)變換下的不變性。如果在一種參數(shù)描述下某點(diǎn)為正則點(diǎn),則在另一種參數(shù)描述下一定也是正則的?!?.2三維空間中的曲面2023/9/2833一、一些常見的曲面1)橢圓錐面§
1.2.2曲面舉例2)橢圓拋物面3)橢球面4)雙曲拋物面5)單葉雙曲面6)雙葉雙曲面§1.2三維空間中的曲面2023/9/28341)橢圓錐面§
1.2.2曲面舉例§1.2三維空間中的曲面programtuo_yuan_zhuiusemsimsl integeri,j real*8x,y,z,theta1,theta2,f open(10,file="1橢圓錐面.txt") write(10,*)"x","y","z" write(*,*)"請輸入兩個張角(用角度表示):" read(*,*)theta1,theta2 theta1=theta1*3.1415926535897932384626433832795/180. theta2=theta2*3.1415926535897932384626433832795/180. doi=0,50 doj=0,360,5 f=j*3.1415926535897932384626433832795/180. z=i*(5./50.) x=z*dcos(f)*dtan(theta1)y=z*dsin(f)*dtan(theta2) write(10,11)x,y,z enddo enddo11format(1x,3(f9.5,5x))end2023/9/2835§
1.2.2曲面舉例2)橢圓拋物面§1.2三維空間中的曲面a=2,b=3x=-15:0.1:15;y=-20:0.1:20;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(X./2).^2+(Y./3).^2;surfc(X,Y,Z);shadinginterp;%hiddenonxlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');colormapdefault;title('橢圓拋物面');axisequal;2023/9/2836§
1.2.2曲面舉例3)橢球面§1.2三維空間中的曲面xc=0;yc=0;zc=0;xr=5;yr=4;zr=3;[X,Y,Z]=ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,100);surf(X,Y,Z);shadinginterp;colormapcopper;title('橢球面');axisequal;2023/9/2837§
1.2.2曲面舉例§1.2三維空間中的曲面4)雙曲拋物面X=-10:0.1:10;Y=-15:0.1:15;[x,y]=meshgrid(x,y);Z=(x./2).^2-(y./3).^2;Surfc(x,y,z);Shadinginterp;Xlabel(‘X’);ylabel(‘y’);ylabel(‘z’);Colormapjet;a=2,b=32023/9/2838§
1.2.2曲面舉例5)單葉雙曲面§1.2三維空間中的曲面programdan_ye_shuang_qu_mianusemsimsl integeri,j realx,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file="5單葉雙曲面.txt") write(10,*)"x","y","z" write(*,*)"請輸入三個參量:(a,b,c)" read(*,*)a,b,c !a=2.d0 !b=2.d0 !c=2.0 dou=-2,2,0.1 doj=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*cosh(u)*cos(fai) y=b*cosh(u)*sin(fai) z=c*sinh(u) write(10,11)x,y,z enddo enddo11format(1x,3(f9.5,5x))End2023/9/2839§
1.2.2曲面舉例6)雙葉雙曲面§1.2三維空間中的曲面這里取programshuang_ye_shuang_qu_mianusemsimsl integeri,j realx,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file="6雙葉雙曲面.txt") write(10,*)"x","y","z" !write(*,*)"請輸入二個參量:(a,b,c)" !read(*,*)a
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