二因素模型下可決系數(shù)平方研究計(jì)算 應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)

二因素模型下可決系數(shù)平方研究計(jì)算摘要：兩個(gè)及兩個(gè)以上控制變量對(duì)觀測(cè)變量產(chǎn)生顯著影響的被稱(chēng)作多因素方差分析。多因素方差分析不僅能夠分析多個(gè)因素對(duì)觀測(cè)變量產(chǎn)生的獨(dú)立影響，而且能夠分析多個(gè)控制因素的交互作用對(duì)觀測(cè)變量的分布是否會(huì)產(chǎn)生顯著影響，找到最有利于觀測(cè)變量的最優(yōu)組合?？蓻Q系數(shù)（即復(fù)可決系數(shù)或多重可決系數(shù)）為解釋變差占總變差的比重，用來(lái)表示解釋變量對(duì)被解釋變量的解釋程度?？蓻Q系數(shù)可以作為綜合度量回歸模型對(duì)樣本觀測(cè)值擬合優(yōu)度的度量指標(biāo)。關(guān)鍵詞：二因素模型；可決系數(shù)；修正可決系數(shù)StudyandcalculationoftheSquareofthedeterminablecoefficientundertheTwo-FactorModelAbsrtact:Twoormorecontrolvariableshaveasignificanteffectontheobservedvariables,whicharecalledmultivariateanova.Multi-factoranalysisofvariancecannotonlyanalyzetheindependenteffectsofmultiplefactorsontheobservedvariables,andcananalyzemultiplecontrolfactorsintheinteractionofthedistributionofobservationvariableswillhaveasignificantimpact,findthemostbeneficialtotheoptimalcombinationoftheobservedvariables.Thecoefficientofdetermination(i.e.,thecomplexormultipledeterministiccoefficient)isusedtoexplainthedegreeofexplanatoryvariabletotheexplainedvariable.Thecoefficientofdeterminationcanbeusedasameasuretomeasurethegoodnessofthesample.Keywords:Two-factormodel;determinabilitycoefficient;modifieddeterminabilitycoefficient引言在回歸分析中，模型的擬合度一般采用可決系數(shù)（）和修正的可決系數(shù)（）來(lái)衡量，但會(huì)受到自變量個(gè)數(shù)，樣本數(shù)和可決系數(shù)本身大小等多重因素的影響，所以難以得到準(zhǔn)確的分布函數(shù)及其特征。判斷回歸模型擬合優(yōu)度程度優(yōu)劣最常用的數(shù)量是指標(biāo)可決系數(shù)（又被稱(chēng)為決定系數(shù)），是建立在對(duì)總離差平方和進(jìn)行分解的基礎(chǔ)上?？蓻Q系數(shù)是對(duì)回歸模型擬合程度的綜合度量，越大，模型擬合程度越高。越小，則模型對(duì)樣本的擬合程度越差。然而可決系數(shù)在實(shí)際的模型運(yùn)用中往往會(huì)受到許多因素的影響，在檢驗(yàn)回歸方程與樣本值的擬合優(yōu)度是不恰當(dāng)?shù)?。因此引入了修正的可決系數(shù)，即隨著解釋變量個(gè)數(shù)的增加而減少，不會(huì)增加，所增加解釋變量個(gè)數(shù)會(huì)引起的可決系數(shù)的增大，但增大與擬合優(yōu)劣無(wú)關(guān)。所以就必須對(duì)可決系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使之能夠更好的擬合。139181可決系數(shù)的定義及研究意義37351.1可決系數(shù)的定義回歸直線擬合的好壞取決于RSS及ESS的大小，或者說(shuō)取決于回歸平方和ESS占總平方和TSS比例（ESS/TSS）的大小。各觀測(cè)點(diǎn)越靠近近直線，ESS/TSS則越大，直線擬合得越好。將回歸平方和占總平方和的比例定義為樣本決定系數(shù)，即可決系數(shù)，記為，即可決系數(shù)表示了回歸直線對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度。