第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復習提升

章末復習提升網(wǎng)絡構建

要點聚焦內容索引網(wǎng)絡構建形成體系1要點聚焦

類型突破2指數(shù)式的運算首先注意化簡順序，一般負指數(shù)先轉化成正指數(shù)，根式化為分數(shù)指數(shù)冪運算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.對數(shù)運算首先注意公式應用過程中范圍的變化，前后要等價，熟練地運用對數(shù)的三個運算性質并結合對數(shù)恒等式、換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.要點一指數(shù)、對數(shù)的運算要點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象問題函數(shù)圖象的畫法畫法應用范圍畫法技巧基本函數(shù)法基本初等函數(shù)利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的有關知識，畫出特殊點(線)，直接根據(jù)函數(shù)的圖象特征作出圖象變換法與基本初等函數(shù)有關聯(lián)的函數(shù)弄清所給函數(shù)與基本函數(shù)的關系，恰當選擇平移、對稱等變換方法，由基本函數(shù)圖象變換得到函數(shù)圖象描點法未知函數(shù)或較復雜的函數(shù)列表、描點、連線解析

法一

當x＝0時，y＝0，故可排除選項A，由1－x>0，得x<1，即函數(shù)的定義域為(－∞，1)，排除選項B，又易知函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，故選C.C法二

函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象可認為是由y＝log4x的圖象經過如下步驟變換得到的：(1)函數(shù)y＝log4x的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y＝2log4x的圖象；(2)把函數(shù)y＝2log4x的圖象關于y軸對稱得到函數(shù)y＝2log4(－x)的圖象；(3)把函數(shù)y＝2log4(－x)的圖象向右平移1個單位，即可得到y(tǒng)＝2log4(1－x)的圖象，故選C.【訓練2】

在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是(

)D解析

冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0，1)點，故A錯；B項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯；D對；C項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯.數(shù)的大小比較常用方法：(1)比較兩數(shù)(式)或幾個數(shù)(式)大小問題是本章的一個重要題型，主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用及差值比較法與商值比較法的應用.常用的方法有單調性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法.(2)當需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或對數(shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調性比較.(3)比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”和“1”作為分界點，即把它們分為“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分內利用函數(shù)的性質比較大小.要點三大小比較問題CA函數(shù)的零點與方程的根的關系及應用(1)函數(shù)的零點與方程的根的關系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.(2)確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩個基本方法：利用圖象研究與x軸的交點個數(shù)或轉化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)進行判斷.要點四函數(shù)的零點與方程的根2②法一

(函數(shù)單調性法)當x>0時，f(x)＝2x－6＋lnx.而f(1)＝2×1－6＋ln1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln3＝ln3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，故由零點存在定理，可得函數(shù)f(x)在(1，3)內至少有一個零點.而函數(shù)y＝2x－6在(0，＋∞)上單調遞增，y＝lnx在(0，＋∞)上單調遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增.故函數(shù)f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)內有且只有1個零點.綜上，函數(shù)f(x)共有2個零點.法二

(數(shù)形結合法)當x>0時，由f(x)＝0，得2x－6＋lnx＝0，即lnx＝6－2x.如圖，分別作出函數(shù)y＝lnx和y＝6－2x的圖象.顯然，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，且在y軸的右側，故當x>0時，f(x)＝0只有一個解.綜上，函數(shù)f(x)共有2個零點.

解析

(2)如圖，當x≤m時，f(x)＝|x|.當x＞m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù).若存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2m·m＋4m＜|m|.∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.(3，＋∞)【訓練4】

已知關于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常數(shù)a，b同號，b，c異號，則下列結論中正確的是(

) A.此方程無實根

B.此方程有兩個互異的負實根 C.此方程有兩個異號實根

D.此方程僅有一個實根D解析

由常數(shù)a，b同號，b，c異號，可得a，c異號，令2x＝t，則方程變?yōu)閍t2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判別式Δ＝b2－4ac>0，故關于t的方程只有一個正實數(shù)根，故關于x的方程只有一個實數(shù)根.1.建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟 (1)對實際問題進行抽象概括，確定變量之間的主被動關系，并用x，y分別表示. (2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時要注意函數(shù)的定義域. (3)求解函數(shù)模型，并還原為實際問題的解.2.建模的三個原則 (1)簡化原則：建立模型，要對原型進行一定的簡化，抓主要因素、主變量，盡量建立較低階、較簡便的模型. (2)可推演原則：建立的模型一定要有意義，既能對其進行理論分析，又能計算和推理，且能推演出正確結果. (3)反映性原則：建立的模型必須真實地反映原型的特征和關系，即應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明現(xiàn)實問題的功能，能回到具體研究對象中去解決問題.要點五函數(shù)模型的應用(1)寫出利潤函數(shù)y＝f(x)的解析式(利潤＝銷售收入－總成本)；解

(1)由題意得G(x)＝2.8＋x.(2)要使工廠有盈利，求產量x的取值范圍；解

①當0≤x≤5時，由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，解得1<x<7，∴1<x≤5.②當x>5時，由8.2－x>0，得x<8.2，所以5<x<8.2.綜上，當1<x<8.2時，有y>0，即當產量x大于100臺，小于820臺時，能使工廠有盈利.(3)工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？解

當0≤x≤5時，函數(shù)f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，當x＝4時，f(x)有最大值為3.6；當x>5時，∵函數(shù)f(x)單調遞減，∴f(x)<f(5)＝3.2(萬元).綜上，當工廠生產4百臺產品時，可使盈利最多，為3.6萬元.即x＝4.所以一天中早上4點該廠的污水污染指數(shù)最低.(2)規(guī)定每天中f(x)的最大值作為當天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過3，則調節(jié)參數(shù)a應控制在什么范圍內？解

設t＝log25(x＋1)，則當0≤x