浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊3.3-垂徑定理(二)

3.3垂徑定理（二）1.如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于點(diǎn)M，有下列結(jié)論：①CM＝DM；②AC＝AD；③eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))；④∠C＝∠D.其中成立的有(D)(第1題)A.1個B.2個C.3個D.4個2.給出下列命題：①垂直于弦的直徑平分這條弦.②平分弦的直徑也平分弦所對的兩條弧.③弦的垂直平分線必平分弦所對的弧.④平分一條弧的直線必平分這條弧所對的弦.其中正確的命題有(B)A.1個B.2個C.3個D.4個3.一條弦把一條直徑分成2cm和6cm長的兩條線段，如果弦和直徑相交成30°角，那么圓心到這條弦的距離是(A)A.1cmB.eq\r(3)cmC.4cmD.6cm(第4題)4.如圖，⊙O的兩條弦AB，CD互相垂直，垂足為E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，則⊙O的半徑是eq\r(5).5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半徑R.(第5題)(第5題解)【解】如解圖，連結(jié)OA，OB，OC，OA交BC于點(diǎn)D.∵OA＝OB＝OC，AB＝AC，∴△OAB≌△OAC(SSS).∴∠OAB＝∠OAC.∴OA⊥BC.∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝12.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝5.在Rt△BOD中，OB2＝BD2＋OD2，即R2＝122＋(R－5)2，解得R＝16.9.6.如圖，⊙O中兩條不平行弦AB和CD的中點(diǎn)分別為M，N.且AB＝CD，求證：∠AMN＝∠CNM.(第6題)(第6題解)【解】如解圖，連結(jié)OM，ON.∵M(jìn)，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°.∵AB＝CD，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM.∴∠AMO－∠OMN＝∠CNO－∠ONM，即∠AMN＝∠CNM.7.如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點(diǎn)80m處有一所學(xué)校A.當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以點(diǎn)P為圓心，50m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大.若重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18km/h.(第7題)(1)求噪聲對學(xué)校A的影響最大時卡車P與學(xué)校A的距離.(2)求卡車P沿道路ON方向行駛時給學(xué)校A帶來噪聲影響的時間.【解】(1)如解圖，過點(diǎn)A作AD⊥ON于點(diǎn)D.∵∠NOM＝30°，AO＝80m，∴AD＝40m，即噪聲對學(xué)校A的影響最大時卡車P與學(xué)校A的距離為40m.(第7題解)(2)如解圖，以50m為半徑畫圓，分別交ON于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)AB，則AB＝50m.∵AD⊥ON，AD＝40m，∴BC＝2BD＝2×eq\r(502－402)＝60(m).∵18km/h＝5m/s，∴卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時間為60÷5＝12(s).8.如圖，兩個正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為(C)(第8題)A.(4＋eq\r(5))cmB.9cmC.4eq\r(,5)cmD.6eq\r(,2)cm【解】設(shè)OD＝x(cm)，則CD＝2x(cm).連結(jié)OC，OF.∵小正方形的面積為16cm2，∴DE＝EF＝4cm.在Rt△COD和Rt△OEF中，OC2＝OD2＋CD2＝5x2，OF2＝OE2＋EF2＝(x＋4)2＋42，∴5x2＝(x＋4)2＋42，解得x1＝4，x2＝－2(不合題意，舍去).∴OC＝eq\r(5x2)＝4eq\r(,5)(cm).9.如圖，M是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的弦MN交AB于點(diǎn)C.已知⊙O的半徑為4cm，MN＝4eq\r(3)cm.則∠ACM的度數(shù)為60°.(第9題)【解】連結(jié)OM，過點(diǎn)O作OD⊥MN于點(diǎn)D.∵OD⊥MN，∴MD＝eq\f(1,2)MN＝2eq\r(3)cm.在Rt△ODM中，∵OM＝4cm，MD＝2eq\r(3)cm，∴OD＝eq\r(OM2－MD2)＝2cm，∴∠OMD＝30°.∵M(jìn)是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴OM⊥AB.∴∠ACM＝90°－∠OMD＝60°.10.已知⊙O的半徑為2，弦BC＝2eq\r(3)，A是⊙O上一點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，直線AO與BC交于點(diǎn)D，則AD的長為1或3.【解】∵⊙O的半徑為2，弦BC＝2eq\r(3)，A是⊙O上一點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AD⊥BC，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).分兩種情況討論：①如解圖①所示，連結(jié)OB.在Rt△OBD中，BD2＋OD2＝OB2，即(eq\r(3))2＋OD2＝22，解得OD＝1.∴AD＝OA－OD＝2－1＝1.(第10題解)②如解圖②所示，連結(jié)OB.同理于①，得AD＝OA＋OD＝2＋1＝3.(第11題)11.一拱形橋所在弧的水上部分如圖所示，∠AOB＝120°，半徑OA＝OB＝5m.一艘6m寬的船裝載著一集裝箱，已知箱頂寬3.2m，且高出水面AB2m，問：此船能過橋洞嗎？請說明理由.(第11題解)【解】能.理由如下：如解圖，設(shè)點(diǎn)C為拱頂，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓弧上，EF＝3.2m，且EF∥AB，連結(jié)OC交AB于點(diǎn)D，交EF于點(diǎn)G，連結(jié)OA，OB，OF，則OC⊥AB，OC⊥EF，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，∴DO＝eq\f(1,2)BO＝2.5m，BD＝eq\r(BO2－DO2)＝eq\f(5,2)eq\r(3)m.∴AB＝2BD＝5eq\r(3)m>6m.∵FG＝1.6m，OF＝5m，∴OG＝eq\r(OF2－FG2)≈4.7m.∴DG＝OG－OD≈2.2m>2m.∴箱頂在EF下方，∴此船能過橋洞.12.如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，且點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)O的兩側(cè).若點(diǎn)P為EF上任意一點(diǎn)，求PA＋PC的最小值.(第12題)【解】如解圖，連結(jié)AD，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H.∵M(jìn)N是直徑，CD⊥MN，∴點(diǎn)C，D關(guān)于MN對稱，∴PC＝PD.(第12題解)∴當(dāng)P為AD與MN的交點(diǎn)時，PA＋PC的值最小.連結(jié)AO，CO.∵AB⊥MN于點(diǎn)E，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝4.又∵AO＝5，∴EO＝eq\r(AO2－AE2)＝