數(shù)學《學案導(dǎo)學與隨堂筆記》人教A版浙江版2-2學案：第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1~1.1.2 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．1.1變化率問題1．1.2導(dǎo)數(shù)的概念學習目標1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2。會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率.3。會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)．知識點一函數(shù)的平均變化率假設(shè)如圖是一座山的剖面示意圖，并建立如圖所示平面直角坐標系．A是出發(fā)點，H是山頂．爬山路線用函數(shù)y＝f（x）表示．自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y＝f（x)表示此時旅游者所在的高度．設(shè)點A的坐標為（x1，y1)，點B的坐標為(x2，y2)．思考1若旅游者從點A爬到點B，自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少?答案自變量x的改變量為x2－x1，記作Δx，函數(shù)值的改變量為y2－y1，記作Δy.思考2怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度？答案對山路AB來說，用eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(y2－y1，x2－x1)可近似地刻畫其陡峭程度．思考3觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象，平均變化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示什么？答案觀察圖象可看出，eq\f（Δy,Δx）表示曲線y＝f（x）上兩點(x1，f（x1)），（x2，f（x2）)連線的斜率．梳理函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率（1）定義式:eq\f（Δy,Δx）＝eq\f（fx2－fx1，x2－x1）。（2)實質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．（3）作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1，x2]上變化的快慢．（4)幾何意義：已知P1(x1,f(x1）），P2(x2，f（x2））是函數(shù)y＝f（x）的圖象上兩點，則平均變化率eq\f(Δy,Δx）＝eq\f(fx2－fx1，x2－x1）表示割線P1P2的斜率．知識點二瞬時速度思考1物體的路程s與時間t的關(guān)系是s(t）＝5t2.試求物體在［1，1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度．答案Δs＝5(1＋Δt）2－5＝10Δt＋5（Δt）2,eq\x\to(v）＝eq\f(Δs，Δt)＝10＋5Δt.思考2當Δt趨近于0時，思考1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？答案當Δt趨近于0時,eq\f(Δs，Δt)趨近于10，這時的平均速度即為當t＝1時的瞬時速度．梳理瞬時速度（1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．（2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s（t),則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f（Δs,Δt）＝eq\f（st0＋Δt－st0，Δt)。如果Δt無限趨近于0時，eq\f（Δs,Δt）無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當Δt趨近于0時,eq\f(Δs,Δt)的極限是v,這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim，\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0））eq\f(st0＋Δt－st0,Δt）。知識點三函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)對于函數(shù)f(x)＝－x2＋1.思考如何求f′(x0）?答案f′(x0）＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0））eq\f(－x0＋Δx2＋1－－x\o\al(2,0）＋1,Δx)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)(－2x0－Δx）＝－2x0。梳理函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的瞬時變化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f（Δy，Δx）＝eq\o（lim，\s\do4(Δx→0)）eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′|，即f′（x0)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0))eq\f(Δy，Δx）＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）。類型一函數(shù)的平均變化率命題角度1求函數(shù)的平均變化率例1(1）已知函數(shù)y＝f（x)＝2x2＋3x－5。①求：當x1＝4,x2＝5時，函數(shù)增量Δy和平均變化率eq\f（Δy，Δx)；②求：當x1＝4，x2＝4。1時，函數(shù)增量Δy和平均變化率eq\f(Δy,Δx)。（2)求函數(shù)y＝f(x）＝x2在x＝1，2,3附近的平均變化率,取Δx都為eq\f（1,3),哪一點附近的平均變化率最大?解（1)因為f（x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f（x1＋Δx）－f（x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－（2xeq\o\al（2,1）＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2（Δx)2＋（4x1＋3)Δx.eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（2Δx2＋4x1＋3Δx，Δx）＝2Δx＋（4x1＋3)．①當x1＝4，x2＝5時,Δx＝1，Δy＝2（Δx）2＋(4x1＋3）Δx＝2＋19＝21，eq\f(Δy，Δx）＝21.②當x1＝4，x2＝4。1時，Δx＝0。1,Δy＝2（Δx）2＋(4x1＋3）Δx＝0.02＋1.9＝1.92。eq\f（Δy，Δx)＝2Δx＋（4x1＋3）＝19.2.(2）在x＝1附近的平均變化率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1，Δx）＝eq\f（1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx;在x＝2附近的平均變化率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2，Δx)＝eq\f（2＋Δx2－22,Δx）＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f（3＋Δx2－32,Δx）＝6＋Δx.