第5講 二項(xiàng)分布高分套路(解析版)

#*個(gè)數(shù)475040301?20100號(hào)碼1*個(gè)數(shù)475040301?20100號(hào)碼123467號(hào)號(hào)—號(hào)E__i號(hào)號(hào)號(hào)（I）用該實(shí)驗(yàn)來估測(cè)小球落入4號(hào)容器的概率，若估測(cè)結(jié)果的誤差小，則稱該實(shí)驗(yàn)是成功的?試問：_=—巴譬x100%該興趣小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)是否成功？（誤差理粧值）（II）再取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望（計(jì)算時(shí)采用概率的理論值）【答案】（I）是成功的；（II）詳見解析.【解析】（I）小球落入4號(hào)容器的概率的理論值.60_3小球落入4號(hào)容器的概率的估測(cè)值誤差101-y16x10G%=4%<5%，故該實(shí)驗(yàn)是成功的.（II）由（I）可得，每個(gè)小球落入誤差101-y16x10G%=4%<5%，故該實(shí)驗(yàn)是成功的.（II）由（I）可得，每個(gè)小球落入4號(hào)容器的概率，未落入4號(hào)容器的概率.的分布列為X0123P133140961B15409682540961254096由，所2．某市交通管理部門為了解市民對(duì)機(jī)動(dòng)車“單雙號(hào)限行”的態(tài)度，隨機(jī)采訪了100名市民，將他們的意見和是否擁有私家車的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到了如下的―「列聯(lián)表：贊同限行不贊同限行合計(jì)沒有私家車15有私家車45合計(jì)1003已知在被采訪的100人中隨機(jī)抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率I（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“對(duì)限行的態(tài)度與是否擁有私家車有關(guān)”；（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率現(xiàn)在從該市大量市民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名市民，抽取3次，記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數(shù)為若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，擁分布列、期；?和方

2_n(ad-be)~附：參考公式：其’-■'■'-■'-■■=-，!臨界值表：P(K2>k)0.150.100.050.0250.100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解析】(1)因?yàn)樵诒徊稍L的10°人中隨機(jī)抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率，所以“贊同限行”的市民共75人，其中沒有私家車的30人，從而，所給列聯(lián)表補(bǔ)充如下：贊同限行不贊同限行合計(jì)沒有私家車301545有私家車451055合計(jì)7525100依據(jù)表中數(shù)據(jù)，易得的觀測(cè)值為7Sx7Sx25x45x55因此，在犯錯(cuò)誤概率不超過0.10的前提下，能夠判斷市民“對(duì)限行的態(tài)度與是否擁有私家車有關(guān)”X012X0123P]9272764646464所的分布列為考向三超幾何分布與二項(xiàng)分布區(qū)分【例3】某地區(qū)為調(diào)查新生嬰兒健康狀況，隨機(jī)抽取6名8個(gè)月齡嬰兒稱量體重(單位：千克)，稱量結(jié)果分別為6，8，9，9，9.5，10.已知8個(gè)月齡嬰兒體重超過7.2千克，不超過9.8千克為“標(biāo)準(zhǔn)體重”，否則為“不標(biāo)準(zhǔn)體重”.(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體思想，將頻率視為概率，若從該地區(qū)全部8個(gè)月齡嬰兒中任取3名進(jìn)行稱重，則至少有2名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率是多少？(2)從抽取的6名嬰兒中，隨機(jī)選取4名，設(shè)X表示抽到的“標(biāo)準(zhǔn)體重”人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.答案】(1)P(A)=答案】(1)P(A)=2027(2)見解析42【解析】(1)抽取的6名嬰兒中“標(biāo)準(zhǔn)體重”的頻率為_=_632故從該地區(qū)中任取1名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率為：-設(shè)“在該地區(qū)8個(gè)月齡嬰兒中任取3名，至少2名為‘標(biāo)準(zhǔn)體重'”為事件A則：P(則：P(A)=C2（2）由題意知，X的可能取值為2,3,4???P(C2C2X=2)=分???P(C2C2X=2)=分X=3)=￡C3C415C415P(X=4)丄C4156X234P28151515???X的分布列為:28I8-???E(X)=2x_+3x_+4x_=_515153舉一反三】1．某種水果按照果徑大小可分為四類:標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品.某果采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020（1）若將頻率是為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參.考方案1:不分類賣出，單價(jià)為20元/kg.方案2:分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下:

