關(guān)于多方過(guò)程和等熱容過(guò)程的討論

關(guān)于多方過(guò)程和等熱容過(guò)程的討論

1氣體在多方過(guò)程中的摩爾熱容在基礎(chǔ)物理的熱學(xué)部分的教育中，經(jīng)常包含各種過(guò)程。事實(shí)上，不同的教材沒(méi)有完全統(tǒng)一，這導(dǎo)致了很大的差異。在許多教材中，使用以下定義：系統(tǒng)在給定過(guò)程中完成。pVn=常量(1)且n=常數(shù),則稱此過(guò)程為多方過(guò)程.不過(guò),由于許多教材是在講到對(duì)氣體(特別是對(duì)理想氣體)應(yīng)用熱力學(xué)第一定律時(shí)引入多方過(guò)程的,因此有時(shí)往往就把系統(tǒng)局限為氣態(tài)來(lái)進(jìn)行具體的討論.其實(shí),即使對(duì)于其他的物質(zhì)聚集狀態(tài),多方過(guò)程的概念也是可以使用的.有些教材雖然也承認(rèn)多方過(guò)程應(yīng)該滿足式(1),但卻認(rèn)為多方過(guò)程中的多方指數(shù)n只能取1與絕熱指數(shù)γ(即摩爾定壓熱容Cp,m與摩爾定體熱容CV,m的比值)之間的數(shù)值.這種定義的范圍太窄,甚至把所有的準(zhǔn)靜態(tài)等體過(guò)程和準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程都排除在多方過(guò)程之外了.有些教材定義的范圍又太寬,認(rèn)為“在過(guò)程進(jìn)行中系統(tǒng)和外界有部分的熱交換”的過(guò)程就是多方過(guò)程,或者干脆說(shuō):“實(shí)際的過(guò)程,可能既不是等溫的,也不是絕熱的,我們把這種過(guò)程稱為多方過(guò)程”,這就將除等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程以外的各種實(shí)際過(guò)程(其中甚至還可以包括許多非靜態(tài)過(guò)程)都說(shuō)成了多方過(guò)程.不過(guò)這些教材在具體討論時(shí),往往又設(shè)理想氣體在多方過(guò)程中的摩爾熱容Cn,m和γ均為常量,從而得到理想氣體的多方過(guò)程將滿足式(1)的結(jié)論.這樣一來(lái),就把對(duì)多方過(guò)程的討論局限在當(dāng)γ=常量時(shí)的理想氣體的等熱容過(guò)程里了.也有教材用系統(tǒng)的熱容量在整個(gè)過(guò)程中為常量來(lái)定義多方過(guò)程,實(shí)際上認(rèn)為等熱容過(guò)程就是多方過(guò)程.其實(shí),多方過(guò)程和等熱容過(guò)程應(yīng)該是兩個(gè)具有不同涵義的概念.如果按照式(1)定義多方過(guò)程,多方過(guò)程一定是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,它是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的特殊情況;并且由于任意的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,即使它并不是多方過(guò)程,但是也都可以視為一連串許多個(gè)以至無(wú)窮多個(gè)無(wú)限小多方過(guò)程(盡管它們的多方指數(shù)可以并不相同)的組合,因而任何準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程又都將具有多方過(guò)程的某些特性(詳見(jiàn)本文第2節(jié)“多方過(guò)程和準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的關(guān)系”).不僅如此,在按照式(1)定義的多方過(guò)程中還概括了許多通常在教材中都要討論到的準(zhǔn)靜態(tài)等值過(guò)程,例如:準(zhǔn)靜態(tài)等體過(guò)程,準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程,理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程,當(dāng)γ為常數(shù)時(shí)的理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)等熱容過(guò)程(其中還包括了當(dāng)γ為常數(shù)時(shí)的理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程)等.因此,按照式(1)定義多方過(guò)程,較之按照其熱容量為常量來(lái)定義多方過(guò)程,無(wú)論是從理論體系上看,還是從實(shí)際使用上看,似乎都是更加適宜的.如果按照式(1)定義多方過(guò)程,并利用熱力學(xué)第一定律和理想氣體物態(tài)方程,就可以求得理想氣體在多方過(guò)程中的摩爾熱容(即多方摩爾熱容)Cn,m為Cn?m=CV?m-Rn-1=Cp?m-nRn-1Cn?m=CV?m?Rn?1=Cp?m?nRn?1(2)式中R為普適氣體常量.由式(2)可知,此時(shí)Cn,m-CV,m或Cn,m-Cp,m必定為常量,且多方指數(shù)n為n=Cn?m-Cp?mCn?m-CV?mn=Cn?m?Cp?mCn?m?CV?m(3)但是,只有當(dāng)而且僅當(dāng)γ=常數(shù)(因而CV,m和Cp,m都是常量)時(shí),Cn,m才有可能是常量,這時(shí)理想氣體的多方過(guò)程才是準(zhǔn)靜態(tài)等熱容過(guò)程.