當Δx＝eq\f（1,3）時，k1＝2＋eq\f（1，3)＝eq\f（7，3），k2＝4＋eq\f(1，3)＝eq\f(13,3），k3＝6＋eq\f(1,3）＝eq\f（19,3)。由于k1<k2〈k3，所以在x＝3附近的平均變化率最大．反思與感悟求平均變化率的主要步驟（1）先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2）－f（x1）．(2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1.（3）得平均變化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx2－fx1，x2－x1)。跟蹤訓練1（1)已知函數(shù)y＝f（x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點A(－1，－6)及鄰近一點B（－1＋Δx，－6＋Δy),則eq\f（Δy,Δx）＝________。(2）如圖所示是函數(shù)y＝f（x）的圖象，則函數(shù)f(x）在區(qū)間［－1,1］上的平均變化率為________；函數(shù)f(x）在區(qū)間［0，2]上的平均變化率為________．答案(1）Δx（2）eq\f(1,2）eq\f（3,4)解析（1)eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f（－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6，Δx）＝Δx.（2)函數(shù)f(x）在區(qū)間[－1,1］上的平均變化率為eq\f(f1－f－1，1－－1)＝eq\f(2－1，2）＝eq\f(1,2）.由函數(shù)f（x）的圖象知,f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3，2），－1≤x≤1，，x＋1,1〈x≤3。))所以函數(shù)f(x）在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為eq\f(f2－f0,2－0）＝eq\f(3－\f（3,2），2）＝eq\f(3,4).命題角度2平均變化率的幾何意義例2過曲線y＝f(x)＝x2－x上的兩點P(1，0）和Q(1＋Δx，Δy)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2,求Δx的值．解割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1＋Δx的平均變化率eq\f（Δy，Δx).∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1)＝(1＋Δx)2－（1＋Δx)－(12－1）＝Δx＋(Δx)2,∴割線PQ的斜率k＝eq\f（Δy,Δx)＝1＋Δx。又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1。反思與感悟函數(shù)y＝f(x）從x1到x2的平均變化率的實質(zhì)是函數(shù)y＝f（x）圖象上兩點P1(x1,f(x1）），P2（x2,f(x2））連線P1P2的斜率，即＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1，x2－x1).跟蹤訓練2(1)甲，乙兩人走過的路程s1(t），s2(t)與時間t的關(guān)系如圖所示，則在[0，t0]這個時間段內(nèi)，甲,乙兩人的平均速度v甲，v乙的關(guān)系是(）A．v甲〉v乙B．v甲〈v乙C．v甲＝v乙D．大小關(guān)系不確定(2）過曲線y＝f（x)＝eq\f（x，1－x)圖象上一點（2，－2)及鄰近一點(2＋Δx，－2＋Δy）作割線,則當Δx＝0.5時割線的斜率為________．答案（1）B(2)eq\f(2,3）解析(1)設(shè)直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC,由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在[0，t0］上的平均變化率v甲＝kAC,s2(t)在［0，t0］上的平均變化率v乙＝kBC.因為kAC〈kBC，所以v甲<v乙．（2)當Δx＝0。5時,2＋Δx＝2。5，故－2＋Δy＝eq\f（2.5，1－2.5）＝－eq\f（5,3），故kPQ＝eq\f（－\f（5，3）＋2，2。5－2)＝eq\f（2,3）.類型二求瞬時速度例3某物體的運動路程s(單位:m)與時間t(單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)s（t）＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度．解∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f（s1＋Δt－s1,Δt）＝eq\f（1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1，Δt）＝3＋Δt，∴eq\o（lim，\s\do4(Δt→0）)eq\f（Δs，Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0））(3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3。即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s。引申探究1．若例3中的條件不變，試求物體的初速度．解求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵eq\f(Δs，Δt）＝eq\f（s0＋Δt－s0，Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1，Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0））（1＋Δt）＝1?！辔矬w在t＝0時的瞬時變化率為1,即物體的初速度為1m/s.2．若例3中的條件不變,試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s。解設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s。又eq\f(Δs,Δt）＝eq\f（st0＋Δt－st0,Δt）＝（2t0＋1）＋Δt.eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f（Δs，Δt）＝eq\o（lim，\s\do4(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.則2t0＋1＝9,∴t0＝4。則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.反思與感悟(1）不能將物體的瞬時速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時變化率是導(dǎo)致無從下手解答本類題的常見錯誤．(2）求運動物體瞬時速度的三個步驟①求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s（t0）;②求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs，Δt）；③求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時,eq\f（Δs，Δt)無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝eq\o（lim，\s\do4（Δt→0))eq\f（Δs，Δt）。跟蹤訓練3一質(zhì)點M按運動方程s(t）＝at2＋1做直線運動（位移單位:m，時間單位：s)，若質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數(shù)a的值．