深圳中考數學圓的綜合(大題-易錯-難題)

深圳中考數學圓的綜合(大題培優(yōu)易錯難題)一、圓的綜合1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點E為△ABC內切圓的圓心，連接AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D；連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的長．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，進而得到OD⊥DM，據此可得直線DM是⊙O的切線；（2）根據三角形內心的定義以及圓周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，據此解答即可．【詳解】（1）如圖所示，連接OD．∵點E是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD為⊙O半徑，∴直線DM是⊙O的切線．（2）連接BE．∵E為內心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴，即DB2=DF?DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=2．【點睛】本題主要考查了三角形的內心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應用，解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。蝗切蔚膬刃牡饺切稳叺木嚯x相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．2．如圖，已知△ABC內接于⊙O，BC交直徑AD于點E，過點C作AD的垂線交AB的延長線于點G，垂足為F．連接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度數；（2）若AB=AE，求證：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的條件下，連接OB，設△AOB的面積為S1，△ACF的面積為S2．若tan∠CAF=，求的值．【答案】（1）48°（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接CD，根據圓周角定理和垂直的定義可得結論；（2）先根據等腰三角形的性質得：∠ABE=∠AEB，再證明∠BCG=∠DAC，可得，則所對的圓周角相等，根據同弧所對的圓周角和圓心角的關系可得結論；（3）過O作OG⊥AB于G，證明△COF≌△OAG，則OG=CF=x，AG=OF，設OF=a，則OA=OC=2x-a，根據勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，則a=x，代入面積公式可得結論．【詳解】（1）連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90°，∵AD⊥CG，∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠ACB=∠G=48°；（2）∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，∴∠BCG=∠DAC，∴，∵AD是⊙O的直徑，AD⊥PC，∴，∴，∴∠BAD=2∠DAC，∵∠COF=2∠DAC，∴∠BAD=∠COF；（3）過O作OG⊥AB于G，設CF=x，∵tan∠CAF==，∴AF=2x，∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，∴△COF≌△OAG，∴OG=CF=x，AG=OF，設OF=a，則OA=OC=2x﹣a，Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，∴（2x﹣a）2=x2+a2，a=x，∴OF=AG=x，∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=x，∴．【點睛】圓的綜合題，考查了三角形的面積、垂徑定理、角平分線的性質、三角形全等的性質和判定以及解直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據圓周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根據外角的性質和圓的性質得：；（3）利用三角函數設未知數，根據勾股定理列方程解決問題．3．如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF=ED．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若tanA=，探究線段AB和BE之間的數量關系，并證明；（3）在（2）的條件下，若OF=1，求圓O的半徑．【答案】（1）答案見解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】試題分析：（1）先判斷出∠OCF+∠CFO=90°，再判斷出∠OCF=∠ODF，即可得出結論；（2）先判斷出∠BDE=∠A，進而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出結論；（3）設BE=x，則DE=EF=2x，AB=3x，半徑OD=x，進而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出結論．試題解析：（1）證明：連結OD，如圖．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）線段AB、BE之間的數量關系為：AB=3BE．證明如下：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴．∵Rt△ABD中，tanA==，∴=，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）設BE=x，則DE=EF=2x，AB=3x，半徑OD=x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圓O的半徑為3．點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數，相似三角形的判定和性質，勾股定理，判斷出△EBD∽△EDA是解答本題的關鍵．4．圖1和圖2中，優(yōu)弧紙片所在⊙O的半徑為2，AB＝2，點P為優(yōu)弧上一點（點P不與A，B重合），將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．發(fā)現(xiàn)：（1）點O到弦AB的距離是，當BP經過點O時，∠ABA′＝；（2）當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長．