江蘇省南京市東廬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

江蘇省南京市東廬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（

）A．

B．C．

D．參考答案：2.若,則事件A,B的關(guān)系是A．互斥不對(duì)立

B．對(duì)立不互斥

C．互斥且對(duì)立

D．以上答案都不對(duì)參考答案：D略3.下列四個(gè)結(jié)論：（1）兩條直線都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線平行；（2）兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；（3）兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行；（4）一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線和這個(gè)平面平行．其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：常規(guī)題型．分析：根據(jù)線線平行、線面平行的判定和性質(zhì)．即可得出正確結(jié)論．解答：解：：（1）兩條直線都和同一個(gè)平面平行，那么這兩條直線可能平行、相交、異面．故（1）不正確．（2）兩條直線沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線可能平行、異面．故（2）不正確．（3）兩條直線都和第三條直線垂，則這兩條直線可能平行、相交、異面．故（3）不正確．（4）一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線和這個(gè)平面可能平行、可能相交、可能在平面內(nèi)．故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的掌握與理解．考查學(xué)生的空間想象能力．4.下列結(jié)論正確的是（）A．若向量∥，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使=λB．“若θ=，則cosθ=”的否命題為“若θ≠，則cosθ≠”C．已知向量、為非零向量，則“、的夾角為鈍角”的充要條件是“＜0”D．若命題p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0參考答案：B考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)向量共線定理判斷A，條件否定，結(jié)論否定，可判斷B，向量，為非零向量，則“，的夾角為鈍角”的充要條件是“?＜0，且向量，不共線”可判斷C；命題p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，可判斷D．解答：解：若向量∥，≠，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使=λ，故A不正確；條件否定，結(jié)論否定，可知B正確；已知向量，為非零向量，則“，的夾角為鈍角”的充要條件是“?＜0，且向量，不共線”，故不C正確；若命題p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正確．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．5.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：C6.在等差數(shù)列中，，設(shè)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C7.已知某棱錐的俯視圖如圖3，正視圖與側(cè)視圖都是邊長為2的等邊三角形，則該棱錐的側(cè)面積是A、4

B、4

C、4(1+)

D、8

參考答案：D8.

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.當(dāng)時(shí)，下面的程序段執(zhí)行后所得的結(jié)果是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，，且時(shí)，導(dǎo)函數(shù)分別滿足，，則時(shí)，成立的是（

）A.

B.C.

D.參考答案：B在上為奇函數(shù)在上為增函數(shù)在為增函數(shù)即同理可得時(shí)，。故選B。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.同時(shí)擲兩個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率是

參考答案：12.對(duì)大于或等于2的正整數(shù)的冪運(yùn)算有如下分解方式：

…

…根據(jù)上述分解規(guī)律，若，的分解中最小的正整數(shù)是21，則

．參考答案：1113.等差數(shù)列5，8，11，……與等差數(shù)列3，8，13，……都有相同的項(xiàng)，那么這兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)按原來的前后次序組成的新數(shù)列的通項(xiàng)公式為

參考答案：14.由下列命題構(gòu)成的復(fù)合命題中，若“或”為真，“且”為假，“非”為真，則其中正確的是

.①

5是偶數(shù)，

2是奇數(shù)

②

，

③

，

④

，

參考答案：②

略15.已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，點(diǎn)P（b，b+c），點(diǎn)Q（a，c+a），則直線PQ的傾斜角為．參考答案：45°【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】由經(jīng)過兩點(diǎn)直線的斜率公式，得PQ的斜率為﹣1，再根據(jù)斜率k與傾斜角α的關(guān)系，得tanα=1，結(jié)合直線傾斜角的取值范圍即可得到直線PQ的傾斜角．【解答】解：∵點(diǎn)P（b，b+c），點(diǎn)Q（a，c+a），∴直線PQ的斜率為k==1設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα=1∵α∈[0，π），∴α=45°，故答案是：45°．16.（如圖，AB是圓O的直徑，P在AB的延長線上，PD切圓O于點(diǎn)C．已知圓O半徑為，OP=2，則PC=_________；∠ACD的大小為_________．參考答案：1；.由切割線定理得，所以，連結(jié)，易知，從而，所以.17.定義在R上的函數(shù)滿足：與都為偶函數(shù)，且x∈[-l，l]時(shí)，f(x)=，則在區(qū)間[-2018，2018]上所有零點(diǎn)之和為_____.參考答案：2018函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象均關(guān)于直線和對(duì)稱且周期為4，畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示：觀察圖象可得，兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱的交點(diǎn)，在區(qū)間上沒有交點(diǎn)，則在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，…，故在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，同理在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，因此在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為故答案為點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.△