等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)（元/kg）16182224從采購單的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.96【答案】Q）;（2）第一種方案；（3）詳見解析625【解析】（1）設(shè)從100個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的事件為A，則p（a）=2°=L1005現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為X，則X?BB4,1'5恰好抽到2個(gè)禮品果的概率為：I2恰好抽到2個(gè)禮品果的概率為：I2)96625（2）設(shè)方案2的單價(jià)為J則單價(jià)的期望值為:E(3=16X】+18x3+22x4+24x2-16+54+88+48-2061010101010E(g)>20?°?從米購商的角度考慮，應(yīng)該米用第一種方案（3）用分層抽樣的方法從100個(gè)水果中抽取10個(gè)，則其中精品果4個(gè)，非精品果6個(gè)現(xiàn)從中抽取3個(gè)，則精品果的數(shù)量X服從超幾何分布，所有可能的取值為：0，1，2,3則P(X=0)=C63=；1p(X=1)=F=C；CP(X_=2)FC1C2=?；P(X=3)C4=1C3610C32C310C330101010

X01X0123P1131621030???X的分布列如下:???E(X)=Ox]+lx1+2x]+3x1=66210305某機(jī)構(gòu)對(duì)A市居民手機(jī)內(nèi)安裝的'APP”(英文Application的縮寫，一般指手機(jī)軟件的個(gè)數(shù)和用途進(jìn)行調(diào)研，在使用智能手機(jī)的居民中隨機(jī)抽取了00人，獲得了他們手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)，整理得到如圖所示頻率分布直方圖:從A市隨機(jī)抽取一名使用智能手機(jī)的居民，試估計(jì)該居民手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于30的概率;從A市隨機(jī)抽取3名使用智能手機(jī)的居民進(jìn)一步做調(diào)研，用表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)在[20,40的)人數(shù)．①求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;②用Y表示這3人中安裝APP個(gè)數(shù)低于20的人數(shù)，用Y表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于40的人12數(shù)?試比較應(yīng)和應(yīng)的大小.(只需寫出結(jié)論)12【答案】(I)0.48；(II)①詳見解析；②?【解析】(I)工二n匸―；；一；-fm「.心Hi譏i丫工:二；得■:-=r.；!2r從市隨機(jī)抽取一名使用智能手機(jī)的居民，該居民手機(jī)內(nèi)安裝“APP”的數(shù)量不低于30的概率估計(jì)為P=(0.025+0.018+0.A04+0.001)乂10=0.48

(II)①市隨機(jī)抽取一名使用智能手機(jī)的居民，該居民手機(jī)內(nèi)安裝“APP”的數(shù)量在?①:的概率估計(jì)："=：'：-■：，???■-I"■1所有的可能取值為0,1,2，3,貝y).所的分布列為X0123P13316888所的數(shù)學(xué)期望為考向四二項(xiàng)分布求最值【例4】.一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端某種植戶對(duì)一塊地的1；個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均「，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，貝不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否貝要補(bǔ)播種.當(dāng);;取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？當(dāng)'；丿時(shí)，用工表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求訕勺分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率；(2)見解析.【解析】（1）對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率i有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率所以當(dāng)或心二有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率所以當(dāng)或心二「時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率?⑵由已知，的可能取值為所的分布列為舉一反三】1.為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為戶）.階拂級(jí)別第階梯第二階梯'第三階梯月用電范圍（度）1'(0,21°](210,400]1(400,+某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用電戶編號(hào)12345678910用電量（度）538690124132200215貂5300410

