四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義-專題10平面圖形的切割與拼接（含解析）

第第頁四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義-專題10平面圖形的切割與拼接（含解析）專題10平面圖形的切割與拼接

圖形的拼切就是把一個(gè)圖形分成若干塊，然后再講成一個(gè)規(guī)則的圖形。拼切前后的圖形面積大小不變。利用圖形的對稱性進(jìn)行拼切是一種常用的方法，還要學(xué)會選擇分割的方法和技巧。

1．用一張長方形紙剪同樣的三角形（如下圖），最多能剪多少個(gè)這樣的三角形？

2．一個(gè)三角形的底是12分米，高是8分米，用兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的面積是多少平方分米？

3．一塊裝飾玻璃形狀如下圖所示，這塊玻璃的面積是多少平方分米？

4．王村有一個(gè)寬20米的長方形魚塘。因修路，魚塘的寬減少了6米，這樣魚塘的面積就減少了180平方米?，F(xiàn)在魚塘的面積是多少平方米？（先畫出減少的部分，再解答）

5．長方形紙長24厘米、寬14厘米，先剪下一個(gè)最大的正方形，再從剩下的長方形中剪下一個(gè)最大的正方形。最后剩下的小長方形的面積是多少？

6．欣欣和樂樂想用一張長8分米、寬5.5分米的長方形紙剪邊長是2分米的正方形。樂樂說：“我最多能剪出11個(gè)正方形”，欣欣說：“不可能，你吹?！薄Ｄ阏J(rèn)為樂樂是在吹牛嗎？請你用畫示意圖的方式說明你的想法。

7．在一張長30厘米、寬18厘米的長方形紙的一端剪掉一個(gè)最大的正方形，在剩下的長方形紙的一端再剪掉一個(gè)最大的正方形．最后剩下部分是什么圖形？它的面積是多少平方厘米？

8．一塊正方形的玻璃邊長8分米，在它一角切下一個(gè)長4分米、寬3分米的長方形，這塊玻璃剩下部分的周長多少分米？（先畫圖，再計(jì)算）

9．李阿姨在一塊長為80分米，寬為50分米的長方形花布上剪下一塊最大的正方形花布，這塊正方形花布的周長是多少分米？剩下的花布的周長是多少分米？

10．一張長方形桌布長120厘米、寬90厘米。這張桌布有了一個(gè)洞，為了不浪費(fèi)，小明想剪下一塊最大的正方形桌布。剪下的這塊正方形桌布的面積是多少平方厘米？

11．在下圖的長方形中，截取一個(gè)最大的正方形，剩下的小長方形的周長是多少厘米？

12．一塊長方形花圃，如果把它的長減少4米，面積就減少64平方米；如果把它的寬增加4米，面積就增加80平方米。原來這塊花圃的面積是多少平方米？在圖中畫一畫，再解答。

13．圖中的正方形被分成了4個(gè)相同的長方形，正方形的周長80米，每個(gè)長方形的周長是多少？

14．從一張長30厘米，寬20厘米的長方形紙中，剪去一個(gè)最大的正方形。剩下部分的面積是多少平方厘米？合多少平方分米？

15．李阿姨家有一塊長方形菜地，如下圖所示。她計(jì)劃在這塊菜地里劃一個(gè)最大的正方形區(qū)域種植小白菜。小白菜種植區(qū)的周長是多少？

16．用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。已知每個(gè)三角形的面積是46平方厘米，拼成的平行四邊形的面積是多少平方厘米？

17．李小林要從下邊的長方形紙上剪下一個(gè)最大的正方形．剩余部分是什么圖形？它的面積是多少平方厘米？

18．一張長方形紙，長20厘米、寬12厘米。將這張紙裁剪成長4厘米、寬3厘米的小長方形，最多可以剪幾個(gè)？

19．（1）蘭蘭做手工，需要從下面這張長方形彩紙中剪下一個(gè)最大的正方形，剪出的正方形面積是多少？

（2）剩下的紙還能剪出幾個(gè)面積是1平方厘米的小正方形？你是怎么想的可以用列式、文字或者畫圖等方法進(jìn)行說明。

20．一張長方形紙片，長30厘米，寬20厘米，剪下一個(gè)最大的正方形，剩下圖形的周長是多少厘米？

21．科技活動小組要把兩張相同的桌子拼在一起，每張桌子的長是24分米，寬是12分米，兩張桌子拼在一起，周長是多少分米？（提示：有兩種拼法）

22．把兩個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長方形后，周長比原來兩個(gè)正方形的周長的和減少10厘米。原來一個(gè)正方形的周長是多少？

