2024屆山東省德州夏津縣九年級數學第一學期期末考試試題含解析

2024屆山東省德州夏津縣九年級數學第一學期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，則這個方程根的情況是（）A．有兩個正根B．有一正根一負根且正根的絕對值大C．有兩個負根D．有一正根一負根且負根的絕對值大2．如圖，這是一個由四個半徑都為1米的圓設計而成的花壇，圓心在同一直線上，每個圓都會經過相鄰圓的圓心，則這個花壇的周長（實線部分）為（）A．4π米 B．π米 C．3π米 D．2π米3．已知點都在反比例函數的圖像上，那么（）A． B． C． D．的大小無法確定4．如圖，是正內一點，若將繞點旋轉到，則的度數為（）A． B．C． D．5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝60°，則∠AOB的度數是（）A．30° B．60° C．120° D．150°6．如圖，在平面直角坐標系中，梯形OACB的頂點O是坐標原點，OA邊在y軸正半軸上，OB邊在x軸正半軸上，且OA∥BC，雙曲線y=（x＞0）經過AC邊的中點，若S梯形OACB=4，則雙曲線y=的k值為（）A．5 B．4 C．3 D．27．如圖，正方形中，點是以為直徑的半圓與對角線的交點．現隨機向正方形內投擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．8．下列事件是隨機事件的是（）A．打開電視，正在播放新聞 B．氫氣在氧氣中燃燒生成水C．離離原上草，一歲一枯榮 D．鈍角三角形的內角和大于180°9．不解方程，則一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．沒有實數根C．有兩個不相等的實數根 D．以上都不對10．如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，過點O作OE∥AC交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F．若AC=2，則OF的長為（）A． B． C．1 D．211．將二次函數y＝5x2的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數圖象的解析式為（）A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣312．二次函數的圖象如圖，若一元二次方程有實數解，則k的最小值為A． B． C． D．0二、填空題（每題4分，共24分）13．已知關于的一元二次方程的一個根是2，則的值是：______．14．若，且，則=______.15．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E為垂足，若cosB=，EC=2，P是AB邊上的一個動點，則線段PE的長度的最小值是________．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC繞點A按順時針方向旋轉60°后得到△AB′C′，若AB＝4，則線段BC在上述旋轉過程中所掃過部分（陰影部分）的面積是_____．（結果保留π）．17．如圖，已知點D，E是半圓O上的三等分點，C是弧DE上的一個動點，連結AC和BC，點I是△ABC的內心，若⊙O的半徑為3，當點C從點D運動到點E時，點I隨之運動形成的路徑長是_____．18．已知圓的半徑為，點在圓外，則長度的取值范圍為___________.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．在線段AD上作一點P，使∠DPC＝∠BPC．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）20．（8分）⊙O直徑AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切線，DC切⊙O于點E且交AM于點D，交BN于點C，設AD＝x，BC＝y(tǒng)．（1）求y與x之間的關系式；（2）x，y是關于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的兩個根，求x，y的值；（3）在（2）的條件下，求△COD的面積．21．（8分）如圖，有兩個可以自由轉動的均勻轉盤轉盤A被平均分成3等份，分別標上三個數字；轉盤B被平均分成4等份，分別標上四個數字.有人為甲、乙兩人設計了一個游戲規(guī)則；自由轉動轉盤A與B，轉盤停止后，指針各指向一個數字，將指針所指的兩個數字相加，如果和是6，那么甲獲勝，否則為乙獲勝.你認為這樣的游戲規(guī)則是否公平？如果公平，請說明理由；如果不公平，怎樣修改規(guī)則才能使游戲對雙方公平？22．（10分）如圖，反比例函數y=的圖象與直線y=x+m在第一象限交于點P(6，2)，A、B為直線上的兩點，點A的橫坐標為2，點B的橫坐標為1．D、C為反比例函數圖象上的兩點，且AD、BC平行于y軸．(1)求反比例函數y=與直線y=x+m的函數關系式(2)求梯形ABCD的面積．23．（10分）如圖，在中，，，，求和的長.24．（10分）某網點嘗試用單價隨天數而變化的銷售模式銷售一種商品，利用30天的時間銷售一種成本為10元/件的商品，經過統(tǒng)計得到此商品單價在第x天（x為正整數）銷售的相關信息，如表所示：銷售量n（件）銷售單價m（元/件）（1）請計算第幾天該商品單價為25元/件？（2）求網店第幾天銷售額為792元？（3）求網店銷售該商品30天里所獲利潤y（元）關于x（天）的函數關系式；這30天中第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？25．（12分）已知拋物線.（1）當，時，求拋物線與軸的交點個數；（2）當時，判斷拋物線的頂點能否落在第四象限，并說明理由；（3）當時，過點的拋物線中，將其中兩條拋物線的頂點分別記為，，若點，的橫坐標分別是，，且點在第三象限.以線段為直徑作圓，設該圓的面積為，求的取值范圍.26．某學校自主開發(fā)了A書法、B閱讀，C繪畫，D器樂四門選修課程供學生選擇，每門課程被選到的機會均等．（1）若學生小玲計劃選修兩門課程，請寫出她所有可能的選法；（2）若學生小強和小明各計劃選修一門課程，則他們兩人恰好選修同一門課程的概率為多少？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解題分析】先根據根的判別式得出方程有兩個不相等的實數根，設方程x2+bx-2=0的兩個根為c、d，根據根與系數的關系得出c+d=-b，cd=-2，再判斷即可．【題目詳解】x2+bx?2=0，△=b2?4×1×(?2)=b2+8，即方程有兩個不相等的實數根，設方程x2+bx?2=0的兩個根為c、d，則c+d=?b，cd=?2，由cd=?2得出方程的兩個根一正一負，由c+d=?b和b<0得出方程的兩個根中，正數的絕對值大于負數的絕對值，故答案選：B.【題目點撥】本題考查的知識點是根的判別式及根與系數的關系，解題的關鍵是熟練的掌握根的判別式及根與系數的關系.2、A【分析】根據弧長公式解答即可．【題目詳解】解：如圖所示：∵這是一個由四個半徑都為1米的圓設計而成的花壇，圓心在同一直線上，每個圓都會經過相鄰圓的圓心，∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，∴這個花壇的周長＝，故選：A．【題目點撥】本題考查了圓的弧長公式，找到弧所對圓心角度數是解題的關鍵3、C【分析】由反比例函數的比例系數為正，那么圖象過第一，三象限，根據反比例函數的增減性可得m和n的大小關系．【題目詳解】解：∵點A（m，1）和B（n，3）在反比例函數（k＞0）的圖象上，

