懸索橋主纜在活載下的變形和力學(xué)分析

懸索橋主纜在活載下的變形和力學(xué)分析

在大傾角懸索橋中，主航道、主航道和塔柱是第一個(gè)承載體，動(dòng)力梁和懸索是第二個(gè)承載體。在抵抗結(jié)構(gòu)豎向變形的剛度貢獻(xiàn)上,主纜的重力剛度遠(yuǎn)大于加勁梁的抗彎剛度,因而,主纜的力學(xué)特性主要地決定著全橋的結(jié)構(gòu)行為。所謂重力剛度是指大跨徑懸索橋由于自身恒載比活載大很多,在巨大的均布恒載作用下,柔性主纜可以維持穩(wěn)定的線形,且具有進(jìn)一步抵抗豎向活載變形的剛度。從圖1所示的懸掛纜索來(lái)看,在均布恒載q下的線形是拋物線,即曲線①;其后,作用集中活載P(qL>>P)形成曲線③;相較于無(wú)恒載懸索上僅作用P時(shí)的曲線②,曲線③的變形要小的多,也即是懸索在恒載下獲得了保證穩(wěn)定線形的重力剛度。為研究纜索在豎向活載作用下的變形和內(nèi)力,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在解析法和數(shù)值法上進(jìn)行了研究[1―9]。在解析法中,一般都引入重力剛度這一概念[4―5],由撓度理論出發(fā)通過(guò)纜索的荷載平衡方程(包括彎矩或剪力平衡微分方程)及變形協(xié)調(diào)條件(本質(zhì)是懸索橋主纜變形前后的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)不變),求解懸索的豎向位移以及水平拉力增量。這類方法在求解非線性微分方程時(shí)不得不采用線性化的假設(shè),從而影響了求解精度。還有一些學(xué)者通過(guò)索纜線形與簡(jiǎn)支梁彎矩圖的比擬以及無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)不變的關(guān)系,推導(dǎo)了纜索在活載下的變形和內(nèi)力,雖然沒(méi)有提到重力剛度,但在客觀上計(jì)入了這一效應(yīng)。此外,O’Brien于1964年提出了平面懸索的數(shù)值法精確解,也為現(xiàn)代懸索橋的計(jì)算提供了有力手段[4,10―11]。能量法是分析懸索在外荷載下變位的另一種方法。關(guān)于纜索在荷載作用下的能量關(guān)系,Pugsley曾將能量方程作為荷載平衡條件的方程,并忽略索的彈性伸長(zhǎng)給出變形協(xié)調(diào)條件,但僅提出思路,并未給出計(jì)算結(jié)果。之后MaxIrvine在能量方程中考慮了索的彈性應(yīng)變能,但也未給出計(jì)算公式。本文利用索纜線形與簡(jiǎn)支梁彎矩圖的比擬關(guān)系,得到含有未知纜索內(nèi)力的豎向位移表達(dá)式,再以能量方程作為補(bǔ)充條件,這樣就可以推導(dǎo)出懸索在活載下的豎向位移、纜索內(nèi)力的水平分量和重力剛度的解析公式。1索、簡(jiǎn)支梁之間的及其平衡微分方程懸索橋的主纜在恒載下承受巨大的拉力,忽略索的抗彎剛度以及纜索中任一點(diǎn)的水平位移。當(dāng)主纜受到豎向分布荷載時(shí),其平衡微分方程為:式中:H為纜索的水平分量;y(x)為纜索線形;q(x)為豎向分布荷載的大小。與此類比,簡(jiǎn)支梁在豎向荷載下微分方程為:式中M(x)為等跨簡(jiǎn)支梁的彎矩。觀察式(1)和式(2),索和簡(jiǎn)支梁的平衡微分方程具有可比擬的形式,在數(shù)學(xué)上,H?y(x)與M(x)對(duì)應(yīng)。因此,在兩者邊界條件相同時(shí),下述對(duì)應(yīng)關(guān)系即成立。于是懸索在豎向荷載作用下的線形可以通過(guò)該類比的方法進(jìn)行計(jì)算,先計(jì)算同等跨徑簡(jiǎn)支梁在相同豎向荷載下的彎矩圖,再將彎矩圖每一點(diǎn)的值除以水平分力H即可求得懸索線形(見(jiàn)圖2)。2主纜彎矩的計(jì)算在成橋狀態(tài),主纜在全跨范圍內(nèi)作用有均布恒載q,考察在任意點(diǎn)C作用有豎向活載集中力P的情況。在均布恒載q下,主纜水平分力為Hq;而在q和P同時(shí)作用下,主纜水平分力為H=Hq+HP,HP為集中荷載下,主纜水平力的增量。首先計(jì)算與懸索同等跨徑的簡(jiǎn)支梁在相同豎向荷載作用下的彎矩圖(如圖4)。恒載q在簡(jiǎn)支梁上的彎矩:活載P在簡(jiǎn)支梁上的彎矩:將式(5)代入式(4),得到均布恒載下纜索線形:將式(5)加上式(6),再代入式(4),得到集中活載作用后纜索的線形:式(8)減去式(7),得纜索在集中荷載作用下豎向撓度增量:3集中荷載作用下的撓度對(duì)于能量封閉體系,能量守恒表現(xiàn)為外力功等于內(nèi)力功。這里,內(nèi)力功為結(jié)構(gòu)自身所貯存的應(yīng)變能,外力功為外荷載所做的功。