解質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時變化率．∵質(zhì)點M在t＝2附近的平均變化率為eq\f（Δs，Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt）＝eq\f（a2＋Δt2－4a，Δt）＝4a＋aΔt，∴eq\o（lim，\s\do4（Δt→0）)eq\f（Δs,Δt）＝4a＝8，即a＝2.類型三求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)例4(1)設(shè)函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處可導(dǎo)，且eq\o（lim，\s\do4（Δx→0））eq\f（fx0－3Δx－fx0，Δx）＝a,則f′(x0）＝________.答案－eq\f（1，3）a解析∵eq\o（lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0））［eq\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·(－3)]＝－3f′（x0）＝a,∴f′(x0)＝－eq\f(1，3）a。(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝f（x）＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解∵Δy＝f（1＋Δx）－f(1）＝eq\r(1＋Δx）－1,∴eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f（1,\r（1＋Δx)＋1),∴f′（1）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0))eq\f(Δy,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f（1,\r（1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2）。反思與感悟（1）求函數(shù)y＝f（x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟簡稱:一差，二比，三極限．（2)瞬時變化率的變形形式eq\o(lim，\s\do4(Δx→0））eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）＝leq\o(lim，\s\do4(Δx→0)）eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx，2Δx)＝f′(x0）．跟蹤訓練4已知f（x)＝3x2，f′（x0）＝6,求x0。解∵f′（x0)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0)）eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（3x0＋Δx2－3x\o\al（2,0）,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））（6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0）＝6，∴6x0＝6，即x0＝1。1．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在［2，2。1]這段時間內(nèi)的平均速度是()A．0。4 B．2C．0.3 D．0。2答案B解析eq\f(s2。1－s2,2.1－2）＝eq\f(3＋2×2.1－3＋2×2,0.1）＝2。2．物體自由落體的運動方程為s(t）＝eq\f(1，2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\o（lim，\s\do4(Δt→0）)eq\f（s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下列說法中正確的是（）A．9。8m/s是物體從0s到1s這段時間內(nèi)的速率B．9。8m/s是1s到（1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速率C．9。8m/s是物體在t＝1s這一時刻的速率D．9.8m/s是物體從1s到（1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速率答案C解析由導(dǎo)數(shù)的定義可得．3．函數(shù)y＝f（x）＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為________．答案16解析f′（3)＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f（Δy,Δx）＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0））eq\f（23＋Δx2＋43＋Δx－2×32＋4×3，Δx）＝16.4．如圖，函數(shù)y＝f（x)在[x1，x2］,[x2,x3]，[x3，x4］這幾個區(qū)間上，平均變化率最大的一個區(qū)間是________．答案[x3,x4]解析由平均變化率的定義可知,函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間［x1，x2],[x2,x3］，［x3,x4]上平均變化率分別為eq\f（fx2－fx1,x2－x1），eq\f(fx3－fx2,x3－x2）,eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝f（x）的平均變化率最大的一個區(qū)間是［x3,x4］．5．已知函數(shù)f(x）＝eq\f（a，x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為－2，則實數(shù)a的值是________．答案2解析f′（1)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0))eq\f（\f(a，1＋Δx)－a，Δx）＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0))eq\f（－a,1＋Δx）＝－a。由題意知，－a＝－2，∴a＝2。利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)三步曲:（1)求函數(shù)的增量Δy＝f（x0＋Δx)－f(x0)；（2）求平均變化率eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx);（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0))eq\f（Δy,Δx)。簡記為一差，二比,三極限．特別提醒：①取極限前，要注意化簡eq\f（Δy，Δx）,保證使Δx→0時分母不為0.②函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)只與x0有關(guān)，與Δx無關(guān)．③導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，應(yīng)用非常廣泛．課時作業(yè)一、選擇題1．函數(shù)y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均變化率為（）A．－6 B．Δx－6C．－2 D．Δx－2答案B解析設(shè)y＝f(x）＝x2－2x＋1＝(x－1)2，Δy＝f（－2＋Δx）－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－（－2－1）2＝(－3＋Δx)2－9＝（Δx)2－6Δx，所以eq\f（Δy，Δx）＝Δx－6，所以函數(shù)y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均變化率為Δx－6。