線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型

線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型

摘要在實(shí)際問題中常常遇到簡(jiǎn)單的變量之間的關(guān)系，我們會(huì)遇到多個(gè)變量同處于一個(gè)過程之中，它們之間互相聯(lián)系、互相制約．這些問題中最簡(jiǎn)單的是線性回歸．線性回歸分析是對(duì)客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析方法，被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究．由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往用一個(gè)變量無法描述，故本篇論文在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下，又詳細(xì)地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)和其顯著性檢驗(yàn)等．全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系，準(zhǔn)確測(cè)定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動(dòng)．以提高預(yù)測(cè)和控制的準(zhǔn)確度．本文中詳細(xì)的闡述了線性回歸的定義及其線性模型的簡(jiǎn)單分析并應(yīng)用了最小二乘法原理．具體介紹了線性回歸分析方程參數(shù)估計(jì)辦法和其顯著性檢驗(yàn)．并充分利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)．但復(fù)雜的計(jì)算給分析方法推廣帶來了困難，需要相應(yīng)的操作軟件來計(jì)算回歸分析求解操作過程中的數(shù)據(jù)．以提高預(yù)測(cè)和控制的準(zhǔn)確度．從而為工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及研究起到強(qiáng)有力的推動(dòng)作用．關(guān)鍵詞：線性回歸；最小二乘法；數(shù)學(xué)模型目錄第一章前言…………………1第二章線性模型……………2第一節(jié)一元線性模型……………………2第二節(jié)多元線性模型……………………4第三章參數(shù)估計(jì)……………5第一節(jié)一元線性回歸方程中的未知參數(shù)的估計(jì)………5第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)…………………8第四章顯著性檢驗(yàn)……………13第一節(jié)一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)………………13第二節(jié)多元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)………………20第五章利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)………………21第六章總結(jié)……………………26致謝……………27參考文獻(xiàn)…………第一章前言回歸分析是對(duì)客觀事物數(shù)量依存關(guān)系的分析．是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)常用的方法．是處理多個(gè)變量之間相互關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．在現(xiàn)實(shí)世界中，我們常與各種變量打交道，在解決實(shí)際問題過程中，我們常常會(huì)遇到多個(gè)變量同處于一個(gè)過程之中，它們之間互相聯(lián)系、互相制約．常見的關(guān)系有兩種：一類為“確定的關(guān)系〃即變量間有確定性關(guān)系，其關(guān)系可用函數(shù)表達(dá)式表示.例如：路程S,時(shí)間t,與速度v之間有關(guān)系式：s=vt在圓體給與半徑r之間有關(guān)系式v=另外還有一些變量?他們之間也有一定的關(guān)系，然而這種關(guān)系并不完全確定，不能用函數(shù)的形式來表達(dá)，在這種關(guān)系中至少有一個(gè)變量是隨機(jī)的．例如：人的身高與體重有一定的關(guān)系，一般來講身高高的人體重相對(duì)大一些．但是它們之間不能用一個(gè)確定的表達(dá)式表示出來．這次變量（或至少其中有一個(gè)是隨機(jī)變量）之間的關(guān)系．我們稱之為相關(guān)關(guān)系．