拓展：把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁，得到半圓形紙片，點P（不與點M，N重合）為半圓上一點，將圓形沿NP折疊，分別得到點M，O的對稱點A′，O′，設∠MNP＝α．（1）當α＝15°時，過點A′作A′C∥MN，如圖3，判斷A′C與半圓O的位置關系，并說明理由；（2）如圖4，當α＝°時，NA′與半圓O相切，當α＝°時，點O′落在上．（3）當線段NO′與半圓O只有一個公共點N時，直接寫出β的取值范圍．【答案】發(fā)現(xiàn)：（1）1，60°；（2）2；拓展：（1）相切，理由詳見解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】發(fā)現(xiàn)：（1）利用垂徑定理和勾股定理即可求出點O到AB的距離；利用銳角三角函數的定義及軸對稱性就可求出∠ABA′．（2）根據切線的性質得到∠OBA′=90°，從而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，進而求出∠OBP=30°．過點O作OG⊥BP，垂足為G，容易求出OG、BG的長，根據垂徑定理就可求出折痕的長．拓展：（1）過A'、O作A'H⊥MN于點H，OD⊥A'C于點D．用含30°角的直角三角形的性質可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C與半圓相切；（2）當NA′與半圓相切時，可知ON⊥A′N，則可知α=45°，當O′在時，連接MO′，則可知NO′=MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根據點A′的位置不同得到線段NO′與半圓O只有一個公共點N時α的取值范圍是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【詳解】發(fā)現(xiàn)：（1）過點O作OH⊥AB，垂足為H，如圖1所示,∵⊙O的半徑為2，AB=2，∴OH==在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）過點O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示．∵BA′與⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG⊥BP，∴BG=PG=．∴BP=2．∴折痕的長為2拓展：（1）相切．分別過A'、O作A'H⊥MN于點H，OD⊥A'C于點D．如圖3所示，∵A'C∥MN∴四邊形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=A'N=MN=2∴A'C與半圓（2）當NA′與半圓O相切時，則ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45當O′在上時，連接MO′，則可知NO′=MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案為：45°；30°．（3）∵點P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知當α增大到30°時，點O′在半圓上，∴當0°＜α＜30°時點O′在半圓內，線段NO′與半圓只有一個公共點B；當α增大到45°時NA′與半圓相切，即線段NO′與半圓只有一個公共點B．當α繼續(xù)增大時，點P逐漸靠近點N，但是點P，N不重合，∴α＜90°，∴當45°≤α＜90°線段BO′與半圓只有一個公共點B．綜上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【點睛】本題考查了切線的性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數的定義、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、翻折問題等知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵．5．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．【答案】（1）直線DE與⊙O相切（2）4【解析】試題分析：（1）連接OD，∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，∴，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切（2）如圖1，作DF⊥AB，垂足為F，∴，∵，，∴△EAD≌△FAD，∴，，∵，∴，在Rt△DOF中，，∴考點：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關系點評：本題難度不大，第一小題通過內錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推出同旁內角相等．第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應邊相等，接著用弦心距和弦長、半徑的計算公式，求出半弦長．6．如圖,四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,AB=CD．(1)如圖(1),求證:AD∥BC；(2)如圖(2),點F是AC的中點,弦DG∥AB,交BC于點E,交AC于點M,求證:AE=2DF；(3)在(2)的條件下,若DG平分∠ADC,GE=5,tan∠ADF=4,求⊙O的半徑?！敬鸢浮?1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】試題分析：(1)連接AC．由弦相等得到弧相等，進一步得到圓周角相等，即可得出結論．（2）延長AD到N，使DN=AD，連接NC．得到四邊形ABED是平行四邊形，從而有AD=BE，DN=BE．由圓內接四邊形的性質得到∠NDC=∠B．即可證明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位線的性質即可得出結論．（3）連接BG，過點A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四邊形ABED是平行四邊形，得到AB=DE．再證明ΔCDE是等邊三角形，ΔBGE是等邊三角形，通過解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的長，由EC=DE=AB，得到HC的長．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的長．作直徑AP，連接CP，通過解△APC即可得出結論．試題解析：解：(1)連接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．（2）延長AD到N，使DN=AD，連接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圓內接四邊形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=CN，∴AE=2DF．