隨機過程論（第3版）PPT完整全套教學課件

引

論“隨機過程論第一章ch01引論.pptxch02鞅論初步.pptxch03離散時間可數(shù)狀態(tài)馬氏過程一馬氏鏈.pptxch04連續(xù)時間的馬氏鏈.pptxch05Brown運動.pptxch06馬氏過程.pptxch07相互作用粒子系、滲流與點過程的數(shù)學模型.pptxch08擴散過程與隨機分析初步.pptxch09平穩(wěn)過程與遍歷理論初步.pptx全套可編輯PPT課件01隨機過程的概念與例子1.隨機過程的概念考慮一個概率空間(Ω,?,P)，其中Ω是一個集合，?是由Ω的某些子集組成的一個σ-代數(shù)，P是在可測空間(Ω,?)上定義的一個概率測度。設T是一個指標集，又設有一族(Ω,?,P)上的隨機變量ε=|ε(t，·);tεT，我們稱ε是一個參數(shù)取值為T的隨機過程。通常T代表時間，它可取實數(shù)集R、非負實數(shù)集R+、整數(shù)集Z或非負整數(shù)集Z+等。當T取R、R+或[a,b](區(qū)間)時，稱ε為連續(xù)參數(shù)的隨機過程:當T取Z或Z+時，稱ε為離散參數(shù)的隨機過程:當T取Rn、Zn、(R+)n或(Z+)n(n≥2)時，稱ε為隨機場。2.隨機過程的例子而只是從直觀上看到一族“隨機地”變化的量。這并非意味著我們已經有了一族隨機變量或者隨機過程，因為隨機變量與隨機過程都必須在一個概率空間中來描述才是正確的建模。然而，通過分析往往可以知道上述那族“隨機地”變化的量中任意有限個的聯(lián)合分布。當T是有限集時，這意味著已知這族“隨機量”的聯(lián)合分布。這時，由標準的測度論處理方法，容易構造一個概率空間及其上的一族以T為參數(shù)集(有限)的隨機變量，使它們的聯(lián)合分布正是前面說的由直觀得到的分布。這樣，我們就將直觀上看到的那族“隨機量”納入嚴格的數(shù)學模型因而可以由此進一步做數(shù)學的演繹與論證。但是，一般我們真正研究T為無限集的情況這時構造概率空間(Ω,?,P)就不那么簡單了。下面我們先來考察一些例子，以期讀者能對上述將實際問題如何化為隨機過程的模型的過程有所感受:然后，再在理論上論證這種做法的可能性與合理性。在實際問題中，往往一開始并不清楚有一個概率空間(Ω,?,P)02Kolmogorov定理與可分性1.Kolmogorov定理設有(Ω,?,P)上取值于狀態(tài)空間(?,∑)的隨機過程

對任意的正整數(shù)n和t1,t2,······,tnεT，隨機元的概率分布1.Kolmogorov定理我們稱性質1)和性質2)為Kolmogorov相容性條件。我們現(xiàn)在要討論問題的反面:給定了滿足性質1)和性質2)的一族分布，是否一定可以找到概率測度P使性質1)和性質2)在P下滿足呢?下面的定理對此問題做了肯定的回答。設?是一個完備可分度量空間，∑是由?的開子集所生成的最小σ-代數(shù)((?,∑)也稱Polish空間),∑’n是?n的開集所生成的σ-代數(shù)。我們稱下面這樣的集合為柱集:Kolmogorov定理給出了由有限維聯(lián)合分布族構造(Ω,?)上測度P的方法。1.Kolmogorov定理定理1.1(Kolmogorov定理)設δ是一個完備可分可測度量空間即Polish空間概率分布族滿足性質1)和性質2)，則存在(Ω,?)上唯一的概率測度P，使得對一切n≥1，t1,···,tnεT且彼此不同，有Bε∑’n成立。1.Kolmogorov定理證明事實上性質1)和性質2)保證了式(1.10)可以無盾地在δ上定義唯一一個有限可加集合函數(shù)，我們仍將它記為P(·)。又因為δ是半環(huán)，如果我們能證明這個集合函數(shù)是σ-可加的，那么由測度的擴張定理，可以得到σ-(δ)上唯一的概率測度，使得式(1.10)成立。1.Kolmogorov定理證明1.Kolmogorov定理證明于是由Kolmogorov定理立刻可知：由例1~例4中所得到的各有限維分布族都可以分別定義概率空間。2.可分性及過程的軌道Kolmogorov定理雖然為我們提供了一個由有限維分布去構造隨機過程的一般方法，但是這樣的構造有一個缺陷，那就是相對于RT來說，由全體柱集生成的σ-代數(shù)βT太小了，以致像這樣簡單而與過程直接有關的量都未必βT可測。這是因為它是由不可列個隨機變量決定的，而一般地，我們只能保證可列個隨機變量的Borel函數(shù)仍為隨機變量。這樣看來，在上面所定義的隨機過程框架中，在考慮與過程軌道的連接性或極限性質有關的集合時，就無法定義這類集合的概率。擺脫這種困難最簡單的辦法是:對分布相同的兩個隨機過程不加區(qū)分，并且在這種等價類中“找”一個“好”的代表。這種“好”的代表就是(對閉集類)Doob所定義的可分的過程。2.可分性及過程的軌道定義1.1(可分性)隨機過程

