復(fù)變函數(shù)課件-第三章復(fù)變函數(shù)的積分解讀

復(fù)變函數(shù)課件-第三章復(fù)變函數(shù)的積分解讀第一頁(yè)，共95頁(yè)。

暨南大學(xué)復(fù)變函數(shù)教學(xué)課件DepartmentofMathematics第一節(jié)

復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)

1、復(fù)變函數(shù)積分的的定義2、積分的計(jì)算問(wèn)題3、基本性質(zhì)第一頁(yè)第二頁(yè)，共95頁(yè)。第三章復(fù)變函數(shù)的積分

同微積分一樣，在復(fù)變函數(shù)中，積分法也是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法．在解決實(shí)際問(wèn)題中也是有力的工具．本章先介紹復(fù)變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西－古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式第二頁(yè)第三頁(yè)，共95頁(yè)。1、復(fù)變函數(shù)積分的定義

設(shè)在復(fù)平面C上有一條連接及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的連續(xù)函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實(shí)部及虛部。把曲線C用分點(diǎn)分成n個(gè)更小的弧，在這里分點(diǎn)是在曲線C上按從到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一點(diǎn)，那么考慮和式第三頁(yè)第四頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)的積分第四頁(yè)第五頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)的積分分實(shí)部與虛部，有或者在這里分別表示的實(shí)部與虛部。第五頁(yè)第六頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)的積分按照關(guān)于實(shí)變函數(shù)的線積分的結(jié)果，當(dāng)曲線C上的分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)窮增加，而且時(shí)，上面的四個(gè)式子分別有極限：這時(shí)，我們說(shuō)原和式有極限第六頁(yè)第七頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)的積分這個(gè)極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記為因此，我們有第七頁(yè)第八頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)的積分如果C是簡(jiǎn)單光滑曲線：，并且，那么上式右邊的積分可以寫(xiě)成黎曼積分的形式，例如其中第一個(gè)可以寫(xiě)成因此，我們有第八頁(yè)第九頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)的積分我們可以看到，把dz形式地?fù)Q成微分，就直接得到上式，因此有當(dāng)是分段光滑簡(jiǎn)單曲線時(shí)，我們?nèi)匀豢梢缘玫竭@些結(jié)論。第九頁(yè)第十頁(yè)，共95頁(yè)。2復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)：設(shè)f(z)及g(z)在簡(jiǎn)單曲線C上連續(xù)，則有（1）（2）（3）其中曲線C是由光滑的曲線連接而成；（4）積分是在相反的方向上取的。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共95頁(yè)。復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：如果C是一條簡(jiǎn)單閉曲線，那么可取C上任意一點(diǎn)作為取積分的起點(diǎn)，而且積分當(dāng)沿C取積分的方向改變時(shí)，所得積分相應(yīng)變號(hào)。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲線C的長(zhǎng)度，其中M及L都是有限的正數(shù)，那么有，證明：因?yàn)閮蛇吶O限即可得結(jié)論。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共95頁(yè)。例1例1、設(shè)C是連接及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線，那么如果是C閉曲線，即，那么積分都是零。第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共95頁(yè)。例2解又解Aoxy第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共95頁(yè)。例3解oxyrC第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共95頁(yè)。?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共95頁(yè)。oxy例4解第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共95頁(yè)。解:例4第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共95頁(yè)。本節(jié)結(jié)束謝謝！第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共95頁(yè)。第二節(jié)柯西積分定理3.2.1Cauchy積分定理3.2.2Cauchy定理的推廣3.2.3復(fù)周線情形的Cauchy定理3.2.4小結(jié)與思考3.2.4不定積分第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共95頁(yè)。引言:目的研究復(fù)積分與路徑的無(wú)關(guān)性:由例3.1受到的啟發(fā)積分與路徑無(wú)關(guān)與函數(shù)沿著圍線的積分值為零有何關(guān)系首先:若復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān),則對(duì)任意圍線C,ab在其上任取兩點(diǎn)按a(起點(diǎn)),b(終點(diǎn))CC2C1將曲線C分成兩部分因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān),所以:第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共95頁(yè)。結(jié)論1:若函數(shù)f(z)的積分與路徑無(wú)關(guān),反之:若對(duì)任意圍線C,f(z)沿著C的積分為零,若復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān),則對(duì)任意兩條以a為起點(diǎn),b為終點(diǎn)的曲線C1,C2,令:C2C1ab則C是周線，從而：結(jié)論2:函數(shù)f(z)的積分與路徑無(wú)關(guān),第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共95頁(yè)。觀察上節(jié)例3.1觀察上節(jié)例3.2目的研究復(fù)積分與路徑的無(wú)關(guān)性:轉(zhuǎn)換為研究函數(shù)沿著周線的積分為零:第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共95頁(yè)。由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.受此啟發(fā),Cahchy與1825年給出如下定理1900,法國(guó)數(shù)學(xué)家Goursat給出如下定理:如果f(z)

