(第1部分)微分方程(簡單模型)

微分方程簡單模型重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院

在研究某些實(shí)際問題時，經(jīng)常無法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問題的特性往往會給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問題以及商業(yè)預(yù)測等領(lǐng)域中去，其影響是廣泛的。當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時間〔空間〕而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時。通常要建立對象的動態(tài)模型。例〔理想單擺運(yùn)動〕建立理想單擺運(yùn)動滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動的周期公式。從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動方程〔3.1〕是一個兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時，sinθ≈θ，此時，可考察〔3.1〕的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當(dāng)時,θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

〔3.1〕的近似方程例

求平面上過點(diǎn)(1,3)且每點(diǎn)切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲線方程.解:設(shè)所求的曲線方程為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)有即又由條件:曲線過(1,3),即于是得故所求的曲線方程為:導(dǎo)彈追蹤問題設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦．如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程．乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？〔解析法〕由(1),(2)消去t,整理得模型:馬爾薩斯〔Malthus〕模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r根本上是一常數(shù)，〔r=b-d,b為出生率，d為死亡率〕，因而提出了著名的人口指數(shù)增長模型。分析與建模：人口的凈增長率是一個常數(shù)，也就是單位時間內(nèi)人口增長量與當(dāng)時人口數(shù)成正比。設(shè)t時刻人口數(shù)為N(t)，t=t0時，N(t0)=N0，那么這個方程的解為：

馬爾薩斯模型的一個顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，那么有：故即Malthus模型模型檢驗(yàn)

比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。Logistic模型

人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（1）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原那么。工程師們在建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)〔競爭項(xiàng)〕此時得到微分方程：或（2）

（2）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競爭項(xiàng)。（2）可改寫成：

（3）(3)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K〔近似地將K看成常數(shù)〕，N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，〔3〕指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是〔3〕也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。對（3）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（4）易見：N(0)=N0

，N(t)的圖形請看右圖模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗比克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當(dāng)不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見右圖

Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（1）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時必須對求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進(jìn)行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。以前，美國原子能委員會把濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶里，然后仍到水深為300英尺的海里。1問題〔這是一場筆墨官司〕:生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家提出：圓桶是否會在運(yùn)輸過程中破裂而造成放射性污染？美國原子能委員會：不會破裂〔用實(shí)驗(yàn)證明〕。又有幾位工程師提出：圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而破裂？美國原子能委員會：決不會。放射性核廢料處理問題圓桶與海底的碰撞時的速度會不會超過40英尺/秒？假設(shè)圓桶與海底碰撞時的速度超過40英尺/秒時，就會因碰撞而破裂。這幾位工程師通過大量的實(shí)驗(yàn)證明:通過建立數(shù)學(xué)模型來解決這一問題。一些參數(shù)及假設(shè)：假設(shè)圓筒下沉?xí)r，所受海水的阻力與其速度成正比，即受力分析：xyGfo2建模與求解根據(jù)牛頓第二定理可解得：極限速度為：將速度v看成位置y的函數(shù)v(y)，由于代入：其解為：仍未解出