1＜3，

∴m＞n．

故選：C．【題目點撥】此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解決本題的關鍵是根據反比例函數的比例系數得到函數圖象所在的象限，用到的知識點為：k＞0，圖象的兩個分支分布在第一，三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減?。?、B【分析】根據旋轉的性質可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC＝∠P′BA，即可求解．【題目詳解】由已知得△PBC≌△P′BA，所以∠PBC＝∠P′BA，所以∠PBP′＝∠P′BA＋∠PBA，＝∠PBC＋∠PBA，＝∠ABC，＝60°．故選：B．【題目點撥】本題考查旋轉的性質．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．5、C【分析】根據圓周角定理即可得到結論．【題目詳解】∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，故選：C．【題目點撥】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．6、D【分析】過的中點作軸交軸于，交于，作軸于，如圖，先根據“”證明，則，得到，再利用得到，然后根據反比例函數系數的幾何意義得，再去絕對值即可得到滿足條件的的值.【題目詳解】過的中點作軸交軸于，交于，作軸于，如圖，在和中，，（），，，，，，而，.故選：.【題目點撥】本題考查了反比例函數系數的幾何意義：從反比例函數圖象上任意一點向軸于軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為.7、B【分析】連接BE，如圖，利用圓周角定理得到∠AEB=90°，再根據正方形的性質得到AE=BE=CE，于是得到陰影部分的面積=△BCE的面積，然后用△BCE的面積除以正方形ABCD的面積可得到鏢落在陰影部分的概率．【題目詳解】解：連接BE，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