A(D)f'(z)A(D)f'(z)C(D),這樣就得到了定理3.3第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共95頁(yè)。3.3.單連通區(qū)域的Cauchy積分定理定理3.3柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理常稱為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共95頁(yè)。不必是簡(jiǎn)單閉曲線推論3.4柯西定理推論3.5柯西定理3.2.2Cauchy定理的推廣第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共95頁(yè)。與定理3.3等價(jià)的形式是:如果周線C的內(nèi)部

是區(qū)域,(I(C)=D)定理3.9如果C是周線,I(C)=D是區(qū)域定理3.3

第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共95頁(yè)。例1解根據(jù)柯西定理,有例2證由柯西－古薩定理,第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共95頁(yè)。由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共95頁(yè)。例3解根據(jù)柯西－古薩定理得第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共95頁(yè)。第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共95頁(yè)。3.3.4復(fù)周線情形的Cauchy定理根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共95頁(yè)。1.閉路變形原理︵︵第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共95頁(yè)。︵︵︵︵︵︵︵︵第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共95頁(yè)。得︵︵︵︵第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共95頁(yè)。解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說(shuō)明:在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共95頁(yè)。2.復(fù)周線情形的Cauchy定理則稱C+C1-+C2-+···+Cn-為復(fù)圍線,D為其內(nèi)部,記為I(D).第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共95頁(yè)。這個(gè)定理是計(jì)算周線內(nèi)部有奇點(diǎn)的積分的有利武器!!!第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共95頁(yè)。解依題意知,例4根據(jù)復(fù)合閉路定理3.10,打洞!第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共95頁(yè)。Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共95頁(yè)。例5

