八年級數(shù)學(xué)幾何重難點知識及數(shù)學(xué)方法：專題04 全等三角形重難點知識（解析版）

專題04全等三角形重難點知識知識清單全等形能夠完全重合的圖形.全等三角形能夠完全重合的三角形.全等于（符號≌）全等三角形形式1.平移類△ABC≌△DEF（結(jié)論：BE=CF，AC∥DF，AB∥DE）2.折疊類△ABC≌△DBC（結(jié)論：AD⊥BC），其中BC為公共邊.3.旋轉(zhuǎn)類△ABC≌△AED（結(jié)論：∠EAB=∠CAD）△ABC≌△AED（結(jié)論：∠EAB=∠CAD，∠B=∠E，∠EAB=∠EDB，∠C=∠ADC，AC=AD）4.綜合類△ABC≌△EAD（結(jié)論：CD=BC+DE，∠EAB=90°）易錯點全等三角形面積必相等，但面積相等的三角形未必全等；典例解析【知識點1：基本概念】例1．（2021·河南郟縣期末）下列說法：（1）周長相等的兩個三角形是全等三角形；（2）周長相等的兩個圓是全等圖形；（3）如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的面積相等；（4）所有的正方形是全等圖形；（5）在中，當(dāng)時，這個三角形是直角三角形．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B.【解析】解：（1）周長相等的兩個三角形不一定是全等三角形，故（1）錯誤；（2）周長相等的兩個圓是全等圖形，故（2）正確；（3）如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的面積相等，故（3）正確；（4）所有的正方形是相似圖形，故（4）錯誤；（5）∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＋∠C＋∠C＝180°∴∠C＝°≠90°，∴這個三角形不是直角三角形，故（5）錯誤，故答案為：B．例2．下列說法中不正確的是（）A．有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等D．面積相等的兩個直角三角形全等【答案】D.【解析】面積相等的兩個直角三角形未必全等，D選項描述不正確；故答案為：D．【知識點2：全等性質(zhì)】例3-1．（2021·山東樂陵市期中）如圖，沿直角邊所在的直線向右平移得到，下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】解：A、Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，則成立，正確；B、△DEF為直角三角形，則∠DEF=90°成立，正確；C、BE=CE不能成立，故錯誤；D、∠D=∠A為對應(yīng)角，正確；故答案為：C．例3-2．（2020·山東省昌樂月考）如圖，點D，E在BC上，且ABE≌ACD，對于結(jié)論：①AB=AC，②∠BAD=∠CAE，③BE=CD，④AD=DE，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】解：∵△ABE≌△ACD，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=CD，AD=AC，∵∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，即①②③正確，故答案為：C．【變式3-1】（2021·廣西環(huán)江毛南族自治縣期末）如圖，已知，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正確的有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C.【解析】解：①∵，∴AC=BD故①正確；②∵AC=BD，∴，即：AB=CD，故②正確；③∵，∴；∴即：，故③正確；④∵∴；∴，故④正確；⑤∵∴，故⑤正確；⑥錯誤；⑦∵∴；∴CF∥BE，故⑦正確；故①②③④⑤⑦，正確的6個．故答案為：C．【變式3-2】（2021·河南伊川縣期末）如圖，點A、B、C、D在同一直線上，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2．（1）求AC的長；（2）求證：CE∥BF，AE∥DF．【答案】（1）5；（2）見解析.【解析】解：（1）∵△ACE≌△DBF，∴CA=BD∵AC+BD=AD+BC∴2AC=AD+BC∵AD=8，BC=2∴AC=5（2）∵△ACE≌△DBF∴∠ECA=∠FBD，∠A=∠D∴CE∥FB，AE∥DF．例3-3．（2020·富順期中）如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置AB＝10，DO＝4，平移距離為5，則陰影部分（即四邊形DOCF）面積為__________．【答案】40.【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC=S△DEF，DE=AB=10，∴S△ABC-S△OEC=S△DEF-S△OEC，OE=DE-DO=6，∴S四邊形DOCF=S梯形ABEO=×（6+10）×5=40，故答案為：40．【變式3-3】（2021·黑龍江撫遠(yuǎn)市期末）如圖，將三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，AD＝CH＝2，EF＝4，下列結(jié)論：①BH∥EF；②AD＝BE；③∠A＝∠EDF；④∠C＝∠BHD；⑤陰影部分的面積為6．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【答案】A.【解析】解：∵將△ABC沿AB方向平移得到△DEF，AD＝CH＝2，EF＝4，∴BC∥EF，AB＝DE，∴BH∥EF，①正確；∴AB﹣DB＝DE﹣DB，∴AD＝BE，②正確；③∵將三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠EDF，③正確；∵BH∥EF，∴∠BHD＝∠F，由平移性質(zhì)可得：∠C＝∠F，∴∠C＝∠BHD，④正確；∵陰影部分的面積＝△ABC的面積﹣△DBH的面積＝6．⑤正確；故答案為：A．例3-4.（2020·玉山縣期中）（1）如圖，，，，求的長；(2)如圖，在中，是邊上的高，點是上一點，交于點，且，求證：是直角三角形．【答案】（1）5；（2）見解析.【解析】（1）解：∵△ACF≌△ADE，∴AE=AF，AD=AC，∴AD-AF=AD-AE，∴DF=AD-AF=AD-AE=5；（2）∵AD是BC邊上的高，