23．如圖：梯形的上底2厘米，下底3厘米，高1.5厘米。

（1）計(jì)算梯形的面積。

（2）在梯形中剪下一個(gè)面積最大的平行四邊形，用虛線標(biāo)出剪的痕跡，并求出剪下的平行四邊形的面積。

24．小麗在方格紙上畫了一個(gè)直角梯形（如下圖）。

（1）這個(gè)直角梯形的上底是（）厘米，下底是（）厘米，高是（）厘米。

（2）用兩個(gè)這樣的直角梯形拼成一個(gè)平行四邊形，把拼成的平行四邊形畫在上面的方格紙上。

25．用一個(gè)周長是24厘米的正方形和下圖中的一個(gè)長方形拼成一個(gè)新的長方形。

①選擇（）號比較合適。

②將拼組后的新長方形畫在下面方格紙上。

26．一張等腰梯形的紙，在這張紙上剪下一個(gè)最大的平行四邊形應(yīng)該怎樣剪？請你在圖上畫一畫。剩下部分的面積是多少呢？

27．（1）用一個(gè)周長是20厘米的正方形和三個(gè)長方形（圖①、圖②、圖③）中的一個(gè)拼成一個(gè)新的長方形，選擇（）號長方形比較合適。

（2）將拼組后的新長方形畫在方格紙中（每個(gè)方格邊長是1厘米）。

（3）將這個(gè)長方形的涂上陰影。

（4）這個(gè)新長方形的周長是（）厘米。

28．有兩個(gè)長方形，長都是8厘米，寬都是4厘米，他們可以拼成一個(gè)長方形或是一個(gè)正方形，拼成的長方形和正方形的周長各是多少？

29．一張長方形紙長17厘米，寬12厘米，把它剪成兩條直角邊分別為3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪多少面？

30．在一張長25厘米，寬20厘米的長方形紙上剪一個(gè)最大的正方形。剩下的紙的周長是多少厘米？（畫出圖形）

31．一張長方形紙，長20厘米寬15厘米．從這張紙上剪下一個(gè)最大的正方形。正方形的周長是多少厘米？剩下的圖形的周長是多少厘米？

1．24個(gè)

【分析】剪的兩個(gè)三角形可以組成一個(gè)長是10厘米，寬是4厘米的長方形，求出在長50厘米的邊上，能剪幾個(gè)4厘米寬的長方形，就能求出最多能剪幾個(gè)這樣的三角形；據(jù)此解答。

【詳解】50÷4＝12（個(gè)）……2（厘米）

12×2＝24（個(gè)）

答：最多能剪24個(gè)這樣的三角形。

【分析】解答本題的關(guān)鍵明確不能用長方形面積直接除以三角形面積；求出剪長方形的個(gè)數(shù)需要乘2。

2．96平方分米

【分析】根據(jù)題意可知，拼成的平行四邊形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，根據(jù)平行四邊形面積公式：面積＝底×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。

【詳解】12×8＝96（平方分米）

答：這個(gè)平行四邊形的面積是96平方分米。

【分析】本題考查平行四邊形面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵明確拼成平行四邊形的底和高與三角形的底和高的關(guān)系。

3．22平方分米

【分析】如圖所示，把圖形分割為一個(gè)長方形和一個(gè)三角形，這塊玻璃的面積＝長方形的面積＋三角形的面積，據(jù)此解答。

【詳解】

5×4＋（7－5）×（4－2）÷2

＝20＋2×2÷2

＝20＋2

＝22（平方分米）

答：這塊玻璃的面積是22平方分米。

【分析】掌握組合圖形面積的計(jì)算方法是解答題目的關(guān)鍵。

4．

420平方米

【分析】根據(jù)題意可知，魚塘寬減少了6米，這樣魚塘的面積就減少了180平方米，說明魚塘的長不變，由此可以求出魚塘的長，180÷6＝30米，用長乘現(xiàn)在的寬即可求出現(xiàn)在的面積。

【詳解】

180÷6×（20－6）

＝30×14

＝420（平方米）

答：現(xiàn)在魚塘的面積是420平方米。

【分析】此題主要考查長方形的面積計(jì)算，首先根據(jù)減少的面積和減少的寬求出魚塘的長，再根據(jù)長方形的面積公式解答。

5．40平方厘米

【分析】根據(jù)題意可知：第一次所剪最大正方形的邊長等于長方形的寬（14厘米），剩下長方形的長是14厘米，寬是（24－14）厘米，第二次剪的最大正方形的邊長是（24－14）厘米，根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，正方形的面積公式：S＝a2，把數(shù)據(jù)分別代入公式求出長方形的面積與兩個(gè)正方形的面積差即可。