解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共95頁(yè)。例6解第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共95頁(yè)。由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來(lái)很方便,因?yàn)镃不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)即可.重要積分公式例3.2第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共95頁(yè)。例7解由上例可知第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共95頁(yè)。3.2.4原函數(shù)與不定積分定理3.5由定理3.5可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁(yè)圖)1.帶活動(dòng)上限的積分:第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共95頁(yè)。第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共95頁(yè)。定理3.6證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.定理3.6第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共95頁(yè)。(1)由于積分與路線無(wú)關(guān),第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共95頁(yè)。第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共95頁(yè)。由積分的估值性質(zhì),第四十九頁(yè)第五十頁(yè)，共95頁(yè)。此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]第五十頁(yè)第五十一頁(yè)，共95頁(yè)。(1)積分與路線無(wú)關(guān),定理3.6可以改寫(xiě)為:定理3.7(1)f(z)在D內(nèi)的積分與路線無(wú)關(guān),由于在證明過(guò)程中只用到了兩個(gè)結(jié)論:第五十一頁(yè)第五十二頁(yè)，共95頁(yè)。2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證第五十二頁(yè)第五十三頁(yè)，共95頁(yè)。那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]第五十三頁(yè)第五十四頁(yè)，共95頁(yè)。3.不定積分的定義:定理3.8(復(fù)積分的Newton-Leibnitz公式)第五十四頁(yè)第五十五頁(yè)，共95頁(yè)。證根據(jù)柯西基本定理,[證畢]說(shuō)明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.第五十五頁(yè)第五十六頁(yè)，共95頁(yè)。例8解由牛頓-萊布尼茲公式知,例9解使用“湊微分”第五十六頁(yè)第五十七頁(yè)，共95頁(yè)。例10解由牛頓-萊布尼茲公式知,第五十七頁(yè)第五十八頁(yè)，共95頁(yè)。例10另解使用:“分部積分法”第五十八頁(yè)第五十九頁(yè)，共95頁(yè)。例11解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案第五十九頁(yè)第六十頁(yè)，共95頁(yè)。例12解第六十頁(yè)第六十一頁(yè)，共95頁(yè)。例13解所以積分與路線無(wú)關(guān),根據(jù)N-L公式:第六十一頁(yè)第六十二頁(yè)，共95頁(yè)。2.3.5小結(jié)與思考1.通過(guò)本課學(xué)習(xí),重點(diǎn)掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.第六十二頁(yè)第六十三頁(yè)，共95頁(yè)。2.本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:3.本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與《高等數(shù)學(xué)》中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合,更好的理解本課內(nèi)容.第六十三頁(yè)第六十四頁(yè)，共95頁(yè)。思考題:1.應(yīng)用柯西–古薩定理應(yīng)注意什么?答案:(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過(guò)來(lái)用.第六十四頁(yè)第六十五頁(yè)，共95頁(yè)。2.復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用?要注意什么問(wèn)題?答案利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí),要注意曲線的方向.第六十五頁(yè)第六十六頁(yè)，共95頁(yè)。3.解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓–萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?答案兩者的提法和結(jié)果是類似的.兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大.第六十六頁(yè)第六十七頁(yè)，共95頁(yè)。Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料第六十七頁(yè)第六十八頁(yè)，共95頁(yè)。GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料第六十八頁(yè)第六十九頁(yè)，共95頁(yè)。本節(jié)結(jié)束謝謝！第六十九頁(yè)第七十頁(yè)，共95頁(yè)。第三節(jié)柯西積分公式及其推論1第三節(jié)柯西積分公式解析函數(shù)的無(wú)窮可微性柯西不等式與劉維爾定理摩勒拉定理第七十頁(yè)第七十一頁(yè)，共95頁(yè)。§3.5柯西積分公式若f(z)在D內(nèi)解析，則分析：.定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則---解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。第七十一頁(yè)第七十二頁(yè)，共95頁(yè)。[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當(dāng)|z-z0|<d時(shí),|f(z)-f(z0)|<e.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<d.DCKzz0R根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無(wú)關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分為值為零才有可能。第七十二頁(yè)第七十三頁(yè)，共95頁(yè)。推論1如果C是圓周z=z0+Reiq,則柯西積分公式成為------一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設(shè)f(z)在二連域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則第七十三頁(yè)第七十四頁(yè)，共95頁(yè)。例1解：

第七十四頁(yè)第七十五頁(yè)，共95頁(yè)。第七十五頁(yè)第七十六頁(yè)，共95頁(yè)。§3.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下面定理:第七十六頁(yè)第七十七頁(yè)，共95頁(yè)。定理

解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即因此就是要證第七十七頁(yè)第七十八頁(yè)，共95頁(yè)。按柯西積分公式有因此第七十八頁(yè)第七十九頁(yè)，共95頁(yè)?，F(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|

M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此這就證得了當(dāng)Dz0時(shí),I0.Dz0dC第七十九頁(yè)第八十頁(yè)，共95頁(yè)。這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.第八十頁(yè)第八十一頁(yè)，共95頁(yè)。例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.第八十一頁(yè)第八十二頁(yè)，共95頁(yè)。3柯西不等式與劉維爾定理：定理4.3設(shè)函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤(pán)上解析，那么其中第八十二頁(yè)第八十三頁(yè)，共95頁(yè)。定理4.3的證明：證明：令是圓那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。第八十三頁(yè)第八十四頁(yè)，共95頁(yè)。注解：注解1、上面的不等式稱為柯西不等式。注解2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個(gè)整函數(shù)，例如等。關(guān)于整函數(shù)，我們有下面重要的劉維爾定理第八十四頁(yè)第八十五頁(yè)，共95頁(yè)。劉維爾定理：定理4.4：有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在使得f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可見(jiàn)從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。

第八十五頁(yè)第八十六頁(yè)，共95頁(yè)。4莫勒拉定理：5、莫勒拉定理：應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，定理5.1如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對(duì)于D內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。第八十六頁(yè)第八十七頁(yè)，共95