稱為可分的，如果存在P的零測集N及T的可列子集S，使對于任意開區(qū)間I及任意閉集F，恒有2.可分性及過程的軌道定理1.2(可分修正)任意一個隨機過程必定存在一個可分的隨機過程,使得顯然隨機過程與其可分的隨機過程有同樣的有限維分布，因而分布律相同。人們常常希望從有限維分布直接構造具有良好的軌道性質的過程[例如，連接軌道右連續(xù)且有左極限(右連左極)的軌道和階梯軌道等]。3.推移算子03獨立增量過程與鞅1.獨立增量過程在1.1節(jié)的例子中，隨機徘徊、Poisson過程和Brown運動都有一個共同特點，即在互不相交的若干參數(shù)區(qū)間上，過程的增量相互獨立，具有這個性質的隨機過程稱為獨立增量過程。定義1.2(獨立增量過程)設指標集T是RZ或它們與某個區(qū)間的交，是概率空間(Ω,?,P)上的實值(或復值)隨機過程，我們稱ε為一個獨立增量過程，如對任意的t0<t1<···<tnεT，1.獨立增量過程定義1.2(獨立增量過程)事實上，當T=Z+時，一個獨立增量過程就是一列相互獨立隨機變量的部分和(簡稱獨立和):而時齊的獨立增量過程就是相互獨立同分布序列(簡稱i.i.d.序列)的部分和。數(shù)學期望有限的獨立增量過程具有以下兩個重要性質。1.獨立增量過程定義1.2(獨立增量過程)如果我們推廣獨立增量過程為一般可積過程，我們就稱保持性質1)的過程為鞅，保持性質2)的過程為馬氏過程。性質1)和性質2)分別稱為鞅性與馬氏性。2.鞅定義1.3(鞅)2.鞅命題1.1特別地，當T=Z+時，式(1.15")又可簡化為對一切n≥0，2.鞅證明顯然式(1.15)蘊含式(1.15)，現(xiàn)在我們來證其反面。當式(1.15)成立時，就有2.鞅證明當T=Z+時，我們可以得到即式(1.15)成立。容易看出，所有均值函數(shù)恒等于常數(shù)的實值獨立增量過程都是鞅，但反之不然，這是因為2.鞅證明鞅是一種十分基本而又重要的隨機過程，它有許多好的性質，在現(xiàn)代概率論中，它已成為各領域共同的常用基本工具，第二章將專門討論這種過程。3.獨立增量過程的性質和穩(wěn)定過程獨立增量過程并不一定都是鞅(參見52節(jié)1中的Cauchy過程)，對于這些過程，第二章鞅論的結果就不適用了。但是，獨立增量性是很強的，它相當于“連續(xù)情形的獨立和”，由它可以得到一系列深入的性質，這方面的研究到20世紀50年代已成熟。由于這些研究在方法上的特殊性，再加上篇幅又長，本書中我們不單列章節(jié)詳細討論，而以附錄的形式(附錄A)列出最基本的結果和重要特例。在獨立增量過程中有一類很重要的特例一穩(wěn)定過程，它滿足條件:存在a>0(a稱為此穩(wěn)定過程的階)，使對?c>0恒有04馬氏過程馬氏過程定義14(馬氏過程)成立。式(1.17)又稱為馬氏性。特別地，馬氏過程命題1.2成立。證明當時，式(1.17)顯然蘊含式(1.18);另外，用測度論典型方法，不難證明式(1.18)也蘊含式(1.17)(請讀者自行證明)。馬氏過程命題1.3下列4個條件等價:馬氏過程證明用測度論的典型方法可以證明條件1)、條件2)和條件3)等價。我們這里只以條件2)蘊含條件3)的證明為例，說明測度論典型方法在此處的用法，其他類似的證明作為習題請讀者自已去證明。當條件2)成立時，對可測實函數(shù)有馬氏過程證明馬氏過程證明有一個好的版本，稱為(正則)條件分布，記為這個好的版本對A是測度，對(s,x,t)可測。再記馬氏過程命題1.4再利用測度論典型方法，就可以證明式(120)對?Bε∑n成立。馬氏過程命題1.4當?是一個完備可分可測度量空間(更一般地，滿足定理1.1后面注中條件的空間)時，我們可以找到(參見附錄A)一個對所有Aε∑的公共例外集，使得除去此例外集后，p(s,x;t,A)對一切Aε∑都完全確定，而且滿足馬氏過程定義1.5(轉移概率族)滿足上述1)~3)的函數(shù)族稱為一個轉移概率族，也稱轉移函數(shù)族。馬氏過程命題1.5證明馬氏過程命題1.5類似地，我們容易得到Kolmogorov相容性的性質1)滿足，再按照Kolmogorov相容性條件的馬氏過程命題1.5由條件期望的定義，這就是比較式(1.21)和式(1.22)就得到ε的馬氏性，以及它的轉移概率滿足定理要求。馬氏過程命題1.5由條件期望的定義，這就是那么抽取對角線子列就得到馬氏過程命題1.5事實上，馬氏性在構造過程中并不重要，只要給定條件分布族

，即可構造概率空間及其上的坐標過程，這里馬氏過程命題1.5顯然有以下條件成立。馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)顯然有以下條件成立。馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)條件2’)還蘊含證明1)令馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)2)證明P(

·

)在δ上是完全可加的。1°

為書寫方便，我們先定義以下m-步轉移概率測度。設馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)及再令由馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)2°

用歸納法來證明存在由于當K=-1時，式(1.27)可寫成馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)可見馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)這樣，我們就有其中Q*指Q的外測度，于是有馬氏過程定理1.3(Tulcea定理)3°

由2°的結果，可見至此，定理得證。05Gauss系Gauss系定義1.6(Gauss系)Gauss系命題1.6證明可見Y是一元正態(tài)分布。Gauss系命題1.6證明Gauss系命題1.7令Gauss系命題1.7于是這就可得到于是Gauss系命題1.8于是這就可得到于是這就證明了(a)，(b)可采用同樣的方法證明。Gauss系命題1.9于是這就可得到而式(1.28)左側等于Gauss系命題1.9其中令及即有兩式相加得Gauss系命題1.9代回，又得但是與而且Gauss系命題1.9代回，又得但是與而且Gauss系命題1.10Gauss系命題1.10我們知道Brown運動是Gauss系，但反之不然。因此，有關上面討論的Gauss系的性質除其本身重要外，對于第四章將討論的Brown運動的性質也是十分重要的，我們將在第四章多次使用這里給出的結果。由Kolmogorov定理，我們可得出以下結論。06平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程1.平穩(wěn)過程定義1.7穩(wěn)定系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機過程通常為平穩(wěn)的，因而在通信、生物、統(tǒng)計物理、經濟等問題的研究中，平穩(wěn)過程也是常見的。獨立同分布序列是離散參數(shù)的平穩(wěn)過程，時齊獨立增量過程在一個固定時間間隔上的增量也是一個平穩(wěn)過程。2.寬平穩(wěn)過程定義1.8設T是一個加法半群，概率空間上的隨機過程稱為寬平穩(wěn)過程，如果存在且與t無關(只依賴h)。顯然，具有2階矩的平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)的，但反之不一定成立。因而，寬平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程的推廣，在許多實際問題中有廣泛的應用。對于Gauss過程，它的平穩(wěn)性與寬平穩(wěn)性是等價的，也就是有下面的關系成立。2.寬平穩(wěn)過程命題1.11謝謝觀看“隨機過程論鞅論初步“隨機過程論第二章01上鞅、下鞅的概念、簡單性質與分解定理1.概念與簡單性質設在概率空間上有一個非降的σ-代數(shù)族和實隨機過程。定義2.1定義2.21.概念與簡單性質命題2.11.概念與簡單性質命題2.22.分解定理對于上鞅和下鞅，Doob和Meyer給出了有名的分解定理，它是論的基本定理之一特別是連續(xù)參數(shù)的鞅分解定理是現(xiàn)代鞅論的開端，由于后者的敘述需要過多的準備知識與篇幅，我們只能略去它，而僅給出離散參數(shù)的鞅分解定理。鞅分解定理的基本思想可以從例2與例3看出。事實上，我們可將

