(30)-5.3講義 期權(quán)產(chǎn)品的定價(jià)原理

第三節(jié)期權(quán)產(chǎn)品的定價(jià)原理3.1期權(quán)定價(jià)——二叉樹(shù)簡(jiǎn)介1979年，Cox,JohnC.,StephenA.Ross將二叉樹(shù)模型用于期權(quán)定價(jià)中，迄今為止，這種模型已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。其基本思想是資產(chǎn)在市場(chǎng)上交易時(shí)，是隨著時(shí)間在連續(xù)在變動(dòng)的。所以如果我們把這個(gè)時(shí)間點(diǎn)看得很小的話，那么從一個(gè)時(shí)間點(diǎn)到下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，資產(chǎn)價(jià)格可能的變化，可以認(rèn)為它只有兩種可能。二叉樹(shù)模型的基本假設(shè)資本市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)無(wú)摩檫的（無(wú)交易費(fèi)用和稅收)、市場(chǎng)交易可以連續(xù)進(jìn)行不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)股票和期權(quán)是無(wú)限可分下一期的股票價(jià)格只取兩種可能的值歐式期權(quán)單期二叉樹(shù)假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為20元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是22元，要么是18元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%（連續(xù)復(fù)利），現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為21元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。無(wú)套利定價(jià)思想1.（復(fù)制待定價(jià)的產(chǎn)品）我們構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價(jià)值完全相同：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金B(yǎng)，同時(shí)在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股標(biāo)的股票。該組合的期初價(jià)值是20N-B，到了期末，該組合的價(jià)值V是V=對(duì)應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個(gè)取值：如果S1=22,則

V=1=

22N-如果S1=18,則

V=0=

18N-利用兩式聯(lián)立的方程組，可解得N和B，即：&N=0.25將其代入初始組合，即可得到期權(quán)的價(jià)值C=0.25無(wú)套利定價(jià)思想2.（復(fù)制無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合）建立一個(gè)包含衍生品頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)頭寸的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合。若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭的贏利就會(huì)與衍生品的空頭虧損相抵，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率必須等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，Δ必須滿足下式：222218無(wú)風(fēng)險(xiǎn)意味著：22Δ－1=18Δ，即：Δ=0.25該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：4.5由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為20元，因此：20無(wú)套利定價(jià)思想3：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思想在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1?p，則eP=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以給出該期權(quán)的價(jià)值：e3.2期權(quán)定價(jià)——二叉樹(shù)模型一般形式假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su=S