2．一質(zhì)點運動的方程為s＝5－3t2，若該質(zhì)點在時間段［1，1＋Δt］內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度是（）A．－3B．3C．6D．－6答案D解析由平均速度和瞬時速度的關(guān)系可知，質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度為s′＝eq\o（lim,\s\do4(Δt→0））(－3Δt－6)＝－6。3．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax＋3,若f′（1）＝3,則a等于（）A．2B．－2C．3D．－3答案C解析∵f′(1)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（f1＋Δx－f1，Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f(aΔx＋1＋3－a＋3,Δx)＝a，∵f′(1)＝3，∴a＝3.4。甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示,則治污效果較好的是()A．甲 B．乙C．相同 D．不確定答案B解析在t0處，雖然W1(t0)＝W2(t0)，但是,在t0－Δt處，W1（t0－Δt）〈W2（t0－Δt)，即eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（W1t0－W1t0－Δt,Δt）))〈eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（W2t0－W2t0－Δt，Δt)））,所以，在相同時間Δt內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小．所以乙廠治污效果較好．5．若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿足eq\o（lim，\s\do4(Δx→0）)eq\f(fΔx,Δx）＝－1,則f′（0）等于(）A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析∵f(x)圖象過原點，∴f（0）＝0，∴f′（0)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0))eq\f（f0＋Δx－f0,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0））eq\f（fΔx,Δx)＝－1，故選B.6．物體的運動方程是s＝－4t2＋16t，在某一時刻的速度為零，則相應(yīng)時刻為（）A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4答案B解析設(shè)在t0時刻速度為0，則s′（t0）＝eq\o(lim，\s\do4(Δt→0））eq\f(st0＋Δt－st0，Δt)＝eq\o(lim,\s\do4（Δt→0）)eq\f(－4t0＋Δt2＋16t0＋Δt＋4t\o\al(2,0)－16t0,Δt)＝eq\o(lim，\s\do4（Δt→0）)（－8t0＋16－4Δt)＝－8t0＋16＝0,∴t0＝2。二、填空題7．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時間段［t0,t1］，［t1，t2],［t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v）1，eq\x\to（v)2,eq\x\to（v）3，則三者的大小關(guān)系為________________．答案eq\x\to(v)1〈eq\x\to（v）2<eq\x\to(v）3解析eq\x\to(v）1＝kOA，eq\x\to（v）2＝kAB，eq\x\to(v)3＝kBC,由圖象知，kOA〈kAB<kBC。8．函數(shù)y＝f（x）＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率為2,則t＝________.答案5解析函數(shù)f(x）＝x2－x在區(qū)間［－2，t］上的平均變化率是eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（ft－f－2,t－－2）＝eq\f（t2－t－－22－2，t＋2)＝2,即t2－t－6＝2t＋4,t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去）．所以，當函數(shù)f（x)＝x2－x在區(qū)間［－2，t]上的平均變化率是2時，t的值是5。9．對于函數(shù)y＝f（x）＝eq\f（1,x2)，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是________．答案（－2,eq\f(1，4））解析f′(x0）＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0)）eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0））eq\f（\f(1，x0＋Δx2)－\f（1，x\o\al（2，0）），Δx）＝－eq\f（2，x\o\al（3，0)).由題意知，f′(x0)＝f（x0），即－eq\f(2，x\o\al（3，0)）＝eq\f(1，x\o\al（2，0）),解得x0＝－2，從而y0＝eq\f（1，4）.10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝eq\r（3)x，y＝0，x＝t（t>0)圍成的△OAB的面積為S（t）,則S（t）在t＝2時的瞬時變化率是________．答案2eq\r（3）解析由AB＝eq\r（OB2－OA2)＝eq\r（3）t,∴S（t）＝eq\f（1,2)·OA·AB＝eq\f(1，2）t·eq\r（3）t＝eq\f（\r（3)，2）t2，∴S′(2）＝eq\o(lim,\s\do4（Δt→0）)eq\f(S2＋Δt－S2,Δt）＝eq\o（lim，\s\do4（Δt→0))eq\f（\f（\r（3),2)2＋Δt2－2\r（3）,Δt)＝2eq\r（3）.三、解答題11．若函數(shù)y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx]（Δx〉0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的取值范圍．解∵函數(shù)f(x）在[2,2＋Δx］上的平均變化率為eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(f2＋Δx－f2，Δx)＝eq\f（－2＋Δx2＋2＋Δx－－4＋2,Δx)＝－3－Δx,∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx〉0，∴Δx的取值范圍是（0，＋∞)．12．已知f（x）＝x2,g（x)＝x3，求適合f′（x0）＋2＝g′（x0)的x0的值．解由導(dǎo)數(shù)的定義知，f′（x0）＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0)）eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2，0)，Δx)＝2x0，g′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3，0),Δx)＝3xeq\o\al（2,0）.因為f′（x0)＋2＝g′(x0),所以2x0＋2＝3xeq\o\al（2，0），即3xeq\o\al（2，0）－2x0－2＝0。解得x0＝eq\f(1－\r(7),3）或x0＝eq\f（1＋\r（7)，3）。13．某一運動物體，在x(s）時離出發(fā)點的距離（單位：m)是y＝f（x）＝eq\f(2,3）x3＋x2＋2x