(30)-5.3講義 期權產(chǎn)品的定價原理

第三節(jié)期權產(chǎn)品的定價原理3.1期權定價——二叉樹簡介1979年，Cox,JohnC.,StephenA.Ross將二叉樹模型用于期權定價中，迄今為止，這種模型已經(jīng)成為金融界最基本的期權定價方法之一。其基本思想是資產(chǎn)在市場上交易時，是隨著時間在連續(xù)在變動的。所以如果我們把這個時間點看得很小的話，那么從一個時間點到下一個時間點，資產(chǎn)價格可能的變化，可以認為它只有兩種可能。二叉樹模型的基本假設資本市場完全競爭的市場無摩檫的（無交易費用和稅收)、市場交易可以連續(xù)進行不存在無風險套利機會股票和期權是無限可分下一期的股票價格只取兩種可能的值歐式期權單期二叉樹假設一種不支付紅利股票目前的市價為20元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是22元，要么是18元。假設現(xiàn)在的無風險年利率等于10%（連續(xù)復利），現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為21元的該股票歐式看漲期權的價值。無套利定價思想1.（復制待定價的產(chǎn)品）我們構造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權的價值完全相同：以無風險利率r借入一部分資金B(yǎng)，同時在股票市場上購入N股標的股票。該組合的期初價值是20N-B，到了期末，該組合的價值V是V=對應于S1的兩種可能，V有兩個取值：如果S1=22,則

V=1=

22N-如果S1=18,則

V=0=

18N-利用兩式聯(lián)立的方程組，可解得N和B，即：&N=0.25將其代入初始組合，即可得到期權的價值C=0.25無套利定價思想2.（復制無風險組合）建立一個包含衍生品頭寸和基礎資產(chǎn)頭寸的無風險的資產(chǎn)組合。若數(shù)量適當，基礎資產(chǎn)多頭的贏利就會與衍生品的空頭虧損相抵，無風險。無風險組合的收益率必須等于無風險利率。為了找出該期權的價值，可構建一個由一單位看漲期權空頭和Δ單位的標的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權到期時無風險，Δ必須滿足下式：222218無風險意味著：22Δ－1=18Δ，即：Δ=0.25該無風險組合的現(xiàn)值應為：4.5由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為20元，因此：20無套利定價思想3：風險中性定價思想在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1?p，則eP=0.6266這樣，根據(jù)風險中性定價原理，我們就可以給出該期權的價值：e3.2期權定價——二叉樹模型一般形式假設一個無紅利支付的股票，當前時刻t股票價格為S，基于該股票的某個期權的價值是f，期權的有效期是T，在這個有效期內(nèi)，股票價格或者上升到Su=S