又如環(huán)境因素與農(nóng)作物的產(chǎn)量也有相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樵谙嗤h(huán)境條件下農(nóng)作物的產(chǎn)量也有區(qū)別，這也就是說農(nóng)作物的產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量．回歸分析就是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，是尋找不完全確定的變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的一種方法．它能幫助我們從一個(gè)變量取得的值去估計(jì)另一個(gè)變量的值．在這種關(guān)系中最簡(jiǎn)單的是線性回歸．線性回歸分析是對(duì)客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析方法，被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究．由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往用一個(gè)變量無法描述，故本篇論文在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下，又詳細(xì)地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)和其顯著性檢驗(yàn)等．全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系，準(zhǔn)確測(cè)定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動(dòng)．以提高預(yù)測(cè)和控制的準(zhǔn)確度．第二章線性模型第一節(jié)一元線性模型在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科研中最常遇到的配直線問題，就是回歸分析的統(tǒng)計(jì)推斷方法來求經(jīng)驗(yàn)公式（線性回歸）的問題．如：例1今有某種大豆脂肪含量x（%）與蛋白質(zhì)含量y（%）的測(cè)定結(jié)果如下表所示：試求它們之間的關(guān)系（檢驗(yàn)公式）．x．5．5．5．520．521．522．543．542．642．640．640．338．737．2首先將這組數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系上描成點(diǎn)，如下圖：一般的，按此方法描點(diǎn)所得的圖成為散點(diǎn)圖．從圖上可以看出：這些數(shù)據(jù)描出的點(diǎn)分布在一條直線附近．于是推出他們大致可以表示為線性關(guān)系這里再y上加“人〃是為了區(qū)別于他的實(shí)際值y,因?yàn)閥與x一般不具有確定的函數(shù)關(guān)系，這樣，在散點(diǎn)圖的啟發(fā)下，我們選定了回歸方程是線性的．然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷方法來估計(jì)出未知數(shù)和從而確定所求的經(jīng)驗(yàn)公式.一般的，設(shè)隨機(jī)變量y與x之間的相關(guān)關(guān)系可以用線性模型,?N(0,)(1)來表示.這里x是試驗(yàn)或觀察中可以控制或精確觀測(cè)的變量.即非隨機(jī)變量,y是可觀測(cè)的隨機(jī)變量是不可觀測(cè)的隨機(jī)變量(它表示模型誤差，是除去x對(duì)Y的先行影響之外的且不能測(cè)出的其它各個(gè)隨機(jī)因素對(duì)Y的影響的總和)通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)可得到關(guān)于變量x和Y的一組數(shù)據(jù)(，)，(，)，……(，)因?yàn)閷?duì)于任意一個(gè)(i=1,2,……n),在的觀測(cè)值在取定前不能精確預(yù)言它一定能取什么值，故把看作是隨機(jī)變量Y的觀測(cè)值.而相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，，……為Y的樣本.我們知道，樣本與樣本觀測(cè)值之間的區(qū)別是：前者是隨機(jī)變量，后者為取定的數(shù)值，但為了敘述方便，今后把樣本觀察值也成為樣本.在符號(hào)上均用，，……來表示.具體表示的意義也可由上下文分析清楚，設(shè)觀測(cè)值與樣本之間滿足關(guān)系式：=(i=1,2,……,n)(2)其中?(i=1,2,……小)且相互獨(dú)立.