在已承受均布荷載q的主纜上,新增集中活載P,考慮到在實(shí)際懸索橋中,活載P相比恒載ql總是很小,所以,可以假定荷載P與位移vc呈線性關(guān)系。于是,整個(gè)外力做功之和為:式中:v通過(guò)式(9)分段代入;vc為集中活載作用點(diǎn)的撓度增量。對(duì)索纜,其內(nèi)力功為結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)的軸向應(yīng)變能的改變量。由于主纜的軸向剛度很大,在懸索橋常規(guī)活載的量級(jí)下,可以假定主纜是不可伸長(zhǎng)的,即主纜只有形狀的改變,軸向應(yīng)變能U沒(méi)有變化。這樣:結(jié)合式(11),由式(10)可得:式(12)的物理意義為:活載P所作的功存儲(chǔ)為索結(jié)構(gòu)的重力勢(shì)能,也即是活載P提升了恒載下索的重心。將式(9)代入式(12),通過(guò)求解,得拉索水平力增量HP:式中:λ=P/qL是活載與恒載的比;β=xc/L和為活載P作用點(diǎn)位置的無(wú)量綱參數(shù)。另外由式(9)可知,活載P作用點(diǎn)C的豎向位移為:將式(13)代入式(14),經(jīng)化簡(jiǎn)可得:對(duì)照簡(jiǎn)支梁在跨中集中荷載P作用下的撓度公式:將式(15)改寫成:式(17)中C為與活載作用位置相關(guān)的參數(shù),而相當(dāng)于式(16)分母中梁的抗彎剛度EI。在此令:式(18)即為懸索橋的重力剛度。4解析計(jì)算公式活載下的主纜內(nèi)力增量和豎向撓度變化是懸索橋靜力行為的主要指標(biāo)之一,國(guó)內(nèi)外學(xué)者經(jīng)過(guò)研究,得到一些解析公式或數(shù)值計(jì)算方法。主要的一些解析計(jì)算公式列于表1,為了方便分析對(duì)比,筆者采用統(tǒng)一參數(shù)重寫了一些原文中的公式。數(shù)值計(jì)算方法,一般將整段索離散成多段懸索,利用各索段節(jié)點(diǎn)處力的平衡條件,索長(zhǎng)及其它幾何關(guān)系來(lái)處理懸索問(wèn)題的一類方法,由于數(shù)值方法可以考慮拉索在豎向集中力下的彈性變形以及各點(diǎn)的水平位移,故可近似認(rèn)為,數(shù)值方法得到的豎向撓度是真實(shí)解。5數(shù)值解的解析為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的拉索水平力增量計(jì)算公式(13)及豎向位移公式(15)的精確性,下面通過(guò)算例,對(duì)比各解析公式以及數(shù)值解的計(jì)算結(jié)果。設(shè)有某主纜跨度L=1000m,矢高f=100m,水平荷載集度q=5kN/m,彈性模量E=2×105MPa,面積A=0.2m2。計(jì)算集中荷載P作用于跨中、1/4跨及1/8跨三個(gè)典型位置下荷載-豎向位移關(guān)系及荷載-水平力增量關(guān)系曲線。1中心負(fù)荷用于中間21.4組合的集中負(fù)荷功能3活荷載基本法從以上計(jì)算結(jié)果可見(jiàn),在活載、恒載比P/ql≤0.2的情況下,纜索有如下基本特性:1)豎向位移與活載呈非線性關(guān)系,豎向位移的增量隨著活載的增大而減小(圖5、圖7及圖9)。懸索水平拉力增量與活載基本呈線性關(guān)系(圖6、圖8及圖10)。2)對(duì)于豎向位移,當(dāng)荷載作用于跨中時(shí),本文公式計(jì)算的結(jié)果與數(shù)值解最接近,誤差小于1%,且誤差與荷載大小基本無(wú)關(guān)。文獻(xiàn)公式的結(jié)果次之。按文獻(xiàn)及文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果隨著活荷載增加,誤差越大,當(dāng)P/ql=0.2時(shí)分別達(dá)到了17.5%及15.3%(見(jiàn)表2);當(dāng)荷載作用于1/4跨以及1/8跨時(shí),所有公式的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值解均有一定偏差,原因是計(jì)算公式都忽略了索中各點(diǎn)的水平位移,相比較而言本文公式仍具有最好的精度(表4及表6)。3)對(duì)于水平拉力增量,在跨中和1/4跨處本文公式計(jì)算的結(jié)果與數(shù)值解最為接近(表3、表5),在1/8跨處稍有偏差(表7)。6活載與恒載比之比較(1)本文推導(dǎo)了豎向集中力下纜索內(nèi)力及豎向位移的解析計(jì)算公式,即式(13)和式(15);同時(shí),還給出了新的懸索橋重力剛度表達(dá)式,即式(18)。在活載與恒載之比小于0.2時(shí),比較現(xiàn)有其它計(jì)算公式[3―5],本文公