若所有觀測(cè)點(diǎn)都落在直線上，殘差平方和RSS=0，=1，擬合是完全的；如果Y的變化與X無(wú)關(guān)，X完全無(wú)助于解釋Y的變差，此時(shí)，,則=0?？梢?jiàn)的取值范圍是[0，1]。越接近于1，說(shuō)明回歸平方和占總平方和的比例越大，回歸直線越接近于各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，用X的變化來(lái)解釋Y值變差的部分就越多，回歸直線的擬合程度就越好；反之，越接近于零，回歸直線的擬合程度就越差。1.2現(xiàn)實(shí)意義理論意義：可決系數(shù)（也稱(chēng)R方），指的是回歸平方和（ESS-explainedsumofsquares）在總變差（TSS-totalsumofsquares）中所占據(jù)的比重（其中或）。可以當(dāng)作綜合度量回歸模型對(duì)樣本觀測(cè)值擬合優(yōu)度的度量指標(biāo)。通常取值范圍為0-1之間，取值越大表示模型的擬合程度愈高，說(shuō)明變量之間的相關(guān)程度也愈高，其因變量的變化可由自變量解釋部分的比重愈大。取值越小則表示模型擬合程度越低，說(shuō)明變量之間的相關(guān)程度也就越低，其因變量的變化可由自變量解釋部分的比重越小。現(xiàn)實(shí)意義：可決系數(shù)（即復(fù)可決系數(shù)或多重可決系數(shù)）為解釋變差占總變差的比重，用來(lái)表示解釋變量對(duì)被解釋變量的解釋程度。在實(shí)際運(yùn)用中，擬合優(yōu)度作為一種統(tǒng)計(jì)方法常用來(lái)衡量模型中期望值和實(shí)際值之間的差距。換言之是用來(lái)衡量怎樣將實(shí)際觀測(cè)的數(shù)值進(jìn)行模擬的相關(guān)預(yù)測(cè)。擬合優(yōu)度同樣也可以運(yùn)用到醫(yī)學(xué)和藥物檢測(cè)、食品科學(xué)、電力建設(shè)、地震研究等多方面領(lǐng)域。93392可決系數(shù)以及修正可決系數(shù)的研究現(xiàn)狀89602.1國(guó)外研究現(xiàn)狀KarlPearson在1900年發(fā)表的關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的論文被看作是近代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的開(kāi)端，在這篇論文中對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用一個(gè)常見(jiàn)的重要問(wèn)題提出一個(gè)判定標(biāo)準(zhǔn)，即一組隨機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)能否合理地看成是來(lái)自一個(gè)其分布完全已知的總體。自KarlPearson第一次提出了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的定義，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究便有了很大的發(fā)展，有的是擴(kuò)展和深入，有的是基于新的概念上的研究。對(duì)于擴(kuò)展和深入，其主要代表性的結(jié)論有1924年Fisher提出了估計(jì)—參數(shù)丟失—自由度的原則和所謂的極小估計(jì)。1946年Cramer提出了著名的似然比檢驗(yàn)結(jié)果。1949年Neyman提出了修正的統(tǒng)計(jì)量1984年Cressie和Read提出了系統(tǒng)的冪偏差統(tǒng)計(jì)量理論等。對(duì)于在新概念上的研究，其主要代表性結(jié)論是1933年Kolmogorov提出了Kolgorov--Smilnov統(tǒng)計(jì)量。以及40年代末和50年代初發(fā)展起來(lái)的Cramer--vonMiaes型統(tǒng)計(jì)量等一系列基于經(jīng)驗(yàn)分布的檢驗(yàn)方法。Cramer(1987),定義可決系數(shù)是的概率極限：對(duì)于給定的U，可以算出。然后依據(jù)，算出，其次應(yīng)用系數(shù)和反復(fù)多次的隨機(jī)序列，估計(jì)出Y，用估算出來(lái)的Y和原先解釋變量樣本回歸就可以得出不同的可決系數(shù)，分析其性質(zhì)，并和給定的U作對(duì)比，進(jìn)而發(fā)覺(jué)可決系數(shù)的一般規(guī)律。Press