如果兩個(gè)變量間的關(guān)系用上述線性模型描述，則它們之間存在線性相關(guān)關(guān)系由（1）有：E（Y）=我們希望根據(jù)觀測(cè)的數(shù)據(jù)，求出,的估計(jì)量，這樣就可以利用方程（3）去估計(jì)隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）.也就是說，將，代入方程（1）并略去誤差，就得到了隨機(jī)變量Y和變量x的線性關(guān)系式（3）.方程（3）通常稱為Y對(duì)x的線性回歸方程或回歸方程，其圖形稱為回歸直線.[1]對(duì)于（1）和（2）所確定的線性模型，所考慮的統(tǒng)計(jì)推斷主要問題是：未知參數(shù)和的估計(jì)：檢驗(yàn)x和Y之間的關(guān)系是否可確信是線性關(guān)系，即對(duì)假設(shè)（1）進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)Y進(jìn)行預(yù)測(cè)等．第二節(jié)多元線性模型一般來講，影響結(jié)果Y的因素往往不止一個(gè).設(shè)有，……共p個(gè)元素.這時(shí)要用圖來確定它們的關(guān)系是困難的．常可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)做出假設(shè)．其中最簡(jiǎn)單的是假設(shè)它們之間有線性關(guān)系TOC\o"1-5"\h\z……（4）式中，……都是可精確測(cè)量或可控制的一般變量，Y是可觀測(cè)的隨機(jī)變量，，，……，都是未知參數(shù)，是服從分布的不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差．我們對(duì)（4）獲得了n組相互獨(dú)立的觀測(cè)值（樣本）．（；，，……）（i=1,2,……,n）（5）于是由（4）式可知具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：i=1,2,……,n（6）其中各個(gè)（i=1,2,……?。┫嗷オ?dú)立，且均服從.這就是p元線性回歸模型.對(duì)于（4）所確定的模型．統(tǒng)計(jì)推斷的主要問題是：根據(jù)樣本去估計(jì)未知參數(shù)，，……，、，從而建立Y與，……間的數(shù)量關(guān)系式和對(duì)比得到的數(shù)量關(guān)系式的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn);檢驗(yàn)各變量，……分別對(duì)指標(biāo)是否有顯著影響．[2]第二章參數(shù)的估計(jì)第一節(jié)一元線性回歸方程參數(shù)的估計(jì)有多種確定回歸方程也就是確定未知參數(shù),的估計(jì)量，，的方法其中最常用的是“最小二乘法”．我們將采用''最小二乘法原理〃來求出,也就是求，使誤差（i=1,2,……?。┑钠椒胶蚎==（7）為最小的，值作為參數(shù),的估計(jì)量．由（7）知Q是,的二元函數(shù).即Q=Q（,）.按二元函數(shù)求極值的方法可得聯(lián)立方程組:（8）這個(gè)方程組稱為正規(guī)方程組即:（9）解此方程組.由（9）的第一式得因此的估計(jì)量為:（10）其中，將（10）式代入（9）中的第二式可解得的估計(jì)量為（11）這樣：利用（10）和（11）確定的，使平方和Q達(dá)到最小，從而求出回歸方程這里，分別表示由（10）和（11）確定的,的值并稱為經(jīng)驗(yàn)截距；為經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)，簡(jiǎn)稱為回歸系數(shù)，而是的無偏估計(jì)量.由（10）可得回歸方程的另一種形式：1212)由此可知，回歸直線通過點(diǎn)（，），即通過由館測(cè)值的平均值組成的點(diǎn)，并且回歸方程由回歸系數(shù)完全確定.一般的，把由回歸方程確定的x的對(duì)應(yīng)值稱為回歸值.根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，利用（10）和（11）來求回歸直線時(shí)，常把（11）中的分子和分母分別記為和，且按下面的公式計(jì)算：所以（10）和（11）兩式可記作：（13）（14）又有公式:==（15）然而，對(duì)總體中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其主要目的還是建立一元線性回歸方程．雖然有一個(gè)正規(guī)方程組存在實(shí)際上并不研究它．以下是建立一元線性回歸方程的具體步驟：1）計(jì)算，，，，；2）計(jì)算，，（在回歸方程作顯著性檢驗(yàn)時(shí)用）3）計(jì)算和寫出一元線性回歸方程．[3]序號(hào)116．543．5272．25189225717．75217．542．6306．253838．71814．76