∴∠ADC=90°，

∵∠DCM=∠MAE，∠CMD=∠AME，

∴∠AEC=∠ADC=90°，

∴△ACE是直角三角形．【變式3-4】如圖，點，，在同一直線上，點在上，且（1）求證：AC⊥BD；（2）判斷直線AD與直線CE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析.【解析】（1）證明：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC．又A，B，C在同一條直線上，∴∠EBC=∠EBA=90°，即AC⊥BD．（2）直線AD與直線CE垂直．理由：延長CE交AD于F，如圖所示，∵△ABD≌△EBC，∴∠D=∠C．在Rt△ABD中，∠A+∠D=90°，則，∴∠AFC=90°，即AD⊥CE．【變式3-5】（2019·河南省開封期中）如圖，把三角形紙片沿折疊，點落在四邊形內(nèi)部點處，（1）寫出圖中一對全等的三角形，井寫出它們的所有對應(yīng)角．（2）設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為，那么的度數(shù)分別是多少(用含或的式子表示)？（3）與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請找出這個規(guī)律，并說明理由．【答案】（1）△AED≌A’ED，∠A和∠A’，∠AED和∠A’ED，∠ADE=∠A’DE；（2）∠1=180°—2x°，∠2=180°—2y°；（3）2∠A=∠1+∠2.【解析】解：（1）由折疊的性質(zhì)得出△ADE≌△A′DE，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠A=∠A′，

