函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1如何正確理解極值剖析:極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中,取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是函數(shù)值關(guān)于極值請注意以下幾點:1極值是一個局部概念由定義知,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最小2函數(shù)的極值不是唯一的,即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個4函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點5若函數(shù)在極值點處存在導(dǎo)數(shù),則這點的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點可能不是函數(shù)的極值點也就是說,若f'c存在,則“f'c=0”是“f在=c處取到極值”的必要條件,但不是充分條件3極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值,即極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值小如圖所示6若f在區(qū)間a,b內(nèi)有極值,則f在a,b內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)的函數(shù)沒有極值7如果函數(shù)f在上有極值,那么它的極值點的分布是有規(guī)律的相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣,相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點一般地,當(dāng)函數(shù)f在上的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的的極值剖析:歸納總結(jié)極值點可以看成是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間的分界點極大值是極大值點附近曲線由上升到下降的過渡點的函數(shù)值極小值則是極小值點附近曲線由下降到上升的過渡點的函數(shù)值題型一題型二題型三題型四求函數(shù)的極值【例1】求下列函數(shù)的極值:1f=3-12;分析:求f的定義域→求f'→解方程f'=0→列表分析→結(jié)論題型一題型二題型三題型四解:1函數(shù)f的定義域為R;f'=32-12=32-2令f'=0,得=-2或=2當(dāng)變化時,f',f的變化情況如下表:從表中可以看出,當(dāng)=-2時,函數(shù)有極大值,且f-2=-23-12×-2=16當(dāng)=2時,函數(shù)有極小值,且f2=23-12×2=-16題型一題型二題型三題型四反思求函數(shù)的極值應(yīng)注意以下幾點:1在討論可導(dǎo)函數(shù)f在定義域內(nèi)的極值時,若方程f'=0的實根較多時,應(yīng)注意使用表格,使極值點一目了然2討論函數(shù)的性質(zhì)要遵循定義域優(yōu)先的原則題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四已知極值求參數(shù)【例2】已知f=33a2ba2在=-1處取極值0,求常數(shù)a,b的值分析:求f'→建立關(guān)于a,b的方程組→求解a,b→將a,b代入原函數(shù)驗證極值情況→根的取舍題型一題型二題型三題型四解:因為f在=-1時有極值0,

當(dāng)a=1,b=3時,f'=3263=312≥0,所以f在R上為增函數(shù),無極值,故舍去當(dāng)a=2,b=9時,f'=32129=313所以當(dāng)∈-∞,-3時,f為增函數(shù);當(dāng)∈-3,-1時,f為減函數(shù);當(dāng)∈-1,∞時,f為增函數(shù)所以f在=-1時取得極小值,因此a=2,b=9題型一題型二題型三題型四反思當(dāng)已知函數(shù)極值的情況,逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式,進而研究函數(shù)性質(zhì)時,注意兩點:1常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解2因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】已知f=3a2bc,f在點=0處取得極值,并且在單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性1求實數(shù)b的值;2求實數(shù)a的取值范圍分析:由函數(shù)在區(qū)間上具有相反的單調(diào)性,可以確定另一個極值點一定落在2到4之間題型一題型二題型三題型四極值的綜合運用【例3】求函數(shù)f=3-32-aa∈R的極值,并討論a為何值時函數(shù)f恰有一個零點分析:求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,借助函數(shù)圖象判定函數(shù)零點的個數(shù)解:f'=32-6,函數(shù)f的定義域為R,由f'=0得1=0,2=2當(dāng)變化時,f'與f的變化情況如下表:因此,函數(shù)f在=0處有極大值,極大值為f0=-a;在=2處有極小值,極小值為f2=-4-a題型一題型二題型三題型四函數(shù)f的零點即方程f=0的解,也就是方程3-32=a的解,f的零點個數(shù)為直線y=a與曲線y=3-32的交點個數(shù),易知函數(shù)y=3-32的極大值為0,極小值為-4如圖所示故當(dāng)a>0或a<-4時,函數(shù)f恰有一個零點題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四易錯辨析易錯點:把導(dǎo)數(shù)為零的點誤認(rèn)為極值點而致錯【例4】若函數(shù)f=3a2ba2在=1處取得極值10,試求a,b的值錯因分析:函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點取得極值的必要條件,而非充分條件錯解中忽略了對得出的兩組解進行檢驗而出