做如下分解:2.分解定理令其中2.分解定理定理2.1(離散參數(shù)下鞅分解)這種分解是唯一的。整明2.分解定理定理2.1(離散參數(shù)下鞅分解)2.分解定理定理2.1(離散參數(shù)下鞅分解)將定理2.1用于例3，可以得出:一個有利的不公平博弈，可以視為一個公平博弈與一個以前各次平均盈利之和。02停時與鞅的停止定理(有限時間)停時與鞅的停止定理(有限時間)顯然，τ=t(常數(shù)時間)是一個停時?？梢娡r是對時間的一個推廣，下面我們給出停時的非平凡例子，以期讀者對停時有一個直觀的了解。粗略地講，停時是一個不依賴“將來”的隨機時間，這里的過去、現(xiàn)在和將來是由參考族

決定的，下面我們給出停時的確切定義。定義2.3(停時)停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.3停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.4停時一定也是寬停時;反之，若可見，τ也是寬停時。停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.4當σ是寬停時，我們有停時與鞅的停止定理(有限時間)定義2.4(a以前的-代數(shù))停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.5設a和β是相對于的停時，則停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.5及停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.6停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.7證明用測度論的典型方法(見附錄A)容易證明:停時與鞅的停止定理(有限時間)命題2.7停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.2停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.2停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.2停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.2停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.2正如前面所指出的，停時是一種隨機時間，那么它在什么程度上與普通的時間有相同的性質呢?定理2.3告訴我們，在某些條件下用一列停時代人一個鞅(上鞅或下鞅)的時間參數(shù)，仍能保持鞅(上鞅或下鞅)性。停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.3停時與鞅的停止定理(有限時間)定理2.3定理2.3只是停止定理的一個簡單的特例，對一般的T=Z+和T=R+，也有相應的結果,但它要用到鞅的一致可積性與收斂性方面的一些結果，我們只能在2.4節(jié)中再進一步討論。03不等式和收斂定理1.鞅不等式(Doob極值不等式)對于獨立隨機變量和序列，有著名的Kolmogorov不等式，鞅作為獨立和的推廣，也有相應的結果。定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)推論1推論22.下鞅(上鞅)極限的存在性鞅收斂定理是利用鞅理論解決許多領域中的問題的主要工具之一，在概率論中十分重要。本節(jié)中，我們討論

的存在性。我們知道，任何一個實數(shù)列不存在有窮或無窮的極限就是也就是存在有理數(shù)a和b，使得2.下鞅(上鞅)極限的存在性2.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.52.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.52.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.62.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.6立即得到對下鞅的情況，相應地得到定理2.6的結果說明在幾乎處處收斂的意義下，上鞅(下)的反向極限一定存在,這一事實在以離散參數(shù)去逼近連續(xù)參數(shù)上(下)鞅時很有用。因為只要令2.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.72.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.72.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.704停止定理(一般情形)停止定理(一般情形)現(xiàn)在我們有了足夠的工具將2.2節(jié)中的停止定理從T為有限集的情況推廣到一般情況在推廣過程中，我們將遇到兩個問題:從有界停時到無界停時以及從離散取值停時到連續(xù)取值停時。定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8Ⅱ停止定理(一般情形)定理2.8Ⅱ停止定理(一般情形)定理2.8Ⅲ05修正定理修正定理在2.4節(jié)中，我們對連續(xù)時間參數(shù)的下(上)都假定了沿軌道的右連續(xù)性。下面的修正定理說明，這種假定并非條件過強。定理2.9修正定理定理2.9修正定理定理2.9修正定理定理2.9謝謝觀看“隨機過程論“離散時間可數(shù)狀態(tài)馬氏過程一馬氏鏈隨機過程論第三章離散時間可數(shù)狀態(tài)馬氏過程一馬氏鏈本章將研究一種較簡單的馬氏過程——可數(shù)狀態(tài)馬氏過程，也稱馬氏鏈。離散時間可數(shù)狀態(tài)馬氏過程一馬氏鏈于是，轉移概率應滿足的條件就變成:離散時間可數(shù)狀態(tài)馬氏過程一馬氏鏈01離散時間時齊馬氏鏈1.例子本節(jié)我們就一些具體的例子來考察它的轉移陣。下面的例1和例2已經在1.1節(jié)中提出了模型，此處不再重復，而只給出轉移陣P。例1(Bernoulli序列)1.例子例2(隨機徘徊)1.例子例3(具有吸收壁的隨機徘徊)1.例子例4(具有反射壁的隨機徘徊)1.例子例5(分支過程)1.例子例5(分支過程)1.例子例6(遺傳馬氏鏈)2.狀態(tài)分類定義3.12.狀態(tài)分類定義3.2i稱為常返，若否則稱為非常返(或暫態(tài))。i常返的意思就是從i出發(fā)，有限步內必回到i。令及容易看出2.狀態(tài)分類命題3.2以下命題等價:2.狀態(tài)分類命題3.22.狀態(tài)分類命題3.32.狀態(tài)分類命題3.32.狀態(tài)分類命題3.3就知道i是常返的。由命題3.3就知道，按互通關系所分成的等價類中，有一部分是常返所組成的類，從這種常返類出發(fā)永遠不能到達它以外的狀態(tài)。換句話說，一個馬氏鏈一旦到達某個常返類，就必須永遠停留在此常返類中，并且將跑遍此常返類中的全部狀態(tài)。于是，我們對上述各等價類之間的轉移概率可以得到下面的結論:設全體常返類是H1,H2，···,Hn，···H將全部非常返類合并為一類，記為U;若將狀態(tài)按不同等價關系類排列，轉移陣應有以下形式:2.狀態(tài)分類定義3.33.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率3.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率3.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率3.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率3.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率定理3.1設P不可約，則P常返當且僅當P的一切盈函數(shù)都是常數(shù)。3.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率定理3.13.調和函數(shù)、盈函數(shù)與禁忌概率可見P不可能常返。定理3.102弱遍歷定理與不變測度1.弱遍歷定理則極限存在，而且滿足方程定理3.21.弱遍歷定理證明