（2）∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，

∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠ADE，

∵∠AED=x，∠ADE=y，

∴∠1=180°-2∠AED=180°-2x，∠2=180°-2∠ADE=180°-2y，

（3）∵∠A′+∠A′DE+∠A′ED=180°，

∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A′，

∵∠A=∠A′，

∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A，

∵∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED

∴∠ADE+∠AED=180°-∠A，

∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，

∴2（∠AED+∠ADE）=360°-∠1-∠2，

∴∠AED+∠ADE=180°-（∠1+∠2），

∴∠A=（∠1+∠2），

∴2∠A=∠1+∠2．【知識點3：利用全等性質(zhì)求角度、線段長度等】例4-1．（2021·重慶巴南區(qū)月考）已知△ABC的三邊的長分別為3，5，7，△DEF的三邊的長分別為3，7，2x﹣1，若這兩個三角形全等，則x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5【答案】A.【解析】解：∵這兩個三角形全等，∴2x﹣1＝5，解得，x＝3，故答案為：A．例4-2．（2020·武漢市月考）已知，，，若要使的周長是奇數(shù)，則為（）A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】D.【解析】解：設(shè)三角形ABC的第三邊長為x，則2＜x＜6，∵△DEF的周長是奇數(shù)，∴第三邊為奇數(shù)，∴x=3或x=5，故答案為：D．例4-3．（2020·山西期中）如圖，，，，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】解：∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=5，BC=BD=12，∴CE=BC-BE=12-5=7cm，故答案為：B.【變式4-1】（2020·沭陽縣月考）已知△ABC≌△DEF，AB=2，AC=3，若△DEF周長為偶數(shù)，則EF的取值為（）A．2或3或4 B．4 C．3 D．2【答案】C.【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=2，DF=AC=3，BC=EF，∴3-2＜BC＜3+2，即1＜BC＜5．若周長為偶數(shù)，BC要取奇數(shù)，故BC=3．EF=3．故答案為：C．【變式4-2】（2020·江蘇建湖縣月考）一個三角形的三邊為2、5、x+2y，另一個三角形的三邊為2x+y、2、4，若這兩個三角形全等，則x+y＝_____．【答案】3.【解析】解：∵兩個三角形全等，∴x+2y=4，2x+y=5，∴x+y=3．故答案為：3．【變式4-3】（2021·汕頭市期末）一個三角形的三邊為3、5、，另一個三角形的三邊為、3、6，若這兩個三角形全等，則x-y=__________．【答案】1.【解析】解：∵兩個三角形全等，

∴x=6，y=5，

∴x-y=6-5=1，

故答案為：1．【變式4-4】（2021·山東張店期末）如圖，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的長是（）A．6cm B．5cm C．7cm D．無法確定【答案】C.【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC=DE，∵BC＝7cm，∴DE=7；故答案為：C．例5-1.在中，，與全等的三角形有一個角是，那么在中與這角對應(yīng)相等的角是（）A． B． C． D．或【答案】A.【解析】解：在△ABC中，三角形的內(nèi)角和等于180°，∵∠B=∠C，∴∠B、∠C不能等于100°，∴在△ABC中與這個100°的角對應(yīng)相等的角只能是∠A．故答案為：A．【變式5-1】（2021·安徽桐城市月考）如圖，已知，平分，若，，則的度數(shù)是（）A．50° B．44° C．34° D．30°【答案】C.【解析】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故答案為：C．【變式5-2】（2020·江西省宜春期中）如圖，，點，，在同一直線上，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】解：∵，∴，，∴,∴，故答案為：C．【變式5-3】（2021·浙江奉化區(qū)期末）已知圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C.【解析】解：如圖，

∵兩三角形全等，

∴∠2=60°，∠1=52°，

∴∠α=180°-50°-60°=70°，

故答案為：C．【變式5-4】（2021·山東萊州期末）三個全等三角形按如圖的形式擺放，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)等于_______．【答案】180°.【解析】解：如圖所示：由圖形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，∵三個三角形全等，∴∠4+∠9+∠6＝180°，又∵∠5+∠7+∠8＝180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3的度數(shù)是180°．故答案為：180°．【變式5-5】（2021·江蘇泰興期末）如圖，在由6個相同的小正方形拼成的網(wǎng)格中，＝_____°．【答案】45.【解析】解：如圖所示：則AB=AC，∠1=∠CAE=∠ACF，∵∠CAE+∠DAC=90°，∴∠1+∠DAC=∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°故答案為：45．【變式5-6】（2020·遼寧連山期中）如圖，已知，、相交于點F，則的度數(shù)是________度．【答案】20.【解析】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE=×（100°-60°）=20°，

∵∠B=∠D，∠BGA=∠DGF，

∴∠DFB=∠BAD=20°，

故答案為：20．例6-1．如圖，，點B和點C是對應(yīng)頂點，，記，當(dāng)時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】解：∵，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，整理得，故答案為：B．【變式6-1】如圖，銳角△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′DEB′BC，BE、CD交于點F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，則（）A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．α+β＝15