反過(guò)來(lái)也是對(duì)的,理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)等熱容過(guò)程中的摩爾熱容Cm當(dāng)然為常量,但是也只有當(dāng)而且僅當(dāng)γ=常數(shù)(因而CV,m和Cp,m都是常量)時(shí),Cm-CV,m或Cm-Cp,m才有可能是常量,這時(shí)利用熱力學(xué)第一定律和理想氣體物態(tài)方程,才能證明此理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)等熱容過(guò)程就是多方過(guò)程(其n自然亦由式(3)給定).不過(guò),由于理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中滿足微分方程dpdV+γpV=0dpdV+γpV=0(4)如果理想氣體在某個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)等熱容過(guò)程(此時(shí)其摩爾熱容Cm當(dāng)然是常量)中其γ=γ(T)≠常數(shù),則此準(zhǔn)靜態(tài)等熱容過(guò)程雖有可能是絕熱過(guò)程(當(dāng)Cm=0時(shí)),但是這時(shí)卻無(wú)法將式(4)化為式(1)的形式,所以它絕不會(huì)是多方過(guò)程.因此,如果按照式(1)定義多方過(guò)程,那理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中其Cm-CV,m或Cm-Cp,m為常量就是其為理想氣體的多方過(guò)程的充分必要條件,而理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中其Cm為常量卻既不是其為理想氣體的多方過(guò)程的必要條件,又不是其為理想氣體的多方過(guò)程的充分條件.由此可見(jiàn),按照式(1)定義多方過(guò)程和按照其熱容量為常量來(lái)定義多方過(guò)程,即使是對(duì)于理想氣體而言,兩者之間的差別也是相當(dāng)大的.如果按照其熱容量為常量來(lái)定義多方過(guò)程,多方過(guò)程其實(shí)就是等熱容過(guò)程.此時(shí)的多方過(guò)程就未必總是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程了,它也不可能把通常在教材中都要討論到的那些等值過(guò)程都包括在內(nèi).因?yàn)槿绻褵崛萘繛槌Ａ康倪^(guò)程稱之為多方過(guò)程,那就會(huì)把一切絕熱過(guò)程(其Cm=0,但卻完全有可能是個(gè)非靜態(tài)過(guò)程)都包括在多方過(guò)程里了;可是許多雖然滿足式(1),然而其熱容量卻不是常量的過(guò)程(包括諸如γ≠常數(shù)時(shí)的理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)等體過(guò)程和γ≠常數(shù)時(shí)的理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程)又都被排除在多方過(guò)程之外了.誠(chéng)然,物理學(xué)名詞本來(lái)全都是人為規(guī)定的,熱容量為常量的過(guò)程肯定也會(huì)具有許多其本身固有的特性,人們不但可以從各種不同的角度去研究它,而且也可以給予它不同的命名.但是顧名思義,等熱容過(guò)程當(dāng)然是熱容量為常量的過(guò)程;而多方過(guò)程則應(yīng)該是其過(guò)程方程為形如式(1)這樣的,其中含有某個(gè)物理量的多次方的運(yùn)算方程.因此,如果硬要把熱容量為常量的過(guò)程(它有可能是非靜態(tài)過(guò)程,但卻并不包括某些常見(jiàn)的理想氣體準(zhǔn)靜態(tài)等值過(guò)程)不再稱之為等熱容過(guò)程,而是非要定義其為多方過(guò)程,卻不愿把滿足式(1)的過(guò)程定義為多方過(guò)程,就會(huì)詞不達(dá)意,恐怕有可能造成概念內(nèi)涵與理論體系上的混亂,弊多而利少.綜上所述,采用式(1)定義多方過(guò)程,似乎是最適宜的.本文以下亦均按照式(1)定義的多方過(guò)程來(lái)討論問(wèn)題.2多方過(guò)程組合根據(jù)多方過(guò)程的定義,系統(tǒng)在多方過(guò)程中將始終滿足式(1).因此,對(duì)于多方過(guò)程中所經(jīng)歷的每一個(gè)狀態(tài)而言,其態(tài)參量p和V都應(yīng)該有確定的值,都是平衡態(tài),所以多方過(guò)程一定是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程.但是,任意一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程卻不一定都會(huì)滿足式(1),因而它卻未必就是多方過(guò)程.由此可見(jiàn),多方過(guò)程是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的特殊情況.但是,無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程卻都是無(wú)限小多方過(guò)程.因?yàn)槿绻麑⑹?1)兩邊取自然對(duì)數(shù)后再微分,就可以得到無(wú)限小多方過(guò)程滿足的微分方程:dpdV=-npVdpdV=?npV(5)可是,任何無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程在p-V圖上都可以用一條無(wú)限短的直線段來(lái)表示,設(shè)此直線段的斜率為dpdV=adpdV=a(6)式中的a為常量.