and

Zellner（1978）指出的，可決系數(shù)可以反映反映模型的擬合度但由于可決系數(shù)分布的復(fù)雜性并且依附于未知參數(shù)，故其反應(yīng)有限。Press

and

Zellner（1978）證實(shí)了在估算的準(zhǔn)確度，選取貝葉斯方法是很有用的，可以用后驗(yàn)分布來(lái)估算的置信區(qū)間。Ohtani(1994)給出了的分布函數(shù)和高階矩函數(shù)，分別是：其中，是分布函數(shù)，，，是Beta函數(shù)，。在公式中令和，就可以分別得出和的分布函數(shù)和高階矩函數(shù)。而從公式中可以得知，分布函數(shù)和高階函數(shù)包含未知參數(shù)，而又包含估計(jì)值，因此實(shí)際運(yùn)用中就無(wú)法依據(jù)分布函數(shù)精準(zhǔn)地算出和的均值和方差。對(duì)于和的估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，并建立它們的置信區(qū)間可以運(yùn)用迭代算法，可以分析殘差的特征對(duì)迭代方法的影響。蒙特?卡洛試驗(yàn)證明了方法的可行性和有效性。迭代法是先依據(jù)樣本估算出參數(shù)值，在應(yīng)用估算出來(lái)的參數(shù)重新計(jì)算新的樣本，在根據(jù)新的樣本估計(jì)參數(shù)，重復(fù)一定的頻率，從而得出參數(shù)估計(jì)的一個(gè)序列，用來(lái)分析其均值和方差，以反映參數(shù)的特點(diǎn)。2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀早在50年代初期，我國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家張里千教授就得出了Kolgorov--Smilnov統(tǒng)計(jì)量的精確分布，并對(duì)隨機(jī)觀察得到了一組以隨機(jī)數(shù)據(jù)，而在90年代初，楊振海教授又運(yùn)用引入的人工參數(shù)方法，從而建立出了擬合優(yōu)度的線性模型，得出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并探究了一些關(guān)于大樣本的性質(zhì)。其基礎(chǔ)思想是應(yīng)用人工參數(shù)將P.P.plot作圖法轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)線性模型的說(shuō)明，進(jìn)而將擬合優(yōu)度檢驗(yàn)問(wèn)題改變?yōu)閰?shù)的檢驗(yàn)問(wèn)題。3可決系數(shù)和修正的可決系數(shù)在擬合優(yōu)度中作用作為檢驗(yàn)回歸方程與樣本值擬合優(yōu)度的指標(biāo)，越大（），表明回歸方程與樣本擬合程度的愈好；反之，越?。ǎ┍砻骰貧w方程與樣本值擬合程度的就愈差。當(dāng)然，我們都期望愈大愈好，而在對(duì)的使用上很簡(jiǎn)單就可以看出，與模型中解釋變量的數(shù)目有關(guān)聯(lián)。4可決系數(shù)平方修正模型4.1修正可決系數(shù)的定義可決系數(shù)是回歸解釋變量數(shù)的非減函數(shù)，也就是說(shuō)引入的解釋變量越多可決系數(shù)可能會(huì)更高,但是并不是每個(gè)解釋變量都有效的。因此引入了修正的可決系數(shù)，即隨著解釋變量個(gè)數(shù)的增加而減少，不會(huì)增加，所增加解釋變量個(gè)數(shù)會(huì)引起的可決系數(shù)的增大，但增大與擬合優(yōu)劣無(wú)關(guān)。所以就必須對(duì)可決系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使之能夠更好的擬合，其計(jì)算公式為：式中，（n-k-1）為殘差平方和（）的自由度；（n-1）為總離差平方和（）的自由度。4.2可決系數(shù)與修正可決系數(shù)之間的關(guān)系修正的可決系數(shù)與未修正的多重可決系數(shù)之間的關(guān)系如下：或從可以看出，當(dāng)增加一個(gè)解釋變量是，會(huì)增加，引起（）的減少，但增加，因而不會(huì)增加。這樣，用判定回歸方程與樣本值擬合優(yōu)度就消除了對(duì)解釋變量個(gè)數(shù)的依賴。另外從還可以看出，當(dāng)k＞1時(shí)，＜；如果樣本的觀測(cè)數(shù)目n很多，與相差較小，當(dāng)使用小樣本時(shí)，解釋變量的數(shù)目很多，就會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于，甚至可能會(huì)取負(fù)值。在中，當(dāng)＜（）時(shí)，＜0。此時(shí)，修正的應(yīng)視為零。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們希望所建模型的越大越好。但可決系數(shù)只是對(duì)模型擬合優(yōu)度的度量，越大，雖能闡述列入模型中的解釋變量對(duì)被解釋變量整體影響程度越大，但并不能全面闡明模型中各個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響程度是顯著。5可決系數(shù)的局限性是線性回歸分析中反映回歸方程對(duì)樣本擬合程度的一個(gè)常用指標(biāo)。但是，計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究中大量的回歸實(shí)踐卻說(shuō)明，所表明的擬合優(yōu)度存在重要的缺陷，在實(shí)踐應(yīng)用中還可見(jiàn)的不恰當(dāng)檢驗(yàn)，因此對(duì)數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法與實(shí)踐的結(jié)合中往往會(huì)形成許多不好的影響。由于其總變差的局限，作為回歸模型的擬合優(yōu)度在理論上是不適當(dāng)?shù)?。具體體現(xiàn)在：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)只能說(shuō)明模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的近視情況，利用給定的樣本值得到了回歸方程，我們的目標(biāo)就是利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析和預(yù)測(cè)。回歸方程是否可以代表總體，就是總體模型的設(shè)定是否顯著，就必須進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的檢驗(yàn)。但是擬合優(yōu)度與擬合誤差一定是相互依存的，它們之間不可能獨(dú)立于對(duì)方而孤立存在。與相對(duì)應(yīng)的誤差概念是：是關(guān)于Y的總變差的擬合誤差率。與Y之間的殘差是回歸分析中最重要的擬合誤差，總變差與Y總變差之間的擬合誤差要次之。因此，一樣由于其總變差有一定的局部性，用作回歸模型的擬合誤差率概念也是不確切的。6實(shí)證分析方程一

k=0

j=1方程二

k=0

j=2方程三

k=0

j=3方程四

k=1

j=1方程五

k=1

j=2方程六

k=1

j=3方程七

k=2

j=1方程八

k=2

j=2方程九

k=2

j=3-0.5490.0040.003-0.4980.0450.042-0.622-0.063-0.080(0.000)