×u，或者下降到S當股票價格上升到Su時，我們假設期權的收益為fu，如果股票的價格下降到Sd時，期權的收益為fd。無套利定價法的思路首先，構造一個由Δ股股票多頭和一個期權空頭組成的證券組合，使得該組合為無風險組合，即：SSSΔ由此計算出該組合為無風險時的Δ值。Δ=如果無風險利率用r表示，則該無風險組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fSΔ所以f=e-驗證：S=e-股票未來期望值按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格！風險中性定價的思路假定風險中性世界中股票的上升概率為p，由于股票未來期望值按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：fffufdS=e-所以優(yōu)點：利用風險中性概率對期權進行定價時，只需把二叉樹上面對應的兩個節(jié)點上的期權價值進行無風險中性概率的折現(xiàn)，就可以得到期權在期初時的公平價格。不用再去計算到底復制需要多少份標的資產(chǎn)，計算更加簡便。練習：求歐式看跌期權的價值，執(zhí)行價格X=21,到期期限T=3個月，無風險利率r=0.1小結：在二叉樹模型計算歐式看漲期權價值中，不難發(fā)現(xiàn)：風險中性概率只依賴股票價格S變動范圍（即u,d的值），u，d衡量的是股票價格的波動率，以后會在BS模型中看到波動率的重要性。計算公式中沒有出現(xiàn)股票實際上漲或下跌的概率，也沒有描述投資者對于風險偏好程度的變量。所以對于所有投資者來說，無論他對未來股票價格漲跌的概率有什么預期，或他對風險厭惡程度如何，都能對看漲期權的“公平”或“正確”價格達成一致。P稱為股票價格的風險中性概率。不要與股票價格上漲的實際概率相混肴，實際概率并不影響期權價格，P也稱為等價鞅測度概率。無套利假設等價于存在對未來不確定狀態(tài)的某一等價概率測度，使得每一種金融資產(chǎn)對該等價概率測度的期望收益都等于無風險證券的收益率。表明了無套利定價與風險中性定價的關系是等價的。3.3期權定價——兩步二叉樹一、兩期二叉樹模型2020221824.219.816.2每個步長為3個月，X=21,u=1.1,d=0.9,r=12%，風險中性概率P=二、歐式看漲期權定價20201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFX=21B結點處的價值：eA結點處的價值：e三、歐式看跌期權的定價X=21根據(jù)平價公式：c+X四、一般情況每期二叉樹的步長為??t,風險中性概率為pSSfufufABCDEFududfd2dfdff=五、Delta(?)定義:賣出一份期權時，需要持有的股票數(shù)量。由單步二叉樹的套利定價法可知，Delta(Δ)為期權價值變化與股票價值變化的比值，對于單步二叉樹：Δ=f201.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF3.4美式期權定價——二叉樹一、單期二叉樹：美式期權的單期定價u=1.1,d=0.9,r=12%,步長T=3個月風險中性概率P=針對美式期權，需要考慮提前執(zhí)行的價值與不提前執(zhí)行的價值哪一個是最優(yōu)的，因此即使在單步的二叉樹下美式與歐式的估值也是不同的。所以利用二叉樹對美式期權進行定價時，需要比較這個期權立刻行權所獲收益與等待到下一個時刻再去行權時收益的折現(xiàn)值的大小，去選擇何時行權。美式看跌期權X=22的價值為：2歐式看跌期權X=22的價值為：1.46ffffufdf

二、兩期二叉樹模型20201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF執(zhí)行價格為x=21f