由于定理3.21.弱遍歷定理定理3.2另外，由于1.弱遍歷定理定理3.21.弱遍歷定理定義3.61.弱遍歷定理定義3.61.弱遍歷定理定理3.31.弱遍歷定理定理3.31.弱遍歷定理定理3.32.不變概率測度命題3.7P的不變概率測度存在當且僅當它至少有一個正常返類，這時它的任一不變概率測度在非正常返類上的測度都是02.不變概率測度命題3.703強馬氏過程、強遍歷性與平均回訪時間1.強馬氏性的概念定義3.8(強馬氏性)1.強馬氏性的概念強馬氏性是比馬氏性更強的性質，直觀地說，就是在考慮馬氏性時，“現(xiàn)在”的時刻t是一個T中的數(shù):而在強馬氏性中，“現(xiàn)在”的時刻τ可以是任意停時。強馬氏性可以使許多計算大大簡化，可以得到許多好結果，因而考慮馬氏過程，常常希望它能具有強馬氏性。于是研究什么樣的馬氏過程具有強馬氏性變得非常重要，時間參數(shù)離散的馬氏過程都有強馬氏性。但一般時間參數(shù)的馬氏過程并不一定具有強馬氏性，第五章中我們將對此給出反例。1.強馬氏性的概念命題3.81.強馬氏性的概念命題3.8可見2.平均回訪時間現(xiàn)在讓我們利用強馬氏性來討論回訪時間間隔，令再令2.平均回訪時間2.平均回訪時間命題3.92.平均回訪時間命題3.92.平均回訪時間命題3.92.平均回訪時間命題3.93.強遍歷定理命題3.43.強遍歷定理命題3.43.強遍歷定理命題3.43.強遍歷定理命題3.43.強遍歷定理命題3.43.強遍歷定理命題3.53.強遍歷定理命題3.53.強遍歷定理命題3.53.強遍歷定理命題3.53.強遍歷定理命題3.103.強遍歷定理命題3.10命題3.10與定理3.5是一般平穩(wěn)過程遍歷論的特例。滿足定理3.53)的平穩(wěn)過程稱為遍歷的。人們也把滿足定理3.51)的平穩(wěn)馬氏鏈或不可約正常返馬氏鏈(兩者本質上相同)稱為遍歷的馬氏鏈。3.強遍歷定理命題3.1004轉移概率的極限轉移概率的極限定理3.6設P不可約正常返非周期，則證明我們這里采用概率方法一合鏈方法來證明本定理，以避免像一般經典證法那樣引用數(shù)論的結果:同時也較少利用馬氏鏈的特殊性，以推廣這個證法到連續(xù)狀態(tài)空間的馬氏過程。轉移概率的極限定理3.6轉移概率的極限定理3.6轉移概率的極限定理3.6轉移概率的極限定理3.7設P是零常返、不可約、非周期的，則轉移概率的極限定理3.7轉移概率的極限定理3.7轉移概率的極限定理3.8設P非周期，則其中而狀態(tài)空間轉移概率的極限定理3.8轉移概率的極限定理3.9轉移概率的極限定理3.9謝謝觀看“隨機過程論“連續(xù)時間的馬氏鏈隨機過程論第四章連續(xù)時間的馬氏鏈在許多物理、工程及其他應用問題中，我們常碰到“隨機函數(shù)”，即時間參數(shù)集是T=R+或R的隨機過程，例如第一章中的例3(Poisson過程)。事實上，大多數(shù)有隨機噪聲的控制設備或儀器的輸出都是連續(xù)時間的隨機過程。當然，我們可以將時間參數(shù)離散化，即考慮它在一段時間{t0+n△t;n=0，1，···}。上的值，而得到隨機序列{Xn;n=0，1，···}。不過這樣做不僅有可能使我們忽略了原來系統(tǒng)的某種時間結構，而且有可能反而把以連續(xù)參數(shù)處理起來比較簡單的問題復雜化了。因此，我們這里有必要再討論連續(xù)時間的馬氏鏈。01連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣我們都熟知:對于實函數(shù)p(t)=eat，參數(shù)類似地，我們自然地猜到對矩陣函數(shù)P(t)=eAt是否應為先來看Poisson過程這個例子。我們知道:于是連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣其中連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1設轉移陣P(t)滿足條件(其中I是單位陣;我們稱滿足式(4.1)的轉移陣P是標準的)，則存在，但可能無限;而存在且有限。而且連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1證明

1)先證明式(4.2)。由式(4.1)易見pij(t)右連續(xù)于(0,+∞)，又由于連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.12)現(xiàn)在我們來證明式(4.3)，令連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.1連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定義4.1(Q-矩陣)方陣Q=(qij)稱為一個Q-矩陣，如果滿足條件由上面的推論可以看出，對一個標準馬氏鏈，矩陣(p‘ij(0+))是一個Q-矩陣，我們稱該矩陣為此馬氏鏈的Q-矩陣。連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定義4.2(保守)定義4.3連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣命題4.1對有限狀態(tài)馬氏鏈，若其轉移陣P是標準的，則它的Q-矩陣一定保守，而且稱為前進方程，而稱為后退方程，而且連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣命題4.1證明，由連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣命題4.1應該指出:對一般可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈，前進方程與后退方程并不一定成立。但可以證明對保守馬氏鏈，后退方程一定成立。至于給了Q-矩陣Q，是否存在以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏過程的問題，在4.2節(jié)中我們將做進一步的討論，一般來說對某一個固定的Q-矩陣Q，這樣的過程并不一定唯一。連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣命題4.1下面討論Q-矩陣元素的概率意義。Q的元素qij有明確的概率意義，它們可以使我們對于連續(xù)時間的馬氏鏈的統(tǒng)計性質有進一步深入、具體的了解。連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.2連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.2證明

1)利用軌道右連續(xù)性，有可知P(t)是標準的，再用軌道的右連續(xù)性，容易看出:連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.22)首先，由1)可見連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.2連續(xù)時間馬氏鏈的轉移密度陣定理4.202連續(xù)時間的馬氏鏈的強馬氏性、嵌入鏈與以Q為密度的連續(xù)時間馬氏鏈的最小解1.強馬氏性正如在3.2節(jié)中指出的，在許多情況下，強馬氏性很重要，這里我們給出一個簡單且十分常見的連續(xù)時間馬氏鏈具有強馬氏性的條件。定理4.31.強馬氏性定理4.31.強馬氏性命題4.21.強馬氏性命題4.21.強馬氏性命題4.3在定理4.2的條件下，若令1.強馬氏性命題4.3證明