（1）若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯每度0.8元，試計(jì)算居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取0戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的「值.9【答案】（1）元；（2）分布列見解析，期望；（3）.【解析】.'丨「：門」U?:.1丨；元（2）設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)，可知第二階梯電量的用戶有3戶，可取0,1,2,3,21磚爲(wèi)7篇1気120324“；40宀'40宀7気120，，，故的分布列為（3）可知從全市中抽取10（3）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿，套路運(yùn)用】1.4個(gè)高爾夫球中有3個(gè)合格、1個(gè)不合格，每次任取一個(gè)，不放回地取兩次.若第一次取到合格的高爾

夫球，則第二次取到合格高爾夫球的概率為()1234A.B.C.D.-2345【答案】B【解析】記事件A=｛第一次取到的是合格高爾夫球｝,事件B=｛第二次取到的是合格高爾夫球｝.由題意可得事件B發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(AQB)=3X2=6，事件A發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(A)=3TOC\o"1-5"\h\zn(AnB)62X3=9，所以P(B|A)=故選：Bn(A)932.小明早上步行從家到學(xué)校要經(jīng)過有紅綠燈的兩個(gè)路口，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.4在第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5，在兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率是0.2.某天早上小明在第一個(gè)路口遇到了紅燈，則他在第二個(gè)路口也遇到紅燈的概率是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】D【解析】記“小明在第一個(gè)路口遇到紅燈”為事件A，“小明在第二個(gè)路口遇到紅燈”為事件B“小明在第一個(gè)路口遇到了紅燈，在第二個(gè)路口也遇到紅燈”為事件C故選D.則P(A)二0.4,p(B)=0.5，P(AB)=故選D.TOC\o"1-5"\h\zP(BIA)=P(AB)=0.5P(A)0.41某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是;遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min，這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間Y的期望為()B.1D.

B.1D.【答案】D【解析】由題可得，遇到紅燈的次服從二項(xiàng)分布所4所以因遇到紅燈停留的總時(shí)間Y的期望所4所以因遇到紅燈停留的總時(shí)間Y的期望故選：D4．某次考試共有12個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題的分值為5分，每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選擇項(xiàng)都沒有把握，最后選擇題的得分為分，學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，對(duì)其它三個(gè)選項(xiàng)都沒有把握，選擇題的得分為分，則「「的值為（）125A.二3SB.丄：125A.二3SB.丄：2723C.?D.【答案】A嚴(yán)I139【解析】設(shè)學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為，則得分「二％?（分，，所以9225/1\17flL—.，同理設(shè)學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為，可—鞏吃肩，，所以R2002002薛125，所?故選A.5.從1,2,3,4,5,6，中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A=“取到的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=”取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P（BIA）二』.1【答案】一2【解析】依題意，事件A所包含的基本事件為13,15,24,26,35,46共六種，而事件AB所包含的基本事件21為24,26,46共三種，故P（BIA）==一62

步數(shù)/步0?20002001?50005001?80008001?1000010000以上男性人數(shù)/人16954女性人數(shù)/人03642規(guī)定：用戶一天行走的步數(shù)超過8000步時(shí)為“運(yùn)動(dòng)型”，否則為“懈怠型”.（1）將這40人中“運(yùn)動(dòng)型”用戶的頻率看作隨機(jī)抽取1人為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的概率.從該用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)抽取4人，記為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的人數(shù),和的數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)從這40人中選定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“運(yùn)動(dòng)型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“運(yùn)動(dòng)型”有2人，“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人，記選到“運(yùn)動(dòng)型”的人數(shù)為'，求'的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】40154096⑵分布列見解析【答案】40154096⑵分布列見解析4715【解析】（1）由題意可知，“運(yùn)動(dòng)型”的概率，（2）由題意可知的所有取值耳，所的分布列為:Y2345