【詳解】24－14＝10（厘米）

24×14－14×14－10×10

＝336－196－100

＝140－100

＝40（平方厘米）

答：最后剩下的小長方形的面積是40平方厘米。

【分析】此題主要考查長方形、正方形的面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

6．樂樂是吹牛；圖見詳解

【分析】先計(jì)算沿著長和寬各能剪幾個(gè)，用長方形的長、寬分別除以2所得的商取整數(shù)，再根據(jù)乘法的意義，把它們相乘即可。

【詳解】由分析可知：

8÷2＝4（個(gè)）

5.5÷2＝2.75（個(gè)）

4×2＝8（個(gè)）

答：樂樂在吹牛，最多能剪8個(gè)正方形，剪法如上圖。

【分析】本題重點(diǎn)考查長方形切割問題的應(yīng)用，商采用去尾法。

7．剩下的是一個(gè)長方形，面積是72平方厘米

【詳解】試題分析：觀察圖形可知，兩次剪掉長方形內(nèi)最大的正方形后，剩下的是一個(gè)長方形，長是30﹣18=12厘米，寬是18﹣12=6厘米，據(jù)此利用長方形的面積公式即可解答．

解：根據(jù)題干分析可得：剩下的是一個(gè)小長方形，面積是：

（30﹣18）×（18﹣12），

=12×6，

=72（平方厘米），

答：剩下的是一個(gè)長方形，面積是72平方厘米．

分析：根據(jù)切割方法，明確剩下的長方形的長與寬的值，是解決本題的關(guān)鍵．

8．畫圖見詳解；32分米

【分析】當(dāng)切下一個(gè)長4分米、寬3分米的長方形后，經(jīng)過平移后，剩下部分的周長還是等于原來正方形的周長。

【詳解】

8×4＝32（分米）

答：這塊玻璃剩下部分的周長32分米。

【分析】學(xué)生應(yīng)熟練掌握用平移的方法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，再求周長。

9．正方形花布的周長：200分米；剩下的花布的周長：160分米

【分析】當(dāng)正方形的邊長為50分米時(shí)，此時(shí)剪下的是一塊最大的正方形花布；用50乘4，求出這塊正方形花布的周長是多少分米；用80減去50，求出剩下的花布的寬，剩下的花布的長是50分米，根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答。

【詳解】50×4＝200（分米）

（50＋80－50）×2

＝80×2

＝160（分米）

答：這塊正方形花布的周長是200分米，剩下的花布的周長是160分米。

【分析】本題考查了長方形的周長公式和正方形的周長公式，應(yīng)熟練掌握并靈活運(yùn)用。

10．8100平方厘米

【分析】根據(jù)題意可知，剪下的這塊正方形桌布的邊長是90厘米，根據(jù)正方形面積計(jì)算公式即可求出正方形桌布的面積。

【詳解】根據(jù)分析可知，剪下的這塊正方形桌布的邊長是90厘米，可得：

90×90＝8100（平方厘米）

答：剪下的這塊正方形桌布的面積是8100平方厘米。

【分析】要明確，在一個(gè)長方形里剪一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的邊長等于長方形寬邊的長度，是解答此題的關(guān)鍵。

11．20厘米

【分析】在長方形中截取最大的正方形，正方形的邊長是長方形的寬，即要從長10厘米中截取6厘米，剩下的線段長度是（10－6＝4）厘米，求剩下小長方形的周長，已知長是6厘米，寬是4厘米，代入公式（長＋寬）×2，即可解答。

【詳解】10－6＝4（厘米）

（6＋4）×2

＝10×2

＝20（厘米）

答：剩下的小長方形的周長是20厘米。

【分析】本題考查長方形周長的應(yīng)用，掌握在長方形中截取最大的正方形，正方形的邊長是長方形的寬和長方形的周長公式，是解題的關(guān)鍵。

12．320平方米

【分析】長減少4米，寬不變，面積減少64平方米，根據(jù)長方形的寬＝面積÷長，求出原來花圃的寬。寬增加4米，長不變，面積增加80平方米，根據(jù)長方形的長＝面積÷寬，求出原來花圃的長。根據(jù)長方形的面積＝長×寬，求出原來花圃的面積。

