微積分復(fù)習(xí)無窮小問題課件

微積分復(fù)習(xí)無窮小問題課件2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-歷史微積分是經(jīng)過了長時間的醞釀才產(chǎn)生的。積分的思想，在阿基米德時代已經(jīng)萌芽。16、17世紀之交，開普勒、卡瓦列里、費馬、沃利斯，特別是巴羅等人作了許多準備工作。因而微分學(xué)的起點遠遠落在積分學(xué)之后。

Leibniz萊布尼茲（1646～1716）31歲時，作為巴黎外交官，結(jié)識惠更斯、巴羅、牛頓等名流，開始對微積分進行研究。1684年，萊布尼茨發(fā)表《關(guān)于極大極小以及切線的新方法》2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-歷史牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達形式簡潔準確，勝過牛頓。任何一項重大發(fā)明，都不可能一開始便完整無瑕。17世紀的微積分帶有嚴重的邏輯困難，以致受到多方面的非議，它的主要原因之一就是無窮小問題。2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-歷史萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微分和積分是一對互逆的運算，并建立微積分基本定理，從而使微積分學(xué)成為統(tǒng)一整體。牛頓從運動學(xué)角度出發(fā)，以“瞬”（無窮小的“o”）的觀點創(chuàng)建了微積分。萊布尼茲認為dx和x相比，如同點和地球，或地球半徑與宇宙半徑相比。牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無窮小是什么，在當時是帶有根本性質(zhì)的難題。現(xiàn)在，無窮小理論也是大家學(xué)習(xí)微積分的關(guān)鍵。2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小的定義1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小的性質(zhì)-無窮小的運算性質(zhì)1

在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質(zhì)2

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.性質(zhì)3

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)4

在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)5

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)6

有限個無窮小的乘積也是無窮小.2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小與無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.定理

同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;

恒不為零的無窮小的倒數(shù)，為無窮大.2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小與函數(shù)極限注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).3.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);4.2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小理論一切極限問題均可以表示為無窮小問題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-從極限計算開始定理，則解商的法則不能用例所以2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1解例(消去零因子法)2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1例解(無窮小因子分出法)2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小推廣極限法2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用求下列各極限1、2；2、；3、-1；4、-2；5、；6、0；7、答案：2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小的比較2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@常用等價無窮小2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@兩個重要極限(1)(2)用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如,2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小到底有多少小從中學(xué)的無窮等比數(shù)列求和談起2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1

常用函數(shù)公式2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@特別提示：證明此處，也成立2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1例解2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1例計算解令2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@例解無窮小及其應(yīng)用-12023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1例解2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@例解原極限=無窮小及其應(yīng)用-12023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@無窮小及其應(yīng)用-1解2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@解2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@解練習(xí)均為正數(shù).2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@例解2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gcfeng@.c2023/9/26馮國臣gcfeng@部分應(yīng)用例題2023/8/6馮國臣gc