0.015

(0.030)(0.821)(0.842)(0.000)

0.032

(0.000)(0.096)

0.013

(0.000)(0.143)

0.015

(0.000)(0.000)(0.256)

0.027

(0.000)(0.127)

0.030

(0.000)0.017

(0.015)0.012

0.073-0.016

(0.000)-0.016

(0.000)-0.024

(0.000)-0.024

(0.000)0.036

(0.000)F5.464

(0.001)47.200

(0.000)9.145

(0.000)9.950

(0.000)14.943

(0.000)9.553

(0.000)11.169

(0.000)調(diào)整后0.0940.0000.0000.2160.1110.1430.0960.1160.134（以我國(guó)貨幣供應(yīng)量對(duì)股票價(jià)格的變化的可決系數(shù)為案例進(jìn)行實(shí)證分析）觀察以上結(jié)果，發(fā)現(xiàn)以下特征，當(dāng)期以及提前1期和2期的M0同比增長(zhǎng)率對(duì)上證綜合指數(shù)的變化產(chǎn)生顯著的正影響，但調(diào)整后的可決系數(shù)卻變低，解釋能力不強(qiáng)；而當(dāng)期以及提前3期以內(nèi)的M0的同比增長(zhǎng)率對(duì)比上證180指數(shù)和深證綜合指數(shù)卻不產(chǎn)生影響。當(dāng)期M1同比增長(zhǎng)率對(duì)上證綜合指數(shù)的變化有顯著的正影響，且調(diào)整后的可決系數(shù)可達(dá)0.216，為7個(gè)整體顯著的方程中最高，其他6個(gè)方程的調(diào)整后可決系數(shù)約在0.1左右；當(dāng)期M1同比增長(zhǎng)率對(duì)比上證180指數(shù)和深證綜合指數(shù)的變化會(huì)產(chǎn)生顯著的正影響，而提前2期的M1同比增長(zhǎng)率則對(duì)當(dāng)期的上證180指數(shù)和深證綜合指數(shù)的變化產(chǎn)生顯著的負(fù)影響，后者系數(shù)絕對(duì)值稍微大于前者。提前3期的M2同比增長(zhǎng)率對(duì)上證綜合指數(shù)的變化也有顯著的正影響；當(dāng)期M2同比增長(zhǎng)率對(duì)上證180指數(shù)和深證綜合指數(shù)的變化有顯著的正影響，而提前2期的M2同比增長(zhǎng)率則對(duì)當(dāng)期的上證180指數(shù)和深證綜合指數(shù)的變化有負(fù)影響，后者系數(shù)絕對(duì)值略小于前者。對(duì)以上的實(shí)證結(jié)果進(jìn)行分析，當(dāng)k=1或2是，方程中回歸系數(shù)顯著、方程整體顯著，說(shuō)明M1和M2供應(yīng)量的變化的確會(huì)影響股票價(jià)格水平，而M0的變化與我國(guó)股市的聯(lián)系沒(méi)有M1和M2那么緊密。較低的調(diào)整后可決系數(shù)表明，貨幣供應(yīng)量的變化只能解釋股票價(jià)格變動(dòng)很小的一部分原因。結(jié)束語(yǔ)在因變量的總變動(dòng)中，被樣本回歸方程所解釋的部分愈多，說(shuō)明樣本觀測(cè)值與回歸直線的擬合效果愈好，否則，就說(shuō)明樣本觀測(cè)值與回歸直線的擬合效果不理想。因此，可以用回歸平方和占總的離差平方和的比重來(lái)衡量模型的擬合優(yōu)劣程度，稱(chēng)為判定系數(shù)，記作?？蓻Q系數(shù)和修正的可決系數(shù)作為檢驗(yàn)回歸方程與樣本值擬合優(yōu)度的指標(biāo)，越大（），表明回歸方程與樣本擬合的愈好；反之越小，則表明回歸方程與樣本值擬合就愈差。但在實(shí)際生活中的運(yùn)用卻表明著可決系數(shù)也存在著許多不足之處，對(duì)數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法與應(yīng)用實(shí)踐造成很多不良影響。現(xiàn)在可決系數(shù)及修正的可決系數(shù)被廣泛應(yīng)用于金融及醫(yī)學(xué)等方面的領(lǐng)域，在未來(lái)的研究過(guò)程中，應(yīng)該盡量修復(fù)可決系數(shù)的缺陷，降低其造成的不良影響，提高擬合優(yōu)度的準(zhǔn)確性，使