ABC中，D在邊BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的長及△ABC的面積．

參考答案：解析：在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．

4分在△ACD中，AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．

7分∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝．

10分

19.已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個(gè)命題，其中真命題是（

）A．對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M相切B．對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M沒有公共點(diǎn)C．對(duì)任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切D．對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)q，使得直線l與和圓M相切

參考答案：D略20.設(shè).（1）分別求，，；（2）歸納猜想一般性結(jié)論，并證明其正確性.參考答案：(1)見解析(2)歸納猜想得，當(dāng)時(shí)，有，見解析分析：由計(jì)算各和式，發(fā)現(xiàn)，，值均為，于是得出結(jié)論時(shí)，，利用，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)論.詳解：（1）.同理可得；.（2）注意到三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于.歸納猜想得，當(dāng)時(shí)，有證明如下：設(shè)，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，有.點(diǎn)睛：由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用,觀察、實(shí)驗(yàn)、對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一，在解題過程，由不完全歸納法得到的結(jié)論，需要加以證明.21.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c為實(shí)常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)b=0，c=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x﹣3，（?。┤艉瘮?shù)f（x）無極值點(diǎn)且f′（x）存在零點(diǎn)，求a，b，c的值；（ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明f（x）的極小值小于﹣．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）分類討論求解：當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0；令f′（x）＜0時(shí)，（2）根據(jù)函數(shù)的切線的性質(zhì)求解，列方程即可．（3）根據(jù)函數(shù)極值的判斷，多次求導(dǎo)判斷，根據(jù)單調(diào)性，切點(diǎn)極值點(diǎn)，來解決．【解答】解：（1當(dāng)b=0，c=1時(shí)，f（x）=x2+lnx，定義域是（0，+∞），當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0；令f′（x）＜0時(shí)，解得x，∴f（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減區(qū)間（，+∞），綜上當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減區(qū)間（，+∞），（2）（i）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x﹣3，f′（x）=2ax+b+，斜率k═f′（1）=2a+b+c=3，由點(diǎn)（1，f（1））在y=3x﹣3上，∴f（1）=3﹣3=0，∴f（1）=a+b+cln1=a+b=0，即b=﹣a，c=3﹣a，則f（x）=ax2﹣ax+（3﹣a）lnx，f′（x）=當(dāng)F（x）無極值點(diǎn)且f′（x）存在零點(diǎn)時(shí)，則方程f′（x）==0，即關(guān)于的方程2ax2﹣ax+3﹣a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（a＞0），∴△=a2﹣8a（3﹣a）=0，解得a=，b=﹣a=﹣，c=3﹣a=，即a=，b=﹣，c=，（ii）由f′（x）=（x＞0）要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，只要方程2ax2﹣ax+3﹣a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

時(shí)兩正根為x1，x2，x1＜x2，∴△=a2﹣8a（3﹣a）＞0，（a＞0），解得：a，∴x1=＞0，x2=，∴＜a＜3，∴0，＜x2＜，∴當(dāng)＜x＜x2時(shí)，f′（x）＜0時(shí)，當(dāng)x2＜x時(shí)，f′（x）＞0時(shí)，∴當(dāng)x=x2時(shí)，有極小值f（x2），由2ax﹣ax2+3=0，得：a=，∴f（x2）=ax22﹣ax2+（3﹣a）lnx2=a（x﹣ax2﹣lnx2）+3lnx2=3lnx2﹣，＜x2＜，而f′（x）=，即g（x）=x2﹣x﹣lnx，（＜x≤1），有g(shù)′（x）