×u，或者下降到S當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。無(wú)套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，使得該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，即：SSSΔ由此計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ值。Δ=如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fSΔ所以f=e-驗(yàn)證：S=e-股票未來(lái)期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格！風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p，由于股票未來(lái)期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過(guò)下式求得：fffufdS=e-所以優(yōu)點(diǎn)：利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，只需把二叉樹(shù)上面對(duì)應(yīng)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)中性概率的折現(xiàn)，就可以得到期權(quán)在期初時(shí)的公平價(jià)格。不用再去計(jì)算到底復(fù)制需要多少份標(biāo)的資產(chǎn)，計(jì)算更加簡(jiǎn)便。練習(xí)：求歐式看跌期權(quán)的價(jià)值，執(zhí)行價(jià)格X=21,到期期限T=3個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.1小結(jié)：在二叉樹(shù)模型計(jì)算歐式看漲期權(quán)價(jià)值中，不難發(fā)現(xiàn)：風(fēng)險(xiǎn)中性概率只依賴股票價(jià)格S變動(dòng)范圍（即u,d的值），u，d衡量的是股票價(jià)格的波動(dòng)率，以后會(huì)在BS模型中看到波動(dòng)率的重要性。計(jì)算公式中沒(méi)有出現(xiàn)股票實(shí)際上漲或下跌的概率，也沒(méi)有描述投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的變量。所以對(duì)于所有投資者來(lái)說(shuō)，無(wú)論他對(duì)未來(lái)股票價(jià)格漲跌的概率有什么預(yù)期，或他對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度如何，都能對(duì)看漲期權(quán)的“公平”或“正確”價(jià)格達(dá)成一致。P稱為股票價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。不要與股票價(jià)格上漲的實(shí)際概率相混肴，實(shí)際概率并不影響期權(quán)價(jià)格，P也稱為等價(jià)鞅測(cè)度概率。無(wú)套利假設(shè)等價(jià)于存在對(duì)未來(lái)不確定狀態(tài)的某一等價(jià)概率測(cè)度，使得每一種金融資產(chǎn)對(duì)該等價(jià)概率測(cè)度的期望收益都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率。表明了無(wú)套利定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)系是等價(jià)的。3.3期權(quán)定價(jià)——兩步二叉樹(shù)一、兩期二叉樹(shù)模型2020221824.219.816.2每個(gè)步長(zhǎng)為3個(gè)月，X=21,u=1.1,d=0.9,r=12%，風(fēng)險(xiǎn)中性概率P=二、歐式看漲期權(quán)定價(jià)20201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFX=21B結(jié)點(diǎn)處的價(jià)值：eA結(jié)點(diǎn)處的價(jià)值：e三、歐式看跌期權(quán)的定價(jià)X=21根據(jù)平價(jià)公式：c+X四、一般情況每期二叉樹(shù)的步長(zhǎng)為??t,風(fēng)險(xiǎn)中性概率為pSSfufufABCDEFududfd2dfdff=五、Delta(?)定義:賣出一份期權(quán)時(shí)，需要持有的股票數(shù)量。由單步二叉樹(shù)的套利定價(jià)法可知，Delta(Δ)為期權(quán)價(jià)值變化與股票價(jià)值變化的比值，對(duì)于單步二叉樹(shù)：Δ=f201.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF3.4美式期權(quán)定價(jià)——二叉樹(shù)一、單期二叉樹(shù)：美式期權(quán)的單期定價(jià)u=1.1,d=0.9,r=12%,步長(zhǎng)T=3個(gè)月風(fēng)險(xiǎn)中性概率P=針對(duì)美式期權(quán)，需要考慮提前執(zhí)行的價(jià)值與不提前執(zhí)行的價(jià)值哪一個(gè)是最優(yōu)的，因此即使在單步的二叉樹(shù)下美式與歐式的估值也是不同的。所以利用二叉樹(shù)對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，需要比較這個(gè)期權(quán)立刻行權(quán)所獲收益與等待到下一個(gè)時(shí)刻再去行權(quán)時(shí)收益的折現(xiàn)值的大小，去選擇何時(shí)行權(quán)。美式看跌期權(quán)X=22的價(jià)值為：2歐式看跌期權(quán)X=22的價(jià)值為：1.46ffffufdf

二、兩期二叉樹(shù)模型20201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF執(zhí)行價(jià)格為x=21f