而在無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中,系統(tǒng)的p、V也都可以近似視為常量,因此,若令n=-a(Vp)(7)則此n也必定是常量.從式(6)、(7)中消去a,就可以化為式(5)的形式.因此,任何無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程都將滿足式(5),都是無(wú)限小多方過(guò)程.然而任何準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,當(dāng)然又都可以看成是一連串許多個(gè)以至無(wú)窮多個(gè)無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的組合.由此可見(jiàn),任意一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,即使它不是多方過(guò)程,也都可以視為一連串許多個(gè)以至無(wú)窮多個(gè)無(wú)限小多方過(guò)程(盡管它們的多方指數(shù)可以并不相同)的組合,因而任何準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程又都將具有多方過(guò)程的某些特性.這樣一來(lái),也就有可能利用多方過(guò)程的這些特性來(lái)處理某些準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的問(wèn)題.例如,因CV,m=R/(γ-1),故由式(2)可知理想氣體在多方過(guò)程中的摩爾熱容為Cn,m=CV?m-Rn-1=(n-γn-1)CV?m(1)因此,當(dāng)1<n<γ=常數(shù)時(shí),理想氣體的多方摩爾熱容將為負(fù)值.可是對(duì)于理想氣體,當(dāng)n=1時(shí)的多方過(guò)程表示準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程;當(dāng)n=γ=常數(shù)時(shí)的多方過(guò)程表示準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程.而由式(5)可知:在p-V圖上,多方過(guò)程曲線(不妨稱為多方線)的斜率為-np/V.因此,在p-V圖上,理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程曲線(等溫線)的斜率為-p/V;而γ=常數(shù)時(shí)理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程曲線(絕熱線)的斜率為-γp/V.如果理想氣體的多方過(guò)程曲線(多方線)的斜率,在n=1時(shí)的等溫線的斜率與n=γ=常數(shù)時(shí)的絕熱線的斜率之間的話,則此多方過(guò)程的多方指數(shù)必定滿足1<n<γ=常數(shù)的關(guān)系.既然任何準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程都可以視為一連串許多個(gè)以至無(wú)窮多個(gè)無(wú)限小多方過(guò)程的組合,那由式(8)可知:在p-V圖上,任何理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程曲線的斜率若始終在(或者始終不在)等溫線的斜率與γ=常數(shù)時(shí)絕熱線的斜率之間,則此理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中的摩爾熱容Cm也必定為負(fù)值(或者必定為正值).根據(jù)此點(diǎn)來(lái)處理某些問(wèn)題,?？墒箚?wèn)題大為簡(jiǎn)化.譬如,如果要計(jì)算理想氣體在某一準(zhǔn)靜態(tài)循環(huán)中的效率或制冷系數(shù)時(shí),通常都要先分別求出理想氣體在整個(gè)循環(huán)中從外界所吸收的熱量的總和以及向外界所放出的熱量的總和,這時(shí)往往首先需要知道理想氣體從某些平衡態(tài)經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程時(shí)到底是從外界吸收熱量還是向外界放出熱量.此時(shí),由于任何無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程都是無(wú)限小多方過(guò)程,因而理想氣體在此無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中從外界所吸收的熱量-dQ為-dQ=νCmdT(9)式中ν是理想氣體的物質(zhì)的量,Cm是其在此準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中的摩爾熱容.一方面,可以從式(8)、(9)得知:對(duì)于dT>0的升溫過(guò)程,當(dāng)此無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程在p-V圖上曲線的斜率不在等溫線的斜率與絕熱線的斜率之間時(shí),Cm>0,因而-dQ>0,這時(shí)理想氣體從外界吸收熱量;而當(dāng)此無(wú)限小的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程在p-V圖上曲線的斜率在等溫線的斜率與絕熱線的斜率之間時(shí),Cm<0,因而-dQ<0,這時(shí)理想氣體向外界放出熱量.另一方面,還可以從式(8)、(9)得知:對(duì)于dT<0的降溫過(guò)