2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項突破01以奇偶性為主導(dǎo)的函數(shù)性質(zhì)探究

《以奇偶性為主導(dǎo)的函數(shù)性質(zhì)》專項突破高考定位函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，幾乎是每年必考的內(nèi)容，例如判斷和證明函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性解決問題，同時奇偶性可以和函數(shù)的其他性質(zhì)結(jié)合，提高了綜合性和創(chuàng)造性．考點解析（1）奇偶性判定（2）與周期性、單調(diào)性交匯（3）已知奇偶性求參（4）構(gòu)造奇偶函數(shù)（5）奇偶性應(yīng)用分項突破類型一、奇偶性判定例1-1（2021·河南·模擬預(yù)測（文））已知非常數(shù)函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中，不是奇函數(shù)的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷．【詳解】因為，所以，則，是奇函數(shù)，同理也是奇函數(shù)，，則，是奇函數(shù)，，為偶函數(shù)，故選：D．練．（2021·河南·高三月考（文））已知函數(shù)，記，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，則，所以，所以.故選：C．例1-2．（2021·河北·高三月考）已知函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，然后可得函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后不等式可化為，然后可解出答案.【詳解】設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以．故選：A.練．（2021·河南·高三月考（理））的最大值與最小值之差為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖像的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】，設(shè)，則則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，其最大值與最小值是互為相反數(shù)，即的最大值與最小值之差為，當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以的最大值與最小值之差為故選：B.練、已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)；根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合奇偶性可確定在上單調(diào)遞增，由此可將所給不等式化為，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】當時，，，同理，當時，，且，可知函數(shù)為奇函數(shù)；，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，由得：，即，，，解得：，即，，即實數(shù)的取值范圍為.故選：.例1-3．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)，由圖像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.【詳解】定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，是奇函數(shù)，排除C，D；當時，，排除B；故選：A.練、函數(shù)部分圖象大致形狀為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用奇偶性的定義可證是奇函數(shù)，在利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性即可確定函數(shù)圖象.【詳解】由解析式知：，即是奇函數(shù)，且，即可排除A、B；因為，所以時有單調(diào)遞減，排除D；故選：C類型二、已知奇偶性求參例2-1．（2021·北京朝陽·高三期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)（）.A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以，即，解得，經(jīng)檢驗符合題意，故選：D.練。若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象對稱關(guān)系可知函數(shù)為偶函數(shù)，得到，進而得到恒成立，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相同可得方程求得結(jié)果.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)即：恒成立，即：，解得：本題正確選項：練．（2021·遼寧沈陽·高三月考）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)求出的值，再根據(jù)奇偶性的定義證明即可.【詳解】解：由已知，即，故函數(shù)定義域為，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則即，解得，當時，.故時，函數(shù)為偶函數(shù)故答案為：.練．若為奇函數(shù)，當時，，則（）A． B．1 C．3 D．【答案】C【分析】先求出時，的解析式，再利用奇函數(shù)求【詳解】因為為奇函數(shù)，當時，，所以，解得：.所以當時，.所以.故選：C【點睛】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用:(1)一般用或;(2)有時為了計算簡便,我們可以對x取特殊值:或.例2-3．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高三月考）“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】當時，，其定義域為R，，所以為偶函數(shù)；當是偶函數(shù)時，，則有，解得，即為偶函數(shù)時，，所以“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，故選：C.練．（2021·河南·高三月考（理））“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當函數(shù)為奇函數(shù)，，則，所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.類型三、利用奇偶性變形例3-1（2021·河南·孟津縣第一高級中學(xué)高三月考（理））若函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用其性質(zhì)解不等式即可【詳解】的定義域為,因為，所以是奇函數(shù)，所以不等式可化為，因為在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，解得，故選：A.練（2022·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，且，∴函數(shù)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)．于是，可以變?yōu)?，即，∴，而，可知實?shù)，故實數(shù)的取值范圍為．故選：C.例3-2．（2021·湖北·高三期中）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為是偶函數(shù)，則由可得，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得，故選：D練．（2021·廣東·高三月考）已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】故為偶函數(shù)且當時，恒成立，所以恒成立，當時，單調(diào)遞增，而，由可得：，即令所以單調(diào)遞減，而所以的解集為故選：D例3-3（2021·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若任意的正數(shù)，滿足.