而AC為正方形的對角線，

∴AE=BE=CE，

∴弓形AE的面積=弓形BE的面積，

∴陰影部分的面積=△BCE的面積，

∴鏢落在陰影部分的概率=．

故選：B．【題目點撥】本題考查了幾何概率：某事件的概率=這個事件所對應的面積除以總面積．也考查了正方形的性質．8、A【分析】根據隨機事件的意義，事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【題目詳解】解：A、打開電視，正在播放新聞，是隨機事件；B、氫氣在氧氣中燃燒生成水，是必然事件；C、離離原上草，一歲一枯榮，是必然事件；D、鈍角三角形的內角和大于180°，是不可能事件；故選：A．【題目點撥】本題考查可隨機事件的意義，正確理解隨機事件的意義是解決本題的關鍵.9、C【分析】根據?值判斷根的情況【題目詳解】解：a=2b=3c=-4∴有兩個不相等的實數根故本題答案為：C【題目點撥】本題考查了通過根的判別式判斷根的情況，注意a,b,c有符號10、C【題目詳解】解：∵OD⊥AC，∴AD=AC=1，∵OE∥AC，∴∠DAO=∠FOE，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠EFO=90°，在△ADO和△OFE，∵∠DAO=∠FOE，∠ADO=∠EFO，AO=OE，∴△ADO≌△OFE，∴OF=AD=1，故選C．【題目點撥】本題考查1．全等三角形的判定與性質；2．垂徑定理，掌握相關性質定理正確推理論證是解題關鍵．11、D【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【題目詳解】由“左加右減”的原則可知，將二次函數y=5x2的圖象先向右平移2個單位所得函數的解析式為：y=5（x﹣2）2，由“上加下減”的原則可知，將二次函數y=5（x﹣2）2的圖象先向下平移3個單位所得函數的解析式為：y=5（x﹣2）2﹣3，故選D．【題目點撥】本題考查了二次函數的圖象的平移變換，熟知函數圖象幾何變換的法則是解答此題的關鍵．12、A【解題分析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有實數解，∴可以理解為y=ax2+bx和y=?k有交點，由圖可得，?k≤4，∴k≥?4，∴k的最小值為?4.故選A.二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】先將所求式子化成，再根據一元二次方程的根的定義得出一個a、b的等式，然后將其代入求解即可得．【題目詳解】由題意，將代入方程得：整理得：，即將代入得：故答案為：1．【題目點撥】本題考查了一元二次方程的根的定義、代數式的化簡求值，利用一元二次方程的根的定義得出是解題關鍵．14、12【分析】設，則a=2k，b=3k，c=4k，由求出k值，即可求出c的值.【題目詳解】解：設，則a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b-c＝3，∴2k+3k-4k=3，∴k=3，∴c=4k=12.故答案為12.【題目點撥】此題主要考查了比例的性質，利用等比性質是解題關鍵．15、4.2【解題分析】設菱形ABCD的邊長為x，則AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，因為AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=于是＝，解得x=1，即AB=1．所以易求BE=2，AE=6，當EP⊥AB時，PE取得最小值．故由三角形面積公式有：AB?PE=BE?AE，求得PE的最小值為4.2．點睛：本題考查了余弦函數在直角三角形中的運用、三角形面積的計算和最小值的求值問題，求PE的值是解題的關鍵16、2π．【分析】由題意根據陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+S△AB′C′-S△ABC-扇形CAC′的面積，分別求得：扇形BAB′的面積和S△AB′C′，S△ABC以及扇形CAC′的面積，進而分析即可求解．【題目詳解】解：扇形BAB′的面積是：，在直角△ABC中，，．扇形CAC′的面積是：，則陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+-扇形CAC′的面積=．故答案為：2π．【題目點撥】本題考查扇形的面積的計算，正確理解陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+-扇形CAC′的面積是解題的關鍵．17、π．【分析】連接AI,BI,作OT⊥AB交⊙O于T,連接AT,TB,以T為圓心,TA為半徑作⊙T,在優(yōu)弧AB上取一點G,連接AG,BG．證明∠AIB+∠G=180°,推出A,I,B,G四點共圓,【題目詳解】如圖，連接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O于T，連接AT，TB，以T為圓心，TA為半徑作⊙T，在優(yōu)弧AB上取一點G，連接AG，BG．推出點I的運動軌跡是即可解決問題．∵AB是直徑,∴∠ACB＝90°,∵I是△ABC的內心,∴∠AIB＝135°,∵OT⊥AB,OA＝OB,∴TA＝TB,∠ATB＝90°,∴∠AGB＝∠ATB＝45°,∴∠AIB+∠G＝180°,∴A，I，B，G四點共圓,∴點I的運動軌跡是,由題意,∴∠MTM＝30°,易知TA＝TM＝3,∴點I隨之運動形成的路徑長是,故答案為．【題目點撥】本題考查了軌跡,垂徑定理、圓周角定理、三角形的內心和等邊三角形的性質等知識,解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡．18、【分析】設點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．【題目詳解】點P在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，因而線段OP的長度的取值范圍是OP＞1．故答案為.【題目點撥】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．