P1E(￥J47157.為了調(diào)查某款電視機(jī)的壽命，研究人員對(duì)該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測(cè)試，將得到的數(shù)據(jù)分組：’丨，「，王口，…2,H期，并統(tǒng)計(jì)如圖所示：lit組距0.09.?…-1TOC\o"1-5"\h\z0.07——0,05■—0.03——0血1~1—1…~I-04R121620壽命/年并對(duì)不同性別的市民對(duì)這款電視機(jī)的購買意愿作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示愿意購買該款電視機(jī)不愿意購買該款電視機(jī)總計(jì)男性8001000女性600總計(jì)1200（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計(jì)該款電視機(jī)的平均壽命；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“是否愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的性別”有關(guān)；（3）以頻率估計(jì)概率，若在該款電視機(jī)的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取4臺(tái)，記其中壽命不低于4年的電視機(jī)的臺(tái)數(shù)為X求x的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2_n{ad-be}1參考公式及數(shù)據(jù)：，其=■''p?m心）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）該款電視機(jī)的平均壽命約為7.76年；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“是16否愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的性別”有關(guān)?【解析】：■■■x:--r-:u匕i：.；/■■；>.：；、，:二、….「；?，?「?川■072=7,76，故該款電視機(jī)的平均壽命約為7.76年.2）依題意，完善表中的數(shù)據(jù)如下表所示：愿意購買該款電視機(jī)不愿意購買該款電視機(jī)總計(jì)男性8002001000女性4006001000總計(jì)120080020002000xfSOOx600-200x400）-,k==33333>10,828計(jì)算得的觀測(cè)值故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“是否愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的性別”有關(guān).

故X的分布列為X01234P16962562566256256256256258．某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊(duì)對(duì)噸位為⑴的20艘捕魚船一天的捕魚量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表所示：捕魚量（單位：噸）[5?）[1OA5)[15.20)[20.25)[25J0]頻數(shù)27731根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：晴好天氣（單位：天）[50,60)[60J0)[70,80)130,90)[90100]頻數(shù)27632（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）（I）估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為廠的漁船單次出海的捕魚量的平均數(shù)；（II）已知當(dāng)?shù)佤~價(jià)為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時(shí)，每天成本為10萬元/艘，若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，若以（I）中確定的作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時(shí)一天的捕魚量①請(qǐng)依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率；②設(shè)今后3年中，此種捕魚船每年捕魚情況一樣，記一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的年數(shù)為，求'的分布列和期望.【答案】（1）16噸；②見解析.【解析】（I）此噸位的捕魚船一天的捕魚量的平均數(shù)為:（II）①設(shè)每年100天的捕魚期內(nèi)晴好天氣天數(shù)，則年利潤二|i匚衣：一丨i；.：丁一占,-門二'■■■：'?--:帰一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元，即捕魚期內(nèi)的晴好天氣天數(shù)不低于75天又100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣天數(shù)不低于5天的頻率為預(yù)測(cè)一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率?②由題可知：隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,,PZ=喙殉=益吩=1）=嵋宙=覆，Pg=總=蠱P3=3）=爲(wèi)（|璉）。=曉的分布列為:9.某部門在同一上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客，統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間（指乘客

從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間，乘車等待時(shí)間不超過40分鐘).將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：!:I■■::“分組，制成頻率分布直方圖：假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立．(1)在上班高峰時(shí)段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為；從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為.用頻率估計(jì)概率，求“乘客,乘車等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率;(2)從上班高峰時(shí)段從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人，：表示乘車等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望1【答案】；(11)詳見解析.【解析】(I)表示事件“乘乘車等待時(shí)間小于20分鐘表示事件“乘乘車等待時(shí)間小于20分鐘表示事件“乘乘車等待時(shí)間都小于20分鐘”.由題意知，乘乘車等待時(shí)間小于20分鐘的頻率為(0.012-(-0.040+0.048)x5=0.5，P(M］的估計(jì)值.乘乘車等待時(shí)間小于20分鐘的頻率為(0.016+0.0284-0.U36)=0比卩的的估計(jì)值04乂.故事件的