【詳解】

64÷4＝16（米）

80÷4＝20（米）

20×16＝320（平方米）

答：原來這塊花圃的面積是320平方米。

【分析】本題考查長方形面積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是求出原來花圃的長與寬。

13．每個(gè)長方形的周長是50厘米

【詳解】試題分析：根據(jù)正方形的特征，正方形的4條邊的長度都相等，把一個(gè)正方形平均分成兩個(gè)小長方形，每個(gè)長方形的長等于正方形的邊長，每個(gè)長方形的寬等于正方形的邊長的，再根據(jù)長方形的周長公式，計(jì)算出每個(gè)長方形的周長即可．

解：根據(jù)題干分析可得：正方形的邊長為80÷4=20（厘米），

把正方形平均分成四個(gè)小長方形，每個(gè)長方形的長也是20厘米，

每個(gè)長方形的寬是×20=5（厘米）；

則每個(gè)長方形的周長為：（20+5）×2=50（厘米）；

答：每個(gè)長方形的周長是50厘米；

分析：此題主要考查正方形和長方形的周長的計(jì)算方法，直接利用正方形和長方形的周長公式解答即可．

14．200平方厘米；2平方分米

【分析】要剪去一個(gè)最大的正方形，那么所剪的正方形的邊長必須是20厘米，則剩下的圖形是一個(gè)長為20厘米，寬為30－20＝10（厘米）的長方形；根據(jù)長方形的面積＝長×寬，把長和寬分別代入，即可求出剩下部分的面積，最后再進(jìn)行面積單位轉(zhuǎn)換即可。

【詳解】20×（30－20）

＝20×10

＝200（平方厘米）

200平方厘米＝2平方分米

答：剩下部分的面積是200平方厘米；合2平方分米。

【分析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，知道如何剪一個(gè)最大的正方形，得出剩下的圖形是長方形，進(jìn)而再根據(jù)長方形的面積公式即可求出剩下部分的面積。

15．72米

【分析】根據(jù)題意可知，在這塊長方形菜地里劃一個(gè)最大的正方形區(qū)域，這個(gè)正方形的邊長等于長方形的寬，是18米，根據(jù)正方形的周長＝邊長×4，把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】18×4＝72（米）

答：小白菜種植區(qū)的周長是72米。

【分析】此題主要考查正方形周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

16．92平方厘米

【分析】用兩個(gè)完全一樣的三角形平成一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，直接用三角形的面積×2即可。

【詳解】46×2＝92（平方厘米）

答：拼成的平行四邊形的面積是92平方厘米。

【分析】此題考查了平行四邊形與三角形面積之間的關(guān)系，也是三角形面積公式推導(dǎo)的依據(jù)。

17．長方形；24平方厘米

【詳解】略

18．20個(gè)

【分析】長邊可以分成20÷4＝5個(gè)，寬邊可以分成12÷3＝4個(gè)，所以一共可以分成5×4＝20個(gè)，據(jù)此即可解答問題。

【詳解】（20÷4）×（12÷3）

＝5×4

＝20（個(gè)）

答：最多可以剪20個(gè)。

【分析】在裁剪的過程中，先觀察大長方形與小長方形的關(guān)系，明確以長與寬分別可以剪出的小長方形的個(gè)數(shù)；然后相乘即可。

19．（1）225平方厘米；（2）30個(gè)；說明見解析

【分析】（1）在這張長方形彩紙上剪一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的邊長等于長方形的寬，根據(jù)正方形的面積＝邊長×邊長，把數(shù)據(jù)代入公式解答。

（2）剩下部分是一個(gè)長15厘米，寬是（17－15）厘米的長方形，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，求出剩下紙的面積，然后根據(jù)“包含”除法的意義，用除法解答。

【詳解】（1）15×15＝225（平方厘米）

答：剪出的正方形面積是225平方厘米。

（2）15×（17－15）÷1

＝15×2÷1

＝30÷1

＝30（個(gè)）

答：剩下的紙還能剪出30個(gè)面積是1平方厘米的小正方形。

【分析】此題主要考查正方形、長方形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

20．60厘米

【分析】根據(jù)題意可知，在這張長方形紙上剪一個(gè)最大的正方形，剪下的正方形的邊長等于長方形的寬，剩下的圖形是長20厘米，寬（30－20）厘米的長方形，根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】30－20＝10（厘米）

（20＋10）×2

＝30×2

＝60（厘米）

答：剩下圖形的周長是60厘米。

【分析】此題主要考查長方形周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

21．120分米；96分米

【分析】拼法一：兩張桌子的寬邊拼在一起，此時(shí)新長方形的長是（24＋24）分米，寬是12分米，長方形的周長＝（長＋寬）×2，代入數(shù)據(jù)即可解答；拼法二：兩張桌子的長邊拼在一起，此時(shí)是一個(gè)正方形，邊長是24分米，正方形的周長＝邊長×4，代入數(shù)據(jù)即可解答。