總結：對于美式期權價值，第一步可以計算出相對應的歐式期權的無風險中性概率P，通過折現(xiàn)得出歐式期權的價值。由于美式期權有選擇的權利，行權或是不行權完全取決于這兩個點上誰收益更多，所以第二步需要去比較立刻行權帶來的收益和等待，不行權帶來的收益哪一個大，大者即為美式期權價值。3.5期權定價——障礙期權的二叉樹定價一、障礙期權的二叉樹定價1.障礙期權的性質(zhì)障礙期權是路徑依賴期權，它們的回報以及它們的價值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。（1）敲入障礙（knockinoption）敲入期權在沒有到達障礙水平時，期權價值為0。對于敲入期權來說，其價值在于到達障礙的可能性。如果是一個向上敲入期權，那么在資產(chǎn)價格到達上限的時候，合約的價值就等于一個相應的常規(guī)期權價值。（2）敲出期權（knockoutoption）當標的資產(chǎn)價格達到敲出障礙水平H時，期權合約作廢。2.二叉樹模型下敲出（down-out）期權的定價假設標的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當前市場價為100元,無風險連續(xù)復利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹步長為1周，試計算該股票3周的，協(xié)議價格為X=105元，障礙水平為95元的向下敲出歐式看漲期權的價值。障礙水平為普通看漲期權價值為11.87，障礙期權比較便宜。二、回望期權（look-backoption）的二叉樹模型1.回望期權的收益依附于標的資產(chǎn)在某個確定的時段（稱為回望時段）中達到的最大或最小價格（又稱為回望價），根據(jù)是資產(chǎn)價還是執(zhí)行價采用這個回望價格，回望期權可以分為：（1）固定執(zhí)行價期權（2）浮動執(zhí)行價期權2.二叉樹模型下回望期權的定價S=100，d=0.9，u=1.1，執(zhí)行價格X=105利用3步二叉樹計算到期日為3年的固定執(zhí)行價的歐式回望看漲期權的價格。股價二叉樹如下所示：Pu執(zhí)行價X=3.6Black-Scholes期權定價模型簡介一、歐式期權定價期權定價是一件非常具有挑戰(zhàn)性的任務。在20世紀的前面70多年里，眾多經(jīng)濟學家做出無數(shù)努力，試圖解決期權定價的問題，但都未能獲得令人滿意的結果。在探索期權定價的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現(xiàn)在1973年——金融學家F.Black與M.Scholes發(fā)表了“期權定價與公司負債”的著名論文。該論文推導出了確定歐式期權價值的解析表達式——Black-Scholes歐式期權定價公式，探討了期權定價在估計公司證券價值方面的應用，更重要的是，它采用的動態(tài)復制方法成為期權定價研究的經(jīng)典方法二、風險中性定價公式風險中性環(huán)境，歐式看漲期權，其中EQ為風險中性概率期權是標的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標的資產(chǎn)價格的變化，期權價格受到標的資產(chǎn)價格的影響，因而要為期權定價首先必須研究標的資產(chǎn)的價格。而資產(chǎn)的未來價格總是不確定的，資產(chǎn)價格隨時間變動的過程形成一個隨機變量序列，稱之為隨機過程。研究資產(chǎn)價格過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。三、股票價格的幾何布朗運動GBM（GeometricBrownianmotion）股票價格的對數(shù)過程為帶漂移的Brown運動dln得到：ln因此在t1時刻，我們有：ln上述模型表示為St微分形式為：d股票價格服從的上述模型稱之為幾何布朗運動模型（GBM），股票價格的解析式為：S四、Black-Scholes期權定價公式假設1.股價過程為幾何布朗運動（GBM）2.賣空無限制3.沒有交易成本、稅收，證券是無限可分的4.標的資產(chǎn)不產(chǎn)生紅利5.不存在套利機會6.證券可以連續(xù)交易7.所有期限的無風險利率同為常數(shù)五、Black-Scholes-Merton公式背后思想1.期權和股票受到同樣的不確定的影響2.通過構造股票和期權的組合可以得到無風險的組合，可以消除所有的風險3.在市場沒有套利的前提下，無風險的資產(chǎn)3.7期權定價_PDE推導一、Black-Scholes期權定價PDE推導在風險中性下股票St的動態(tài)過程為：d股票價格服從的上述模型稱之為幾何布朗運動模型（GBM），股票價格的解析式為：S二、Black-Scholes微分方程推導在幾何布朗運動的框架下，股票的價格為：Δ對于任意衍生品，如果其價格??依賴于標的資產(chǎn)的價格和時間，即：f(S,t)。則根據(jù)ITO公式可以得到Δ我們構造如下的投資組合：一份期權的空頭+??份標的資產(chǎn)該投資組合在期初的價值為：Π通過帶入f的表達式，Π的動態(tài)變化過程可以表示為：ΔΠ為了使得投資組合Π是無風險的，只需要消除唯一的隨機因素ΔW。因此，我們選取δ=這時，我們可以得到：ΔΠ現(xiàn)在Π變成了無風險的資產(chǎn)了，能夠獲得的收益率只能是無風險利率。由此，我們有：ΔΠ整理后，我們有：?f該方程就是:Black-Scholes-Merton方程。該方程不單用于期權，任何的衍生品，如果價格依賴于標的資產(chǎn)和時間都可以運用。如果要得到f的解，我們只需要確定??的邊界條件即可。例如：對于歐式看漲期權f(三、應用到遠期合約在遠期合約到期時，其價值為f上面即為Black-Scholes-Merton方程的邊界條件，由此我們可以得到：f四、永續(xù)衍生品對于永續(xù)衍生品，由于沒有到期時間，所以其價格不是時間的函數(shù)，由此可以得到：rs3.8Black-Scholes期權定價公式一、Black-Scholes期權定價公式Black-Scholes期權定價公式：C其中，r為無風險利率，