總結(jié)：對(duì)于美式期權(quán)價(jià)值，第一步可以計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)中性概率P，通過(guò)折現(xiàn)得出歐式期權(quán)的價(jià)值。由于美式期權(quán)有選擇的權(quán)利，行權(quán)或是不行權(quán)完全取決于這兩個(gè)點(diǎn)上誰(shuí)收益更多，所以第二步需要去比較立刻行權(quán)帶來(lái)的收益和等待，不行權(quán)帶來(lái)的收益哪一個(gè)大，大者即為美式期權(quán)價(jià)值。3.5期權(quán)定價(jià)——障礙期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)一、障礙期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)1.障礙期權(quán)的性質(zhì)障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報(bào)以及它們的價(jià)值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。（1）敲入障礙（knockinoption）敲入期權(quán)在沒(méi)有到達(dá)障礙水平時(shí)，期權(quán)價(jià)值為0。對(duì)于敲入期權(quán)來(lái)說(shuō)，其價(jià)值在于到達(dá)障礙的可能性。如果是一個(gè)向上敲入期權(quán)，那么在資產(chǎn)價(jià)格到達(dá)上限的時(shí)候，合約的價(jià)值就等于一個(gè)相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)價(jià)值。（2）敲出期權(quán)（knockoutoption）當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到敲出障礙水平H時(shí)，期權(quán)合約作廢。2.二叉樹(shù)模型下敲出（down-out）期權(quán)的定價(jià)假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為100元,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹(shù)步長(zhǎng)為1周，試計(jì)算該股票3周的，協(xié)議價(jià)格為X=105元，障礙水平為95元的向下敲出歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。障礙水平為普通看漲期權(quán)價(jià)值為11.87，障礙期權(quán)比較便宜。二、回望期權(quán)（look-backoption）的二叉樹(shù)模型1.回望期權(quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個(gè)確定的時(shí)段（稱為回望時(shí)段）中達(dá)到的最大或最小價(jià)格（又稱為回望價(jià)），根據(jù)是資產(chǎn)價(jià)還是執(zhí)行價(jià)采用這個(gè)回望價(jià)格，回望期權(quán)可以分為：（1）固定執(zhí)行價(jià)期權(quán)（2）浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)期權(quán)2.二叉樹(shù)模型下回望期權(quán)的定價(jià)S=100，d=0.9，u=1.1，執(zhí)行價(jià)格X=105利用3步二叉樹(shù)計(jì)算到期日為3年的固定執(zhí)行價(jià)的歐式回望看漲期權(quán)的價(jià)格。股價(jià)二叉樹(shù)如下所示：Pu執(zhí)行價(jià)X=3.6Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型簡(jiǎn)介一、歐式期權(quán)定價(jià)期權(quán)定價(jià)是一件非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。在20世紀(jì)的前面70多年里，眾多經(jīng)濟(jì)學(xué)家做出無(wú)數(shù)努力，試圖解決期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題，但都未能獲得令人滿意的結(jié)果。在探索期權(quán)定價(jià)的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現(xiàn)在1973年——金融學(xué)家F.Black與M.Scholes發(fā)表了“期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債”的著名論文。該論文推導(dǎo)出了確定歐式期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式——Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式，探討了期權(quán)定價(jià)在估計(jì)公司證券價(jià)值方面的應(yīng)用，更重要的是，它采用的動(dòng)態(tài)復(fù)制方法成為期權(quán)定價(jià)研究的經(jīng)典方法二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境，歐式看漲期權(quán)，其中EQ為風(fēng)險(xiǎn)中性概率期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響，因而要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。而資產(chǎn)的未來(lái)價(jià)格總是不確定的，資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間變動(dòng)的過(guò)程形成一個(gè)隨機(jī)變量序列，稱之為隨機(jī)過(guò)程。研究資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。三、股票價(jià)格的幾何布朗運(yùn)動(dòng)GBM（GeometricBrownianmotion）股票價(jià)格的對(duì)數(shù)過(guò)程為帶漂移的Brown運(yùn)動(dòng)dln得到：ln因此在t1時(shí)刻，我們有：ln上述模型表示為St微分形式為：d股票價(jià)格服從的上述模型稱之為幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM），股票價(jià)格的解析式為：S四、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式假設(shè)1.股價(jià)過(guò)程為幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）2.賣空無(wú)限制3.沒(méi)有交易成本、稅收，證券是無(wú)限可分的4.標(biāo)的資產(chǎn)不產(chǎn)生紅利5.不存在套利機(jī)會(huì)6.證券可以連續(xù)交易7.所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率同為常數(shù)五、Black-Scholes-Merton公式背后思想1.期權(quán)和股票受到同樣的不確定的影響2.通過(guò)構(gòu)造股票和期權(quán)的組合可以得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合，可以消除所有的風(fēng)險(xiǎn)3.在市場(chǎng)沒(méi)有套利的前提下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)3.7期權(quán)定價(jià)_PDE推導(dǎo)一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)PDE推導(dǎo)在風(fēng)險(xiǎn)中性下股票St的動(dòng)態(tài)過(guò)程為：d股票價(jià)格服從的上述模型稱之為幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM），股票價(jià)格的解析式為：S二、Black-Scholes微分方程推導(dǎo)在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的框架下，股票的價(jià)格為：Δ對(duì)于任意衍生品，如果其價(jià)格??依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格和時(shí)間，即：f(S,t)。則根據(jù)ITO公式可以得到Δ我們構(gòu)造如下的投資組合：一份期權(quán)的空頭+??份標(biāo)的資產(chǎn)該投資組合在期初的價(jià)值為：Π通過(guò)帶入f的表達(dá)式，Π的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可以表示為：ΔΠ為了使得投資組合Π是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，只需要消除唯一的隨機(jī)因素ΔW。因此，我們選取δ=這時(shí)，我們可以得到：ΔΠ現(xiàn)在Π變成了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)了，能夠獲得的收益率只能是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。由此，我們有：ΔΠ整理后，我們有：?f該方程就是:Black-Scholes-Merton方程。該方程不單用于期權(quán)，任何的衍生品，如果價(jià)格依賴于標(biāo)的資產(chǎn)和時(shí)間都可以運(yùn)用。如果要得到f的解，我們只需要確定??的邊界條件即可。例如：對(duì)于歐式看漲期權(quán)f(三、應(yīng)用到遠(yuǎn)期合約在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，其價(jià)值為f上面即為Black-Scholes-Merton方程的邊界條件，由此我們可以得到：f四、永續(xù)衍生品對(duì)于永續(xù)衍生品，由于沒(méi)有到期時(shí)間，所以其價(jià)格不是時(shí)間的函數(shù)，由此可以得到：rs3.8Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式：C其中，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，