這里我們沿用命題4.2的記號。由于由強馬氏性，上式應等于1.強馬氏性命題4.3式(4.9-1)得證。下面我們用歸納法證明式(4.9-2)成立。對n=1，由式(4.9-1)，我們有設式(4.9-2)對n成立，則由式(4.9-1)及歸納法假設，我們有1.強馬氏性命題4.3于是由歸納法證明了式(4.9-2)成立。命題4.3的其他結論是明顯成立的。1.強馬氏性命題4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定義4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4此外，再用歸納法證明Kolmogorov方程滿足，顯然2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4又設則2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4由歸納法得式(4.14)對一切n成立，因而2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42)現(xiàn)在來證明F(t)滿足前進方程和后退方程。由于對上式兩邊求導就得到2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4由式(4.9-2)，我們有對式(4.15)求和，我們就得出2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4對式(4.16)兩邊求導，就得到2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.43)最小性。2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4注:定理4.4的證明過程說明最小解就是在飛躍點截止的過程。推論滿足向后方程組的標準以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈唯一的充要條件是:2.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.42.以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈轉移陣的構造、最小解定理4.4因而所要求的P(t)構造成功。重復上面的構造法，可以可數(shù)次地接上獨立的新過程，由于這可列個新過程獨立同分布，由大數(shù)律可知這可列個滅絕時間的和必為+∞(a.e.)，因而可數(shù)次地接上新過程后所得的過程必是一個馬氏鏈，即對于連續(xù)時間馬氏鏈也可類似3.1節(jié)，相應地考慮狀態(tài)分類、常返性，只是命題3.2中3)中的求和應改為積分(見本章習題)。此外，連續(xù)時間馬氏鏈的不變測度、遍歷極限等問題，只要考慮其嵌入鏈，在很廣條件下也能得出相應結論。03對稱性與可逆性1.對稱性與可逆性的概念定義4.5馬氏過程的可逆性是指過程的統(tǒng)計規(guī)律在時間倒逆下的不變性，將可逆性的概念略加推廣，就得到對稱性的概念，而對稱性正是泛函分析中自共驅算子與半群的概率版本。對稱過程具有許多特殊性質。本節(jié)介紹可逆馬氏鏈及對稱馬氏鏈的概念及重要性質，并以求不變測度為例，說明怎樣利用對稱性與可逆性來研究問題。1.對稱性與可逆性的概念命題4.51.對稱性與可逆性的概念命題4.51.對稱性與可逆性的概念命題4.51.對稱性與可逆性的概念命題4.5

把可逆性的概念略加推廣，取消平穩(wěn)性要求就得到了對稱性的概念。1.對稱性與可逆性的概念定義4.61.對稱性與可逆性的概念定義4.61.對稱性與可逆性的概念命題4.62.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度馬氏鏈的對稱化測度一定是不變測度，而不可約常返對稱馬氏鏈的不變測度也一定是對稱化測度。然而對稱化測度比不變測度更容易處理，其原因有二:第一，對稱化測度可以用轉移陣的元素顯式表示，而一般的不變測度很難做到這點:第二，如果我們將馬氏鏈限制在它的狀態(tài)空間?的任意一個真子集?0中，也就是將在?0之外的每一個狀態(tài)都改為“反射壁”，這樣得到一個新的馬氏鏈，對于對稱的原馬氏鏈情形，則新舊馬氏鏈具有“相同的”對稱化測度。但一般地，這樣得到的新馬氏鏈不僅未必對稱，甚至未必與原來的馬氏鏈有“相同的”不變測度，這就是命題4.7所說明的問題。2.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度命題4.72.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度定理4.52.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度定理4.52.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度定理4.52.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度定理4.52.對稱馬氏鏈的對稱化測度與不變測度定理4.53.以Q為密度的連續(xù)時間馬氏鏈的對稱性與可逆性定理4.63.以Q為密度的連續(xù)時間馬氏鏈的對稱性與可逆性定理4.63.以Q為密度的連續(xù)時間馬氏鏈的對稱性與可逆性定理4.6謝謝觀看“隨機過程論“Brown運動隨機過程論第五章Brown運動Brown運動作為物理現(xiàn)象，首先是由英國生物學家Brown于1827年觀察花粉微粒在液面上的“無規(guī)則運動”提出的。Einstein對這種“無規(guī)則運動”進行了物理分析，并首次提出了Brow運動的數(shù)學模型，這正是在第一章里我們簡單介紹過的Brown運動的概率模型這個模型給出了Brown運動應遵從的概率分布。Wiener和Levy等人進一步研究了Brown運動的軌道性質。這些性質異常深刻而奇特(例如，Brown運動幾乎所有的軌道都是處處連續(xù)而且處處不可微的)，與以前分析學中常見的光滑函數(shù)迥然不同。Wiener提出了在Brown運動軌道空間上定義測度與積分，從而形成了Wiener空間的概念。此后對Brown運動及其泛函的研究深入發(fā)展，又逐漸滲透到概率論及數(shù)學分析的各個領域中，成為現(xiàn)代概率論的重要基礎。Brown運動我們從第一章已經知道，Brow運動是一個具有連續(xù)時間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的隨機過程。事實上，它是這種隨機過程中最簡單、最重要的特例。許多不同類型的重要隨機過程都可以視為它的泛函或某種意義下的推廣。然而它又是迄今我們研究得最多，了解得最清楚且性質最豐富的隨機過程之一。因此，認識并熟悉Brow運動的性質可以給其他較一般的隨機過程的研究提供必要的感性認識與啟迪。從應用角度看，由于自然科學、工程技術、經濟管理等廣泛的領域都有“噪聲”與漲落現(xiàn)象，它們往往涉及Brown運動也就需要建立Brown運動的理論;又由于Brown運動與熱傳導方程有密切的聯(lián)系，使它成為概率論與分析聯(lián)系的重要紐帶:它還被作為概率論和數(shù)學其他分支研究的重要工具，例如20世紀60年代中以來發(fā)展起來的以Brown運動研究極限定理的方法(即Skorohod嵌人與Strassen律等)與以Brown運動及多指標Brown運動研究調和分析······總之Brown運動的理論是重要而基本的對Brown運動的研究至今仍在繼續(xù)，這方面的研究成果十分豐富，我們在這里只能涉及基本的、較初等的部分。01Brown分布及其性質1.Brown分布在第一章例4中我們已經導出了Brown運動是滿足以下條件的隨機過程事實上，1)和2)已經決定了B的分布，3)不能完全由B的分布決定，我們將滿足1)和2)的隨機過程的分布稱為Brown分布。下面的命題給出了Brown分布的一個等價定義，在不少場合下，這個定義更易驗證。1.Brown分布命題5.1證明