（3）連接BG，過點A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE．∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB=tan∠ADF=，DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等邊三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等邊三角形，BE=GE=．∵tan∠AEB=tan∠ADF=，設HE=x，則AH=．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=，解得：x=，∴AB=8，HB=4，AH=12，EC=DE=AB=，∴HC=HE+EC==．在Rt△AHC中，AC==．作直徑AP，連接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=，∴，∴⊙O的半徑是．7．如圖1，以邊長為4的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O，交對角線AC于點E．（1）圖1中，線段AE=；（2）如圖2，在圖1的基礎上，以點A為端點作∠DAM=30°，交CD于點M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉（如圖3），設旋轉角為α（0°＜α＜150°），在旋轉過程中AD與⊙O交于點F．①當α=30°時，請求出線段AF的長；②當α=60°時，求出線段AF的長；判斷此時DM與⊙O的位置關系，并說明理由；③當α=°時，DM與⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相離③當α=90°時，DM與⊙O相切【解析】（1）連接BE，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①連接OA、OF，由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，則∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等邊三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②連接B'F，此時∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此時DM與⊙O的位置關系是相離；③∵AD=8，直徑的長度相等，∴當DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，故此時可得α=∠NAD=90°．點睛：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細觀察每一次旋轉后的圖形，根據含30°角的直角三角形進行計算，另外在解答最后一問時，關鍵是判斷出點D的位置，有一定難度．8．如圖AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線CM，延長BC到點D，使CD=BC，連接AD交CM于點E，若⊙OD半徑為3，AE=5，（1）求證：CM⊥AD；（2）求線段CE的長.【答案】（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）連接OC，根據切線的性質和圓周角定理證得AC垂直平分BD，然后根據平行線的判定與性質證得結論；（2）根據相似三角形的判定與性質證明求解即可.詳解：證明：（1）連接OC∵CM切⊙O于點C，∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=AD∴AD=6∴DE=AD-AE=1易證△CDE～△ACE∴∴CE2=AE×DE∴CE=點睛：此題主要考查了切線的性質和相似三角形的判定與性質的應用，靈活判斷邊角之間的關系是解題關鍵，是中檔題.9．如圖，在中，，垂足為，過的⊙O分別與交于點，連接．（1）求證：≌；（2）當與⊙O相切時，求⊙O的面積．【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O的直徑，據此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”證明即可得；（2）當BC與⊙O相切時，AD是直徑，根據∠C=45°、AC=可得AD=1，利用圓的面積公式可得答案．詳解：（1）如圖，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直徑，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．∵，∴△ADE≌△CDF（ASA）．（2）當BC與⊙O相切時，AD是直徑．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=，∴sin∠C=，∴AD=ACsin∠C=1，∴⊙O的半徑為，∴⊙O的面積為．點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、與圓有關的位置關系等知識點．10．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧用直尺和圓規(guī)作出所在圓的圓心O；要求保留作圖痕跡，不寫作法若的中點C到弦AB的距離為，求所在圓的半徑．【答案】(1)見解析；（2）50m【解析】分析：連結AC、BC，分別作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O，如圖1；連接交AB于D，如圖2，根據垂徑定理的推論，由C為的中點得到，則，設的半徑為r，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．詳解：如圖1，點O為所求；連接交AB于D，如圖2，為的中點，，，設的半徑為r，則，在中，，，解得，即所在圓的半徑是50m．點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數學知識解決實際問題時，要善于把實際問題與數學中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題．11．問題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為______．(2)如圖②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M、點N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值．(3)如圖③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是BC邊上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度．若不存在，請說明理由．【答案】(1);(2)的最小值為.(3)【解析】試題分析：（1）根據兩種不同方法求面積公式求解；（2）作關于的對稱點，過作的垂線，垂足為，求的長即可;(3)連接，則，，則點的軌跡為以為圓心，為半徑的一段?。