計算行列式常用的7種方法

行列式的計算方法介紹7種常用方法1三角化方法：通過行列初等變換將行列式化為三角型行列式.例1計算n+1階行列式Dn+lxa二iaixa ?…2a ?…2???ananaaa?…xi232把某一行（列）盡可能化為零例2計算：2+x22222—x22D二4222+y22222-y3遞歸法（數(shù)學歸納法）：設法找出D和低n級行列式間的關(guān)系，然后進行遞歸.

例4證明：cx+PxP0…001x+PxP…00an+i_PD=01x+P…00n???aP000…1a+P例5證明范德蒙行列式（n、2）111…1xxx?…x123nV=x2x2x2?…x2=n(_x)n123nij???1<i<j<nxn_1xn_1xn_1?…xn_1123n4加邊法：對行列式Dn添上一適當行和列構(gòu)成行列式Dn+1,且Dn+1=Dn例6證明：1+a111…11111+a1…11121+a…11n1D=1=aa??a(1+E )n312n a???i=i111…11+an

拆分法：將行列式表為行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均為兩項和，則可拆分為兩個行列式之和例7設abcd=1,求證：a2+1aa2b2+1bb21c2+cc2d2+1dd21a1b1c1d利用行列式的乘積：為求一個行列式D的值，有時可再乘上一個適當?shù)男辛惺紸；或把D拆分為兩個行列式的積.例8（1）cos(x-a)12cos(a-a)1 3cos(cos(x-a)12cos(a-a)1 3cos(a-a)121cos(a-a)233 1 ncos(a-a)…cos(a-a)3 2 n1 ?…cos(a-a)ncos(a-cos(a-a)1ncos(a-a)2ncos(a-a)… 11n(2)設S^^k^+k^+^+k^(k=1,2?…)，求證:nss1nss12sss123sss234???sssn—1nn+1sn-lsnsn+1s2n—2=n (九—九)2ij1<i<j<n利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展開定理的推廣.定義(1)在n階行列式D中，任取k行k列(1<k<n)，位于這k行k列交叉處的k2個元素按原來的相對位置組成的k階行列式S,稱為D的一個k階子式.如：則D則D的一個2階子式為：S=1628126447012584D=1573

在一個n階行列式中，任取k行，由此產(chǎn)生的k階子式有ck個.(2)設S為D的一個k階子式，劃去S所在的k行k列，余下的元素按原來的相對位置組成的n-k階行列式M稱為S的余子式.又設S的各行位于D中的第ij2???ik行,S的各列位于D中的第jpj2???jk列，稱A=(-1)(i1+i2+???+ik)+(j1+j2+…時k)M.則D則D的一個2階子式為：S=28126[ 44L 7011r2? 58， 4157， 3167 1M=53為S的2階子式拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行(1<k<n-1),則由這k行所對應的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積等于D.M=(-1M=(-1)(1+3)+(1+3)7153為S的代數(shù)余子式.例9計算2100012100D=012100012100012例10塊三角行列式的計算設：fB0、fB *)A=mxmA=mxm*VC丿或V0C丿nxn nxn則：detA=(detB)(detC)?特別地：若A=diag(A1?A2,^,At)，則DetA=(detA1)(detA2)???(detAt).(B0)例11設分塊矩陣A=[cD＞其中0為零陣，B和D可逆，求A-1.