高數(shù)競(jìng)賽7 級(jí)數(shù)課件

專題7無(wú)窮級(jí)數(shù)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法3冪級(jí)數(shù)4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)5函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)6傅立葉級(jí)數(shù)7一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂的概念定義

如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。叫做這級(jí)數(shù)的和；如果沒(méi)有極限，則稱高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。性質(zhì)1

如果級(jí)數(shù)收斂于和，則級(jí)數(shù)也斂，且其和為。性質(zhì)2

如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為性質(zhì)2‘收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的線性組合仍然發(fā)散高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)

性質(zhì)4

收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂。（反之不成立，發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律）性質(zhì)5

（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法基本思想Sn單調(diào)有界夾逼定理高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法定理1

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列有界。（比較審斂法）

設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。定理2正項(xiàng)級(jí)數(shù)概念各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

(1)如果，且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂；(2)如果或且級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)發(fā)散。同階無(wú)窮小為一般項(xiàng)的級(jí)數(shù)具有相同的斂散性。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例2判定級(jí)數(shù)的收斂性。例3.判定級(jí)數(shù)的收斂性。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例4判定級(jí)數(shù)的收斂性。解因?yàn)楦鶕?jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散。定理4

（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)或時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)定理5（根值審斂法，柯西判別法）

設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，

則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（或

）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。例5判定級(jí)數(shù)的收斂性。解因?yàn)樗?，根?jù)根植審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)定理6（極限審斂法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

(1)如果

(2)如果,而

發(fā)散。收斂。例6判定級(jí)數(shù)的收斂性。解因故根據(jù)極限審斂法，知所給級(jí)數(shù)收斂。收斂。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)

交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)是指這樣的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的，從而可以寫(xiě)成的形式：或其中都是正數(shù)。二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定理7（萊布尼茨定理，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法）(1)(2)則級(jí)數(shù)收斂，且其和其余項(xiàng)的絕對(duì)值如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件收斂有關(guān)性質(zhì)（1）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有交換律，也即級(jí)數(shù)中無(wú)窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和不變。（2）條件收斂級(jí)數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即或一定是發(fā)散的。條件收斂級(jí)數(shù)審斂法狄利克雷判別法：的部分和有界，且單調(diào)趨于0，則收斂。阿貝爾判別法：收斂，且單調(diào)有界，則收斂。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例題7.2-7.4高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)但是交錯(cuò)級(jí)數(shù)是萊布尼茨型級(jí)數(shù)，收斂，因此原級(jí)數(shù)條件收斂所以，原級(jí)數(shù)例題7.7高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例7判斷級(jí)數(shù)的斂散性。（觀察內(nèi)部特點(diǎn)，第二層根號(hào)內(nèi)是有極限的序列）解法1：換元后達(dá)朗貝爾法高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例7判斷級(jí)數(shù)的斂散性。（觀察根號(hào)2的特點(diǎn)，考慮三角換元）解法2：達(dá)朗貝爾法高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例7.8設(shè)試判斷級(jí)數(shù)的斂散性。分析：An與Sn的關(guān)系，Sn的性質(zhì)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)cn的和有界，收斂，由比較判別法。。。。。例7.11含積分的問(wèn)題高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一．冪級(jí)數(shù)及其收斂域

1．冪級(jí)數(shù)概念2．冪級(jí)數(shù)的收斂域（收斂域分三種情形）（1）收斂域?yàn)?-∞,∞)，亦即對(duì)每一個(gè)x皆收斂。我們稱它的收斂半徑R=∞。（2）收斂域僅為原點(diǎn)（3）收斂域?yàn)閇-R,+R],(-R,+R],[-R,+R）,(-R,+R)中的一種高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)所以求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R非常重要，（1），（2）兩種情形的收斂域就確定的。而(3)的情形，還需討論兩點(diǎn)上x(chóng)=R,x=-R的斂散性。高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)三．冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1．四則運(yùn)算

2．分析性質(zhì)

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)(2)S(x)在(-R,+R)內(nèi)有逐項(xiàng)積分公式且這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變（3）若

在成立。則有下列性質(zhì)

（i）成立（ii）成立

（iii）在不一定收斂

也即不一定成立，

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)

如果在發(fā)散，那么逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)在一定發(fā)散，而逐項(xiàng)積分后的級(jí)數(shù)在有可能收斂。四．冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的基本方法1．把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（§8.3將討論）反過(guò)來(lái)用.2．用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)的求和公式3．用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程，從而求微分方程的解高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）（為實(shí)常數(shù)）高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例1．求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。

例2．已知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。

例3．已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，求其收斂域。例4．設(shè)，，討論冪級(jí)數(shù)的收斂域。

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，條件收斂故收斂域?yàn)?/p>

發(fā)散（2）當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂故收斂域?yàn)槔?：P286：32，33高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)二．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)

例1．求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：可求出收斂半徑故收斂域?yàn)?/p>

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)例2．求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)三。將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

內(nèi)容要點(diǎn)

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的方法

1．套公式

2．逐項(xiàng)求導(dǎo)積分

3．變量替換法

高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)練習(xí)1練習(xí)2練習(xí)3un>0，且級(jí)數(shù)條件收斂，證明：級(jí)數(shù)與都發(fā)散高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)提示:a0p=0++0提示:anp=0++0提示:二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)

設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù)

且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù):

且假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分

則bnp=0++0下頁(yè)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)

設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù)

且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù):

且假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分

則系數(shù)a0

a1

b1

叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù).下頁(yè)傅里葉系數(shù)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)定理(收斂定理狄利克雷充分條件)

設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù),如果它滿足:(1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),(2)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,并且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于f(x);

當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于

.

下頁(yè)傅里葉級(jí)數(shù)

三角級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù),其中a0,a1,b1,···是傅里葉系數(shù).高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)an

0(n

0,1,2,

),bn

0(n

1,2,

).

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)

f(x)cosnx是奇函數(shù)

f(x)sinnx是偶函數(shù)

故傅里葉系數(shù)為

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)

f(x)cosnx是偶函數(shù)

f(x)sinnx是奇函數(shù)

故傅里葉系數(shù)為下頁(yè)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

如果f(x)為奇函數(shù),那么它的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)

如果f(x)為偶函數(shù),那么它的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)下頁(yè)高數(shù)競(jìng)賽7級(jí)數(shù)

例6

將函數(shù)f(x)

x

1(0

x

)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).先求正弦級(jí)數(shù).

解

為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓.函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

正弦級(jí)數(shù)的系