則的最小值_____.【答案】【分析】根據(jù)奇偶性定義和單調(diào)性的性質(zhì)可確定為定義在上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，由此可得，根據(jù)，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】，為定義在上的奇函數(shù)，與在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，又，，，即；（當且僅當，即，時取等號），的最小值為.故答案為：.類型四、利用奇偶性求解析式例4-1．定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則當時，不等式的解為___________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及條件求得函數(shù)周期，從而求得時對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后解一元二次不等式即可.【詳解】，函數(shù)周期為2；當時，，則當時，，由知，當時，，故時，則不等式即，解得，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：難點在于求得函數(shù)在對應(yīng)的函數(shù)解析式，從而解一元二次不等式.練．（2021·安徽·六安二中高三月考）設(shè)為奇函數(shù)，且當時，，則當時，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，則，又由為奇函數(shù)，則，故選：D.練。若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【答案】，.【解析】第一步，首先設(shè)出所求區(qū)間的自變量：用代換解析式中的，所以，第二步，運用已知條件將其轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間滿足的的取值范圍：因為函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，第三步，利用已知解析式確定所求區(qū)間相應(yīng)的函數(shù)的表達式：聯(lián)立，解之得，.【點評】這里運用了構(gòu)造法，把符合要求的奇函數(shù)與偶函數(shù)構(gòu)造出來，問題也就解決了，構(gòu)造的關(guān)鍵是運用奇、偶函數(shù)的概念，并聯(lián)系方程組的知識.類型五、利用奇偶性作圖例5-1（2021·江西·高三月考（文））若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖象變換，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意是上的奇函數(shù)，且在遞增，且，所以在遞增，且.的圖象是由的圖象向右平移個單位得到，畫出的大致圖象如下圖所示，由圖可知，滿足的的取值范圍為.故選：C.類型六、構(gòu)造奇偶函數(shù)例4-1．（2021·陜西·西安中學(xué)高三期中）已知函數(shù)（，），且，則（）A． B．2 C．1 D．【答案】C【分析】令，由，可得為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：令，因為，所以為奇函數(shù)，所以，即，又，所以，故選：C.例4-2（2021·江蘇·海安高級中學(xué)高三月考）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的實數(shù)x，都有，且當時，恒成立，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，令，根據(jù)奇偶性的定義，可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，將題干條件化簡可得，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，計算求解，即可得答案.【詳解】由，得，記，則有，即為偶函數(shù)，又當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，即，所以，即，解得，故選：D.例4-3．（2021·河北·高三月考）已知函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，然后可得函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后不等式可化為，然后可解出答案.【詳解】設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以．故選：A.例4-4．已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，令，則，可得是奇函數(shù)，又，又利用基本不等式知當且僅當，即時等號成立；當且僅當，即時等號成立；故，可得是單調(diào)增函數(shù)，由得，即，即對恒成立.當時顯然成立；當時，需，得，綜上可得，故選：D.例4-5（多選題）（2021·重慶九龍坡·高三二模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)的值可能為（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】構(gòu)造新函數(shù)是偶函數(shù)，它有4個零點，因此在時它有兩個零點．用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，確定函數(shù)的變化趨勢，從而得結(jié)論．【詳解】設(shè)，則是偶函數(shù)，由已知＝0有4個解，所以時，有2個解．時，，，顯然不是方程的解，因此有兩個正實根．設(shè)，則，當且時，時，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，，是極小值，所以時，，而且時，，時，，所以有兩個正實根時，．只有CD滿足．故選：CD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查方程根的分布，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要偶函數(shù)有兩個正的零點即可．這樣新函數(shù)解析式確定，問題再轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點，然后研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、變化趨勢即可得．練．已知函數(shù)，若方程有且僅有兩個不同的解，則實數(shù)m的值為（）A．2e B．4e C．6e D．8e【答案】A【分析】設(shè)，判斷為偶函數(shù)，只需滿足時，有個零點，即，轉(zhuǎn)化為，相切，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率即可.【詳解】解：設(shè)，可得，即有為偶函數(shù)，由題意考慮時，有個零點，當時，，，即有時，，由，可得，由，相切，設(shè)切點為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，可得切線的方程為，由切線經(jīng)過點，可得，解得或舍去，即切線的斜率為2e，故選：A類型六、利用奇偶性求最值例6-1．（2021·河南·高三月考（理））的最大值與最小值之差為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖像的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】，設(shè)，則則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，其最大值與最小值是互為相反數(shù)，即的最大值與最小值之差為，當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以的最大值與最小值之差為故選：B.例6-2（2021·河南平頂山·高三月考（文））若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．4 B．