745．50318．542．6342．251814．76788．10419．540．6380．251648．36791．70520．540．3420．251624．09826．15621．5462．251497．69

832．05722．537．2506．251383．84837．00823．536．0552．251296．00846．00924．534．0600．251156．00833．00184．5355．53842．25

14127．751116．16．816．87217．25從而可求得=20．5，=39．5，=60，=-70．5，-1．175，=-=63．588所求回歸方程為63．588-1．175x例2設(shè)兩個(gè)變量x與Y由某種相關(guān)關(guān)系，測(cè)得它的一組數(shù)據(jù)如下表所示，試求其回歸方程x49．250．049．349．049．049．549．849．950．250．2Y16．717．016．816．616．717．017．017．1解：根據(jù)計(jì)算得=49．61，=16．85，=24613．51，=8359．94=0．3293，=-=0．5129所以回歸方程為0．5129+0．3293x．第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)設(shè),……,Y有一組觀測(cè)值(樣本)；(,……,)(i=1,2,……n).我們希望由估計(jì)，，……，所決定出的回歸方程能使一切與之間的偏差達(dá)到最?。鶕?jù)最小二乘法的原理即：要求所以只要求偏離平方和達(dá)到最小的為書寫方便以下把“”書寫成“”根據(jù)微積分中值原理和最小二乘法估計(jì)是下列方程組的解(j=1,2,...,n)(16)經(jīng)整理即得關(guān)于的一個(gè)線性方程組………(17)此方程組(17)稱為正規(guī)方程組.借此方程組就可求得參數(shù)的回歸值為了求解方便我們將(17)是寫成矩陣的形式,令1．1．574．#63521．50