必要性:顯然“B是Brown分布的”蘊含它是Gauss系，而且1.Brown分布命題5.1充分性:當B是Gauss系，而式(5.1)成立，就得到1.Brown分布命題5.21.Brown分布命題5.2證明由命題5.1及如下各等式，命題各結論顯然成立:1.Brown分布命題5.31.Brown分布命題5.3命題5.3中給出了三個與Brown運動有關的鞅，它們在隨機分析的研究中起著重要作用。注:事實上，命題5.3中的2)與3)都分別是B遵從Brown分布的充要條件。2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群因而轉移密度函數(shù)2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群這兩個方程對應于以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈的后退方程與前進方程:2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群但是這一對方程有了完全不同的形式。為了使兩者統(tǒng)一起來，我們引入半群及其生成元的概念。2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群容易看出即2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群當T=Z+，我們立刻得到即P1是半群的生成元。但是，當T=R+時，類似于以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈中考慮Q-矩陣，我們設法找出無窮小生成元。為簡單地突出思想，讓我們考慮有限狀態(tài)以Q為密度的連續(xù)時間的馬氏鏈。這時2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群其中而且2.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群定義5.12.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群定義5.12.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群定義5.12.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群定義5.12.Brown運動的馬氏性、轉移函數(shù)與半群定義5.13.Brown橋下面我們來研究Brown橋的分布。顯然它是一個Gauss系，因而我們只需考查它的期望與協(xié)方差。事實上，容易算出3.Brown橋命題5.4證明由于Brown橋是Gauss系，所以要證明本命題中兩個過程同分布，只要證明它們具有相同的期望與協(xié)方差函數(shù)。事實上可見命題結論正確。3.Brown橋Brown橋是一個馬氏過程，但非時齊證明由于Brown橋是Gauss系，令命題5.53.Brown橋命題5.53.Brown橋命題5.63.Brown橋命題5.6命題5.6說明Brown橋就是將Brown運動分別在t=0時固定在x，而將t=t0的值固定在y的條件過程。證明

由于3.Brown橋命題5.64.高維Brown運動定義5.2命題5.74.高維Brown運動命題5.8將命題5.1中的式(51)改為則該命題對BMd亦成立。證明

由于容易導出所需結論。4.高維Brown運動命題5.9命題5.10命題5.2中各個結論對BMd仍成立。4.高維Brown運動命題5.10對多維Brown運動，仍可考慮其半群:其中02Brown運動的存在性及其軌道性質Brown運動的存在性及其軌道性質在5.1節(jié)中我們討論了遵從Brown分布的過程，但是作為Brown運動(以后簡稱BM)還要求它的軌道對t是連續(xù)的。我們注意到并非任何分布的隨機過程都允許它有連續(xù)軌道的“版本”。例如，滿足Poisson分布的隨機過程，軌道只在101,2.中跳躍地遷移，軌道不可能連續(xù)。讀者也許會想，造成不連續(xù)軌道的原因是狀態(tài)空間離散，如果我們考慮連續(xù)的狀態(tài)空間，就可能使過程沿軌道連續(xù)了。這是不對的。下面的例子說明對某些分布的馬氏過程(狀態(tài)空間連續(xù))，它不可能有軌道連續(xù)的版本。Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.1Brown運動存在。Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.2Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.2Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.2推論