^作的垂線，與⊙交于點，垂足為，由求得GM的值，再由求解即可.試題解析：（）從到距離最小即為過作的垂線，垂足為，，∴，（）作關于的對稱點，過作的垂線，垂足為，且與交于，則的最小值為的長，設與交于，則，∴，且，∴，，∴，∴，即的最小值為．（）連接，則，，∴點的軌跡為以為圓心，為半徑的一段?。^作的垂線，與⊙交于點，垂足為，∵，∴，∴，∴，∴，，．【點睛】本題考查圓的綜合題、最短問題、勾股定理、面積法、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運用兩點之間線段最短解決問題．12．如圖1，是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數從M點開始（即M點的讀數為0），如圖2，把這個量角器與一塊30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現(xiàn)有射線C繞點C從CA開始沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉到與CB，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．連接BE．（1）當射線CP經過AB的中點時，點E處的讀數是，此時△BCE的形狀是；（2）設旋轉x秒后，點E處的讀數為y，求y與x的函數關系式；（3）當CP旋轉多少秒時，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根據圓周角定理即可解決問題；（2）如圖2﹣2中，由題意∠ACE＝2x，∠AOE＝y(tǒng)，根據圓周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分兩種情形分別討論求解即可；【詳解】解：（1）如圖2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴點E處的讀數是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案為60°，直角三角形；（2）如圖2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y(tǒng)，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如圖2﹣3中，當EB＝EC時，EO垂直平分線段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∴∠ECA＝∠AOE＝15°，∴x＝7.5．②若2﹣4中，當BE＝BC時，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACE＝∠ACB＝60°，∴x＝30，綜上所述，當CP旋轉7.5秒或30秒時，△BCE是等腰三角形；【點睛】本題考查幾何變換綜合題、創(chuàng)新題目、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．13．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．①求證：AG＝GD；②當∠ABC滿足什么條件時，△DFG是等邊三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝，求BC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）當∠ABC＝60°時，△DFG是等邊三角形．理由見解析；（3）BC的長為．【解析】【分析】（1）首先連接AD，由DE⊥AB，AB是的直徑，根據垂徑定理，即可得到，然后根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根據等角對等邊的性質，即可證得AG=GD；（2）當∠ABC=60°時，△DFG是等邊三角形，根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角與三角形的外角的性質，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可證得結論；（3）利用三角函數先求出tan∠ABD，cos∠ABD＝，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【詳解】（1）證明：連接AD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴，∴∠ADE＝∠ABD，∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AG＝GD；（2）解：當∠ABC＝60°時，△DFG是等邊三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，∴△DGF是等邊三角形；（3）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，∵AB＝10，sin∠ABD＝，∴在Rt△ABD中，AD＝AB?sin∠ABD＝6，∴BD＝＝8，∴tan∠ABD＝，cos∠ABD＝，在Rt△ADF中，DF＝AD?tan∠DAF＝AD?tan∠ABD＝6×＝，∴BF＝BD﹣DF＝8﹣＝，∴在Rt△BCF中，BC＝BF?cos∠DBC＝BF?cos∠ABD＝×＝．∴BC的長為：．【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質、三角函數的性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是掌握數形結合思想與轉化思想的應用，注意輔助線的作法．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作FE⊥AB于點E，交AC的延長線于點F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若AE＝6，sin∠CFD＝，求EB的長．【答案】(1)見解析（2）【解析】【分析】如圖，欲證明EF與相切，只需證得．通過解直角可以求得設的半徑為r，由已知可得△FOD∽△FAE，繼而得到，即，則易求，所以．【詳解】（1）如圖，連接OD，，．，，，，，，，，是的半徑，與相切；由知，，．在中，，，則，，∴△FOD∽△FAE，，設的半徑為r，，解得，，，．【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質、解直角三角形的應用等，正確添加輔助線、靈活應用相關知識是解題的關鍵.15．我們知道，如圖1，AB是⊙O的弦，點F是的中點，過點F作EF⊥AB于點E，易得點E是AB的中點，即AE＝EB．⊙O上一點C（AC＞BC），則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”．（1）當點C在弦AB的上方時（如圖2），過點F作EF⊥AC于點E，求證：點E是“折弦ACB”的中點，即AE＝EC+CB．（2）當點C在弦AB的下方時（如圖3），其他條件不變，則上述結論