3．79

13

5697

1．54

3．9427

5999

1．59

3．7914

6618

1．2

3．6628

5815

1．7

4．09

解：先求出方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)向量，再求

=172388=6156．7143=41．84=1．4943=106．09=3．7889=1068433202=1068433202=7089539．72=63．=63．0632=256087．04=649111．28=159．4481=404．5287求，的正規(guī)方程組為7089539．72-1509=0．5423=-1509．8857=-4054．5386=0．91938857=-4054．5386-1509．8857+0．5423=0．9193解得=-0．0005181，=0．2527，==6．60112527所以Y的關(guān)于，的二元線性回歸方程為=6．6011-0．0005181+02527第四章顯著性檢驗(yàn)第一節(jié)一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)由上面的討論知，對(duì)于任何的兩個(gè)變量x和Y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（）（i=1,2,……?。┌垂剑?0）和（11）都可以確定一個(gè)回歸方程然而事前并不知道Y和x之間是否存在線性關(guān)系，如果兩個(gè)變量Y和x之間并不存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系，那么這樣確定的回歸方程顯然是毫無實(shí)際意義的．因此，我們首先要判斷Y和x是否線性相關(guān)，也就是要來檢驗(yàn)線性假設(shè)是否可信，顯然，如果Y和x之間無線性關(guān)系，則線性模型的一次項(xiàng)系數(shù)=0；否則0．所以檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，歸根到底是要檢驗(yàn)假設(shè)根據(jù)現(xiàn)行假設(shè)對(duì)數(shù)據(jù)所提的要求可知，觀察值，，……之間的差異，是有兩個(gè)方面的原因引起的：（1）自變量x的值不相同;（2）其它因素的影響，檢驗(yàn)是否成立的問題，也就是檢驗(yàn)這兩方面的影響哪一個(gè)是主要的問題.因此，就必須把他們引起的差異從Y的總的差異中分解出來．也就是說，為了選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，先導(dǎo)出離差平方和的分解因式．[6]一、離差平方和的分解公式觀察值（i=1,2,……?。?，與其平均值的離差平方和，稱為總的離差平方和，記作因?yàn)槠渲校?2=2=2=2所以由于中的，為（10）和（11）所確定．即它們滿足正規(guī)方程組（9）的解．因此定義項(xiàng)于是得到了總離差平方和的分解公式：其中（19）是回歸直線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并且的平均值為，是這n個(gè)數(shù)的偏差平方和，它描述了的離散程度，還說明它是來源于的分散性，并且是通過x對(duì)于Y的線性影響而反映出來的，所以，稱為回歸平方和而=它正是前面討論的的最小值，在假設(shè)（1）式的條件下它是由不可觀察的隨機(jī)變量引起的，也就是說，它是由其它未控制的因素及試驗(yàn)誤差引起的，它的大小反映了其它因素以及試驗(yàn)誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得影響．我們稱為剩余平方和或殘差平方和．[7]二、、的性質(zhì)及其分布由以上分析可知，要解決判斷Y和x之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系的問題，需要通過比較回歸平方和和剩余平方和來實(shí)現(xiàn)．為了更清楚地說明這一點(diǎn)，并尋求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，考察估計(jì)量，的性質(zhì)及其分布．（一）的分布由（14）式可知在相互獨(dú)立且服從同一分布的假定下由（2）知，，……是P個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且（i=1,2,……，n）所以他們的平均值的數(shù)學(xué)期望為：因?yàn)槭堑木€性函數(shù)，且有：這說明是的無偏估計(jì)量且的方差為所以即:同樣可證，對(duì)于任意給定的其對(duì)應(yīng)的回歸值（它是的點(diǎn)估計(jì)）適合（（二）方差的估計(jì)及分布因?yàn)橛?、及可得又由于及E（L）,E（U）得=E（L）+E（U）=（n-2）從而,說明了==是的無偏估計(jì)量,由此可見,不論假設(shè)成立與否,是的一個(gè)無偏估計(jì)量,而僅當(dāng)假設(shè)成立時(shí),才是的一個(gè)無偏估計(jì)量,否則它的期望值大于．說明比值（20）在假設(shè)成立時(shí)有偏大傾向，也就是說，如果F取得值相當(dāng)大，則沒有理由認(rèn)為x和Y之間有線性相關(guān)關(guān)系，也就是下面我們將采用F作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的原因?另外，由于，是的最小二乘估計(jì)，由（8）式可知=0，=0這表明中的n個(gè)變量，……之間有兩個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，故的自由度為n-2因此[8]三、F檢驗(yàn)由以上討論可知，當(dāng)成立時(shí)；且二者相互獨(dú)立，由此可得因此可用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量F作為檢驗(yàn)假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.對(duì)給定的顯著性水平，查自由度為（1,n-2）的F分布的臨值表，得臨界值，如果由實(shí)際觀察值計(jì)算所得的F＞則否定假設(shè)，即認(rèn)為x,Y之間線性相關(guān)關(guān)系顯著.否則不能否定，而認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系不顯著．2121)77這種采用F檢驗(yàn)法來對(duì)回歸方程來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法稱為方差分析.在F檢驗(yàn)中，，的計(jì)算公式如下其中=例4對(duì)例1進(jìn)行線性關(guān)系顯著性檢驗(yàn)．解：n=9=-1.175x(-70.5)=82.84==85．50-81．84=2．66具體檢驗(yàn)在如下的方差分析表上進(jìn)行方差來源平方和自由度平均平方和F值回歸82.84182.84218.00剩余2.660.38總和85．488查下表對(duì)=0．01，今說明線性關(guān)系極顯著，即回歸方程是有意義的．[9]例5某種物質(zhì)在不同的溫度下可以吸附另一種物質(zhì)，如果溫度X（單位：。C）與吸附重量Y（單位：mg）的觀測(cè)值如下表所示：溫度1．51．82．43．03．53．94．44．85．0重量4．85．77．08．3