Brown運動沿幾乎所有軌道在任何有限區(qū)間上沒有限變差。證明

由于有限變差函數(shù)幾乎處處可導，推論顯然成立。Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.3Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.3Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.3Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.3Brown運動的存在性及其軌道性質定理5.3這個結果表面上似乎與2)中結果矛盾，但由于對不同的t,2)中的零測度例外集可以不同它們合在一起是一個概率為1的集合。03Brown運動與停時1.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性定理5.41.強馬氏性與再生性命題5.112.反射原理如果在某停時τ后，將一個BMd的各分量對Bτ(i)做鏡象反射而得一個新過程(見圖5-3)，由BMd經過這樣“反射”的新過程仍是一個BMd運動。下面這個定理就闡明了這一深刻的事實，它對反射Brown運動等重要過程的研究是很關鍵的。2.反射原理定理5.62.反射原理定理5.62.反射原理定理5.72.反射原理定理5.72.反射原理定理5.72.反射原理定理5.72.反射原理定理5.72.反射原理定理5.72.反射原理定理5.72°用1°及馬氏性，我們得到1°的等式左側為2.反射原理定理5.72.反射原理定理5.73.常返性及某些擊中分布在本節(jié)中我們討論BMd的常返性及一些有趣的擊中分布。本節(jié)中使用的方法，主要是考查與BMd有關的鞅，并運用鞅的停止定理來計算出所要的結果。這種方法具有典型性，它很好地顯示了鞅論的作用。本節(jié)各定理、命題的推演是鞅論應用的很好的實例。命題5.12設B是一個標準BM1，則是時齊獨立增量過程，而且3.常返性及某些擊中分布命題5.123.常返性及某些擊中分布命題5.123.常返性及某些擊中分布命題5.133.常返性及某些擊中分布命題5.13BMd的常返性依d的不同而異，下面讓我們先給出一些不同的常返性及有關概念的定義。3.常返性及某些擊中分布命題5.133.常返性及某些擊中分布命題5.133.常返性及某些擊中分布命題5.133.常返性及某些擊中分布命題5.13由歸納法得到再令n→+∞，就得到注:對于時齊強馬氏過程，有限時間概率為1地擊中某一點至少一次，就保證它有限時間概率為1地擊中該點無窮多次，從上面的證明就看出這一點。下面我們給出一個關于BMd有趣的擊中分布律，它是BMd常返性討論的基礎。為此，我們先證明一個聯(lián)系Brow運動與(局部)調和函數(shù)的命題。3.常返性及某些擊中分布命題5.143.常返性及某些擊中分布命題5.143.常返性及某些擊中分布命題5.143.常返性及某些擊中分布命題5.143.常返性及某些擊中分布命題5.143.常返性及某些擊中分布命題5.143.常返性及某些擊中分布命題5.153.常返性及某些擊中分布命題5.153.常返性及某些擊中分布命題5.153.常返性及某些擊中分布命題5.153.常返性及某些擊中分布定理5.93.常返性及某些擊中分布定理5.93.常返性及某些擊中分布定理5.9若x=0，則我們用馬氏性得到3.常返性及某些擊中分布定理5.103.常返性及某些擊中分布定理5.103.常返性及某些擊中分布定理5.10進而我們還可得到3.常返性及某些擊中分布定理5.10另外，對d=2，由定理5.7推論2又得到3.常返性及某些擊中分布定理5.10謝謝觀看“隨機過程論“馬氏過程隨機過程論第六章馬氏過程在第三至五章中，我們分別研究了可數(shù)狀態(tài)的馬氏過程和一種特殊的以Rd為狀態(tài)空間的馬氏過程-Brown運動，我們對馬氏過程已經有一些具體的了解。本章我們將對馬氏過程進行一般的研究:討論它的半群與無窮小生成元、強馬氏性，以及軌道性質等問題。在第七章，我們再簡單介紹一下近年來發(fā)展很快且受到普遍重視的幾個有關問題:無窮粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計模型、點過程和隨機測度。01馬氏過程與半群及鞅問題馬氏過程與半群及鞅問題在5.2節(jié)中，我們知道半群及其無窮小生成元可將離散狀態(tài)空間(如馬氏鏈)與連續(xù)狀態(tài)空間(如BMd)的馬氏過程做統(tǒng)一的刻畫，使我們更能把握住馬氏過程的特征。本節(jié)中我們給出一般的馬氏過程半群理論。1.馬氏過程對應的半群命題6.11.馬氏過程對應的半群命題6.11.馬氏過程對應的半群命題6.21.馬氏過程對應的半群命題6.22.無窮小生成元考查2.無窮小生成元命題6.32.無窮小生成元命題6.32.無窮小生成元命題6.32.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.13.鞅問題與弱生成元上面講到，無窮小生成元是按B(?)中的強收斂定義的，因而它的定義域比較小，而且較難確定。特別是在很多情況下，問題往往是要求對已知的形式無窮小生成元去找出其相應馬氏過程。這時，能夠給出一個要求較弱的類似無窮小生成元的刻畫就很方便。Stroock-Varadhan提出了馬氏過程的鞅問題的模型，這為在馬氏過程中使用鞅方法提供了指導。下面我們來介紹鞅問題的模型。首先，注意到式(6.2)還可以寫成積分形式，即3.鞅問題與弱生成元也就有由馬氏性與時齊性就得到3.鞅問題與弱生成元3.鞅問題與弱生成元命題6.53.鞅問題與弱生成元命題6.53.鞅問題與弱生成元命題6.53.鞅問題與弱生成元命題6.602強馬氏性、過程的截止與Feymann-Kac公式1.推移算子與強馬氏性在討論馬氏過程沿軌道的性質時，利用第一章1.3節(jié)中引入的推移算子是很方便的，而且它對于其他過程的研究也有益。假定T對加法封閉。2.具有強馬氏性的條件我們在第四章中已經知道，對于只有可列個取值的停時7，馬氏過程必有強馬氏性。但是一般情況下，并非所有馬氏過程都有強馬氏性。本節(jié)主要討論對一個軌道右連續(xù)的馬氏過程，在其轉移函數(shù)(半群)上附加什么條件就能保證有強馬氏性。定義6.12.具有強馬氏性的條件定理6.22.具有強馬氏性的條件定理6.22.具有強馬氏性的條件定理6.2成立。再利用在有界收斂意義下，連續(xù)函數(shù)可逼近有界可測函數(shù)，于是式(6.12)就對一切有界可測函數(shù)成立。3.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.74.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.303度量空間中測度的弱收斂及馬氏過程在C空間與D空間的實現(xiàn)1.度量空間上的測度空間1.度量空間上的測度空間定義6.21.度量空間上的測度空間定義6.2定義6.31.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間命題6.81.度量空間上的測度空間命題6.82.胎緊與(X)的緊性定理6.52.胎緊與(X)的緊性定理6.52.胎緊與(X)的緊性定義6.4定理6.62.胎緊與(X)的緊性定理6.6定理6.72.胎緊與(X)的緊性定理6.72.胎緊與(X)的緊性定理6.73.連續(xù)函數(shù)空間上的測度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測度命題6.94.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)設已知轉移函數(shù)族定理6.84.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)定理6.84.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)定理6.9對一般的隨機過程，我們還有一個關于它在連續(xù)函數(shù)空間上實現(xiàn)的推廣的Kolmogorov定理，它對于獨立增量過程，使用起來特別方便。下面我們給出這些定理，而略去其證明。4.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)定理6.105.D[0,1]上的測度般來說，給定了取值于度量空間的轉移函數(shù)族{P(t;x,A}，對應的馬氏過程并不一定能在連續(xù)軌道上實現(xiàn)，我們在第四章與第五章中已經看到了反例。因此，我們退一步再考慮給定了轉移函數(shù)，在什么條件下它決定的馬氏過程可以是幾乎全部軌道右連續(xù)而且具有左極限的，也即它可以在右連續(xù)、具有左極限的軌道空間(記為D[0,1])上實現(xiàn)。令5.D[0,1]上的測度定義6.55.D[0,1]上的測度定義6.55.D[0,1]上的測度定義6.5Varadhan利用D[0,1]空間上概率分布的弱緊條件重新證明了Kolmogorov關于隨機過程能在D[0,1]空間上實現(xiàn)的矩條件的定理及Dynkin關于馬氏過程能在D[0,1]空間上實現(xiàn)的致o(1)條件的定理。