熟記點與圓位置關系與數量關系的對應是解題關鍵，由位置關系可推得數量關系，同樣由數量關系也可推得位置關系．三、解答題（共78分）19、詳見解析【分析】以為圓心，為半徑畫弧，以為直徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，利用全等三角形和角平分線的判定和性質可得．【題目詳解】解：如圖，即為所作圖形：∠DPC＝∠BPC.【題目點撥】本題是作圖—復雜作圖，作線段垂直平分線，涉及到角平分線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，難度中等.20、（1）y＝；（2）或；（3）1．【分析】（1）如圖，作DF⊥BN交BC于F，根據切線長定理得，則DC＝DE+CE＝x+y，在中根據勾股定理，就可以求出y與x之間的關系式．（2）由（1）求得，由根與系數的關系求得的值，通過解一元二次方程即可求得x，y的值．（3）如圖，連接OD，OE，OC，由AM和BN是⊙O的切線，DC切⊙O于點E，得到，，，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，即可得出答案．【題目詳解】（1）如圖，作DF⊥BN交BC于F；∵AM、BN與⊙O切于點定A、B，∴AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四邊形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，∵BC＝y(tǒng)，∴FC＝BC﹣BF＝y(tǒng)﹣x；∵DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y(tǒng)，則DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，整理為：y＝，∴y與x的函數關系式是y＝．（2）由（1）知xy＝36，x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的兩個根，∴根據韋達定理知，xy＝，即a＝72；∴原方程為x2﹣15x+36＝0，解得或．（3）如圖，連接OD，OE，OC，∵AD，BC，CD是⊙O的切線，∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，∴S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，∴S△COD＝××（3+12）×12＝1．【題目點撥】本題考查了圓切線的綜合問題，掌握切線長定理、勾股定理、一元二次方程的解法是解題的關鍵．21、不公平，理由詳見解析；規(guī)則改為：和是6或7，甲勝；否則乙勝．【分析】根據題意可知游戲是否公平，關鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等．【題目詳解】解：不公平，游戲結果可能性列表如下：和為，∴甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，∴甲、乙獲勝的概率不相等，∴游戲不公平．規(guī)則改為：和是6或7，甲勝；否則乙勝．（和為奇數，甲勝；和為偶數，乙勝；或和小于7，甲勝；和大于等于7，乙勝．答案不唯一)【題目點撥】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之．22、（1）y=,y=x-4（2）s=6.5【解題分析】考點：反比例函數綜合題．分析：（1）由于反比例函數y=的圖象與直線y=x+m在第一象限交于點P（6，2），則把A（6，2）分別代入兩個解析式可求出k與b的值，從而確定反比例函數y=與直線y=x+m的函數關系式；（2）先把點A的橫坐標為2，點B的橫坐標為1代入y=x-4中得到對應的縱坐標，則可確定A點坐標為（2，-2），點B的坐標為（1，-1），由AD、BC平行于y軸可得點D的橫坐標為2，點C的橫坐標為1，然后把它們分別代入y=中，可確定D點坐標為（2，6），點C的坐標為（1，4），然后根據梯形的面積公式計算即可．解：（1）∵點P（6，2）在反比例函數y=的圖象上，∴k=6×2=12，∴反比例函數的解析式為y=；∵點P（6，2）在直線y=x+m上，∴6+m=2，解得m=-4，∴直線的解析式為y=x-4；（2）∵點A、B在直線y=x-4上，∴當x=2時，y=2-4=-2，當x=1時，y=1-4=-1，∴A點坐標為（2，-2），點B的坐標為（1，-1），又∵AD、BC平行于y軸，∴點D的橫坐標為2，點C的橫坐標為1，而點D、C為反比例函數y=的圖象上，∴當x=2，則y=6，當x=1，則y=4，∴D點坐標為（2，6），點C的坐標為（1，4），∴DA=6-（-2）=8，CB=4-（-1）=5，∴梯形ABCD的面積=×（8+5）×1=．23、，【分析】作CD⊥AB于D．在Rt△BDC求出CD、BD，在Rt△ACD中求出AD、AC即可解決問題.【題目詳解】解：如圖，過點作于點，在中，，，，在中，，∴，，∴.【題目點撥】本題考查解直角三角形，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．24、（1）第10天時該商品的銷售單價為25元/件；（2）網店第26天銷售額為792元；（3）；這30天中第15天獲得的利潤最大，最大利潤是元.【分析】（1）將m=25代入m=20+x，求得x即可；（2）令，解得方程即可；（3）根據“總利潤=單件利潤×銷售量”可得函數解析式，將所得函數解析式配方成頂點式后，根據二次函數的性質即可得．【題目詳解】解：（1）當時，，解得：，所以第10天時該商品的銷售單價為25元/件；（2）根據題意，列方程為：，解得（舍去）答：網店第26天銷售額為792元.（3）；（4），∴當時，y最大=，答：這30天中第15天獲得的利潤最大，最大利潤是元【題目點撥】本題考查二次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會構建函數，利用二次函數的性質解決問題，屬于中考?？碱}型．25、（1）拋物線與軸有兩個交點；（2）拋物線的頂點不會