廣東省陽(yáng)江市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

機(jī)密★啟用前2024屆高三第一次階段調(diào)研試題數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．設(shè)函數(shù)，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．D．3．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，但有極值點(diǎn)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．4．三棱錐中，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是（

）A． B．C． D．5．四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，E為上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的最小角的正弦值為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線(xiàn)（）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)交E的左支于點(diǎn)P，交E的漸近線(xiàn)于點(diǎn)M，N，且P，M恰為線(xiàn)段FN的三等分點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)E的離心率為（

）A．2 B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：，則（

）A． B． C． D．8．直角中，，，D是斜邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，沿BD將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小時(shí)，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．若函數(shù)（）的最小正周期為，則（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn) D．在上的值域?yàn)?0．在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成空間四邊形A'BCD，使得．設(shè)E，F(xiàn)分別為棱BC，A'D的中點(diǎn)，則（

）A． B．直線(xiàn)A'C與EF所成角的余弦值為C．直線(xiàn)A'C與EF的距離為 D．四面體A'BCD的外接球的表面積為11．拋物線(xiàn)C：，AB是C的焦點(diǎn)弦（

）A．點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線(xiàn)上，則的最小值為0B．以AB為直徑的所有圓中，圓面積的最小值為9πC．若AB的斜率，則△ABO的面積D．存在一個(gè)半徑為的定圓與以AB為直徑的圓都內(nèi)切12．設(shè)定義在R上，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)滿(mǎn)足“性質(zhì)T”，下列函數(shù)不滿(mǎn)足“性質(zhì)T”的有（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．14．在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點(diǎn)為G，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為．15．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，與線(xiàn)段相交于點(diǎn)，且．若是線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的方程為．16．已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在中，為邊上一點(diǎn)，且平分．(1)若，求與；(2)若，設(shè)，求．18．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.19．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，底面，，，，為棱上一點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）已知橢圓的中心為O，左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上一點(diǎn)，線(xiàn)段與圓相切于該線(xiàn)段的中點(diǎn)N，且的面積為4.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上是否存在三個(gè)點(diǎn)A，B，P，使得直線(xiàn)AB過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線(xiàn)AB的方程；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.22．（12分）已知函數(shù)．(1)若，證明：恒成立．(2)若存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．2024屆高三第一次階段調(diào)研試題數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分細(xì)則選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.答案12345678題號(hào)DCAADDAB二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)9101112答案BCACABDABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．14．15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【解析】（1）如下圖所示：

因?yàn)槠椒?，所以，又因?yàn)樵谏希?，因此，又，所以．在中，，可得．在中，由余弦定理可得，故?........................................（4分）（2）如下圖所示：

因?yàn)槠椒?，，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，展開(kāi)并整理得，解得．.........................................（6分）18．【解析】（1），又，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，..........................................（4分）（2）由（1），，，，..........................................（8分）19．【解析】（1）由題意可知，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平?.........................................（4分）（2）由題意可知，所以為等邊三角形，且，連接，設(shè)中點(diǎn)為，作，作于交AC于H，連接，，EF，因?yàn)?，且，可知平面EFH，故平面EFH平面PAD，從而，，所以有平面ABCD，，又因?yàn)?，所以H是AB中點(diǎn)，進(jìn)而E、F分別是PC、AC中點(diǎn)，...................................（6分）在中，，的面積，的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，則，故點(diǎn)到平面的距離為............................................................................（8分）20．【解析】（1）連接，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，故，，.........................................（2分）

，解得，由橢圓定義可知，，解得，由勾股定理得，即，解得，故，故橢圓方程為；.........................................（4分）（2）由題意得，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，解得，設(shè)，由于，由對(duì)稱(chēng)性可知，為橢圓左頂點(diǎn)，但，故不合要求，舍去，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，，，.........................................（4分）設(shè)，則，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形是平行四邊形，則，將代入橢圓中，得，解得，此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為..........................................（8分）21．【解析】（1）設(shè)該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則；該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則..........................................（4分）（2）該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，則，；該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，則所有可能的取值為，；；；；......................（4分）隨機(jī)變量的分布列：；該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，，即，解得：，的范圍為..........................................（8分）22．【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．.........................................（4分）（2）令，可得，令函數(shù)，可得．.........................................（2分）令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．..........................