這不僅在方法上更統(tǒng)一、更現(xiàn)代化，而且更加直觀。由于Varadhar的證明很難在一般書上找到，而且它太長，我們在這里介紹Varadhan的證明綱要。為此我們先列出D[0,1]空間上連續(xù)模的一系列事實，它們是不難證明的。5.D[0,1]上的測度定義6.55.D[0,1]上的測度定理6.115.D[0,1]上的測度定理6.115.D[0,1]上的測度定理6.115.D[0,1]上的測度定理6.115.D[0,1]上的測度定理6.125.D[0,1]上的測度定理6.135.D[0,1]上的測度定理6.135.D[0,1]上的測度定理6.135.D[0,1]上的測度定理6.13謝謝觀看“隨機過程論“相互作用粒子系、滲流與點過程的數(shù)學模型隨機過程論第七章相互作用粒子系、滲流與點過程的數(shù)學模型近世紀以來，若干新的隨機過程分支迅速地發(fā)展起來。它們不僅本身具有豐富的數(shù)學內容，提出了大量富于挑戰(zhàn)性的新問題，與其他領域建立了許多出乎預料的聯(lián)系:而且其中有不少反過來對產生它們的領域有了深刻的影響。例如，相互作用粒子系、滲流等問題是由統(tǒng)計物理中的問題提出的，在20世紀60年代末開始成為一個數(shù)學分支，近年來這個方向上的發(fā)展對統(tǒng)計物理產生了很大影響，被譽為數(shù)學反過來向物理輸出的范例之一。01相互作用粒子系的數(shù)學模型1.例與簡單的概念由于經典的Gibbs平衡態(tài)中出現(xiàn)了有趣而有吸引力的相變現(xiàn)象，自然地，人們希望能對以Gibbs平衡態(tài)為平穩(wěn)測度的動態(tài)發(fā)展過程給出清晰的描述，從而提出了相互作用粒子系的數(shù)學模型——一種新型的馬氏過程。從數(shù)學的角度看，它是馬氏過程發(fā)展的新起點，它提出了一系列具有刺激作用的新問題與新方法。例11.例與簡單的概念例1其中1.例與簡單的概念例1因而具有連續(xù)軌道，但滿足式(7.2)的前者則不可能具有連續(xù)軌道。這里討論的是有限粒子系，然而有趣的相變現(xiàn)象恰巧只在無窮粒子系中發(fā)生。1.例與簡單的概念例2然而最有趣的卻是無窮的相互作用粒子系。1.例與簡單的概念例31.例與簡單的概念例31.例與簡單的概念例3這時對應于式(7.2)的是其中1.例與簡單的概念例3式(7.7)可由式(7.5)和式(7.6)不嚴格地進行推導。1.例與簡單的概念例32.一些重要的具體模型1)Ising模型(無外力情形)2.一些重要的具體模型1)Ising模型(無外力情形)2.一些重要的具體模型2)表決模型(VoterModel)2.一些重要的具體模型3)傳染模型2.一些重要的具體模型4)排他模型這個模型對格點問題的研究有重要意義。考慮無窮個粒子在d-維格點Zd上運動，每點最多只能有一個粒子，每個粒子按如下規(guī)則運動:2.一些重要的具體模型4)排他模型5)X-Y模型2.一些重要的具體模型5)X-Y模型02滲流問題與隨機介質的概率模型1.滲流問題模型早在20世紀50年代，對于流體在疏松介質中滲透，人們就提出了滲流問題。至今，滲流不僅在隨機介質的研究中有大量應用，而且也由此提出了許多有趣的數(shù)學問題。例4(獨立齊次d-維格子的邊滲流模型)考慮Zd的全部邊，即全部Zd中的緊鄰的點對1.滲流問題模型例41.滲流問題模型例42.隨機介質問題03點過程模型1.點過程的概念最簡單的點過程是Poisson點過程，第一章與第四章中，我們已經知道Poisson過程是一個馬氏過程。但是我們可以從另一個角度來認識它，并加以推廣，得到另一類常見的隨機過程一點過程。1.點過程的概念1.點過程的概念定義7.12.點過程的應用與推廣定理7.1定理7.22.點過程的應用與推廣由以上兩個定理可知，點過程對于用簡單過程表示具有跳躍的過程(如積分)具有重要意義。此外，點過程在描述BMd、擴散過程等從某一點出發(fā)的游及其與原過程的關系等問題時也是很有用的工具。點過程的另一類重要應用是在生存分析、可靠性理論與排隊論中。點過程能很好地描述電話呼喚流、服務需求流、服務完成流、事故發(fā)生流、各種物流等這些應用問題中的最常見的隨機過程。Khinchin在《公用事業(yè)數(shù)學理論》一書中，就已經使用Poisson過程來描述呼喚流。2.點過程的應用與推廣2.點過程的應用與推廣定義7.2謝謝觀看“隨機過程論“擴散過程與隨機分析初步隨機過程論第八章01擴散過程及其生成元1.古典擴散模型與例子1.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子類似于Brown運動的相應計算方法，我們容易算出以上三個過程的擴散系數(shù)均為1，漂移系數(shù)均為0(對x>0)，即它們有相同的形式生成元。然而，它們有不同的無窮小生成元不同處就在于定義域不一樣。1.古典擴散模型與例子2.擴散過程應該指出，不同的書中對擴散過程給出了不同的定義，雖然它們大體上相同，但彼此卻并不等價:我們這里采用的是一種最常見且簡單的說法(還有一種較為普遍的定義是:連續(xù)軌道的強馬氏過程)。2.擴散過程擴散過程理論在物理、化學、生物、工程、經濟等領域中有廣泛的應用。例如，分子運動、帶噪聲的通信系統(tǒng)、有干擾的神經生理活動、生物膜中的滲透過程、進化過程中的基因更替、期貨與期權定價等一系列研究中，擴散過程都能提供一個很好的近似模型。此外，擴散過程理論也與微分方程的研究有密切的聯(lián)系。許多擴散過程的泛函，例如擊中分布、平均吸收時間、占位時間分布、不變測度等都是一些微分方程的邊值或初值問題的解，擴散理論不僅可以提供一些系數(shù)與邊界要求較寬的微分方程解的存在性、唯一性條件，而且直觀的概率意義也可以為微分方程的問題的合理提法提供啟迪。在微分方程的計算方面，MonteCaro方法就是用計算機模擬擴散過程，并以大量現(xiàn)實(軌道)的算術平均來近似過程的統(tǒng)計平均去求方程的解。3.擴散過程的純分析構造方法對給定的A和b，有許多不同的途徑去構造它們相應的擴散過程，它們各有自己的局限性與優(yōu)點。例如，純分析構造方法對系數(shù)光滑性要求較高，而且又要用到微分方程的冗長而又沉重的基本解定理，但是它的結果具體，并可導出前進、后退方程。在本章的后半部分我們將介紹純概率構造方法——利用隨機微分方程的方法。本節(jié)中我們先介紹純分析構造方法，應用冗長而沉重的偏微分方程的基本解定理，由于它已大大超出本書的范圍，我們只引用而不做任何論證。定理8.13.擴散過程的純分析構造方法定理8.13.擴散過程的純分析構造方法定理8.13.擴散過程的純分析構造方法定理8.1遺憾的是定理8.1要求的條件太強，它排斥了許多有趣的情況，甚至線性擴散也不完全滿足它的條件，這是偏微分方程方法的不足之處。為了補足這一方面，需要嘗試構造擴散過程還有半群方法及隨機微分方程方法等。4.向前與向后方程在一些條件下，一個擴散過程的轉移密度應滿足方程并且是方程的基本解。我們稱式(85)為Komogorov向后方程。下面的定理82給出Kolmogorov向前方程(或稱Fokker-Plank方程)成立的條件。4.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.25.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.3是方程的解(如果此解存在并且滿足二階連續(xù)可微到邊界)。此處的討論是以微分方程狄氏問題解的存在性與直到邊界的二階連續(xù)可導性為前提的這似乎使人感到用概率方法研究狄氏問題的效果并不好。事實上，利用概率方法也可以獨立地得到結論:當L的系數(shù)滿足一定的光滑性要求時，由條件期望定義的函數(shù)是式(810)的Sobolev解，再由Sobole嵌入定理進而說明它也是強解。6.邊界性質定義8.1圖8-1給出了這個定義的直觀含義。事實上，若存在一個以x為頂點的錐全不在D中，則x必為正則點。6.邊界性質命題8.2命題8.36.邊界性質命題8.36.邊界性質命題8.36.邊界性質命題8.46.邊界性質命題8.46.邊界性質命題8.46.邊界性質命題8.402隨機積分與微分(Ito積分)1.Ito積分的定義1.Ito積分的定義命題8.41.Ito積分的定義命題8.41.Ito積分的定義命題8.41.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.61.Ito積分的定義命題8.62.Ito公式類似于實函數(shù)微積分中的復合函數(shù)微分公式，對隨機微分也有相應的公式一-Ito公式這里我們將復合函數(shù)微分公式寫為積分形式。2.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.503隨機微分(積分)方程的解與擴散過程1.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.6證明1°我們用類似常微分方程中的逐次逼近法來證明式(8.17)的解的存在性。令1.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.6根據式(819)，容易用歸納法證明于是可見由Borel-Cantelli引理，以下極限幾乎處處存在且有限。1.Ito隨機微分方程的強解的存