【詳解】拼法一：（24＋24＋12）×2

＝（48＋12）×2

＝60×2

＝120（分米）

拼法二：24×4＝96（分米）

答：周長是120分米或者96分米。

【分析】本題主要考查了長方形的周長公式，明確有兩種拼法是解答此題的關(guān)鍵。

22．20厘米

【分析】減少的10厘米是正方形的2條邊長，求出正方形的邊長是10÷2＝5（厘米），再求出周長。

【詳解】正方形的邊長：10÷2＝5（厘米）

正方形的周長：5×4＝20（厘米）

答：原來一個(gè)正方形的周長是20厘米。

【分析】準(zhǔn)確理解“減少的周長是兩個(gè)正方形的邊長”是解答此題的關(guān)鍵。

23．（1）3.75平方厘米；

（2）圖見詳解，3平方厘米

【分析】（1）根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，把數(shù)據(jù)代入即可求解；

（2）沿著梯形的下底一端截取與上底相同長度的線段，并與上底的頂點(diǎn)連接，得到一個(gè)最大的平行四邊形，平行四邊形的底為2厘米，高為1.5厘米，平行四邊形面積＝底×高，把數(shù)據(jù)代入公式即可求解。

【詳解】（1）（2＋3）×1.5÷2

＝5×1.5÷2

＝7.5÷2

＝3.75（平方厘米）

答：梯形的面積為3.75平方厘米。

（2）如圖剪開即可：

2×1.5＝3（平方厘米）

答：剪下的平行四邊形的面積為3平方厘米。

【分析】此題考查了平面圖形的切拼以及面積計(jì)算，明確梯形中剪去最大的平行四邊形，平行四邊形的底等于梯形的上底是解題關(guān)鍵。

24．（1）2；4；3；

（2）見詳解

【分析】（1）一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，據(jù)此觀察圖形可知，這個(gè)直角梯形的上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米。

（2）對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，據(jù)此把兩個(gè)直角梯形有直角的兩條腰拼在一起即可，如下圖。

【詳解】（1）觀察發(fā)現(xiàn)可知，

這個(gè)直角梯形的上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米。

（2）如圖：

（拼法不唯一）

【分析】正確理解平行四邊形、直角梯形的定義與特征，是解答此題的關(guān)鍵。

25．①②

②見詳解

【分析】①周長是24厘米的正方形的邊長是24÷4＝6厘米，所以要把這個(gè)正方形與已知的長方形組成一個(gè)新的長方形，則應(yīng)該選擇與正方形的邊長6厘米相等邊長的一個(gè)長方形進(jìn)行拼組，據(jù)此即可解答；

②拼組后的長方形的長是6厘米，寬是6＋1＝7厘米，據(jù)此即可畫圖。

【詳解】①24÷4＝6（厘米）

所以正方形的邊長是6厘米，所以這個(gè)正方形和圖中的一個(gè)長方形拼成一個(gè)新的長方形，選擇②號比較合適。

②6＋1＝7（厘米）

據(jù)此畫出拼組后的新長方形如下：

【分析】解答此題的關(guān)鍵是：先依據(jù)正方形的周長確定出其邊長的值，進(jìn)而確定與哪個(gè)圖形可以拼成一個(gè)新的長方形，由此完成作圖。

26．圖見詳解；30平方厘米

【分析】平行四邊形兩組對邊平行且相等，所以做畫的最大平行四邊形底與梯形的上底相等，斜邊與梯形的腰相等，高等于梯形的高，由此畫出圖形；再根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，平行四邊形的面積＝底×高，代入數(shù)據(jù)求出梯形、平行四邊形的面積，求差即可求出剩下的面積。

【詳解】畫圖如下：

（10＋15）×12÷2－10×12

＝25×12÷2－120

＝150－120

＝30（平方厘米）

答：剩下部分的面積是30平方厘米。

【分析】本題考查梯形、平行四邊形的面積公式，牢記公式是解題的關(guān)鍵。

27．（1）②

（2）（3）見詳解（第2、3小題作圖答案不唯一）

（4）22

【分析】（1）先計(jì)算出正方形的邊長＝正方形的周長÷4；再觀察圖①、圖②、圖③哪個(gè)的長或?qū)挼扔谡叫芜呴L；

（2）根據(jù)第（1）小問