試求其回歸方程并作顯著性檢驗(yàn)．解：根據(jù)上述觀測(cè)值得到n=9=30．3=91．1110．912．4試求其回歸方程并作顯著性檢驗(yàn)．解：根據(jù)上述觀測(cè)值得到n=9=30．3=91．1110．912．413．113．615．3=115．11=345．09=1036．65=13．100=38．387=114．516=3．367=10．122==2．9303=0．2569所求線性回歸方程為=0．2569+2．9303x因?yàn)?114．516=112．485所以==2．031由n-2=7=12．2=387．69F>12．2所以回歸方程極顯著第二節(jié)多元線性回歸方程的相關(guān)性檢驗(yàn)由于的無偏估計(jì)量為將總的離差平方和進(jìn)行分解可得到+其中這里叫做殘差平方和，其自由度為n,叫做回歸平方和，自由度為n-p-1.檢驗(yàn)假設(shè)是否成立在成立時(shí)因此可利用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)線性相關(guān)關(guān)系的顯著性如果F〉，則可認(rèn)為與，……之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著；如果則可以認(rèn)為與，……之間的線性相關(guān)關(guān)系特別顯著．否則可認(rèn)為與，……之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，所建立的線性回歸方程是不顯著的．例6對(duì)例1的回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)．解：經(jīng)過計(jì)算得=23510，==4734．6=248284〉（2，10）=7．56所以所求二元線性回歸方程線性極其顯著．[10]第五章利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)若線性回歸方程作顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果是拒絕，也就是拒絕回歸系數(shù)=0的假設(shè)，便可以利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)．這是人們關(guān)注線性回歸的主要原因之一．（1）當(dāng)x=時(shí)用預(yù)測(cè)的觀測(cè)值稱為點(diǎn)預(yù)測(cè)，根據(jù)得的觀測(cè)值的點(diǎn)預(yù)測(cè)是無偏的（2）當(dāng)x=時(shí)用適合不等式的統(tǒng)計(jì)量G和H所確定的隨機(jī)區(qū)間預(yù)測(cè)的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測(cè)，而稱為的預(yù)測(cè)區(qū)間若與樣本的各相互獨(dú)立，則根據(jù)服從正態(tài)分布，，Z與Q相互獨(dú)立可以導(dǎo)出因此的預(yù)測(cè)區(qū)間為與一元線性回歸一樣，當(dāng)給定時(shí)，可求出相應(yīng)的的點(diǎn)估計(jì)．亦可求出區(qū)間估計(jì)，還可以給出相應(yīng)的的預(yù)測(cè)區(qū)間．[11]影響預(yù)測(cè)精度的主要因素有：1），但是不可改變的．一般的，越小精度越高．9-19-12）n，n越大精度越高．因此，要盡量擴(kuò)大樣本容量．（3）自變量取值不要太集中；預(yù)測(cè)點(diǎn)離越近精度越高．例7一些夏季害蟲的盛發(fā)期與春季溫度有關(guān)，現(xiàn)有1956-1964年間3月下旬至4月中旬平均溫度的累計(jì)數(shù)x和一代三螟蛾盛發(fā)期匕（以5月10日為0）的觀測(cè)值如下：溫度35．534．131．740．336．840．231．739．244．2盛發(fā)期12．16927313試求線性回歸方程并進(jìn)行F檢驗(yàn)；若=40，求的0.95預(yù)測(cè)區(qū)間解：根據(jù)上述觀測(cè)值得到的n=9=333.7=70=12517.49=2436.4=794=144.6356=-159.0444=149.5556=37.077=7.7778==-1.0996=4835493所以所求的線性回歸方程為=48.5-1.1x當(dāng)=40時(shí)=4.56，=8.36，所以的0.95預(yù)測(cè)區(qū)間為（-3.80，12.92）檢驗(yàn)說明當(dāng)3月下旬至4月下旬平均溫度的累計(jì)數(shù)為40時(shí)，應(yīng)該預(yù)測(cè)一代螟蛾盛發(fā)期為5月6日——5月23日之間，并且預(yù)測(cè)100次將有95次是正確的.例8下表列出在不同掛重x下，彈簧長(zhǎng)度y的測(cè)量值，設(shè)測(cè)量值y對(duì)給定的x服從正態(tài)分布.掛物的重量（牛）50100150200250300彈簧的長(zhǎng)度（厘米）25128.959.9010．9

11．8求線形回歸法方程；(2)檢驗(yàn)假設(shè)；若回歸效果顯著，求b的置信度為95%的置信區(qū)間；求在x=160(牛)時(shí)，y的置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間.解：(1)=175,=227500,=9.4867=554.6594n=6,=10762=27500-6x=43750=10762-6x175x9.4