全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編：矩形菱形及正方形

..2013中考數(shù)學(xué)矩形菱形與正方形一、選擇題1．〔2013，7，3分〕如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，垂足為E，連接DF，那么∠CDF等于〔〕．A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B．【解析】如圖，連接BF．在菱形ABCD中，∠BAD=80°，所以∠BAF=∠DAF=40°，△BAF≌△DAF，∠ADC=100°．因?yàn)镋F的垂直平分AB，所以AF=BF=DF．所以∠ADF=∠DAF=40°．∠CDF=∠ADC－∠ADF=100°－40°=60°．所以應(yīng)選B．【方法指導(dǎo)】特殊四邊形的性質(zhì)一直是中考命題的熱點(diǎn)，此題主要考察菱形的性質(zhì)．菱形是：①對(duì)角線互相垂直且平分；②四邊相等；③對(duì)角線平分對(duì)角，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．【易錯(cuò)警示】菱形的性質(zhì)與其它特殊四邊形的性質(zhì)混淆模糊，記憶不清、混淆是此題易出錯(cuò)的主要原因．2.〔2013，11，2分〕如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，把沿AE對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在BC上，折痕，且，那么該矩形的周長(zhǎng)為〔〕A．72B．36C．20D．16【答案】A【解析】在矩形ABCD中，推理得到∠BAF＝∠EFC．由tan∠EFC＝，可設(shè)BF＝3x、AB＝4x，在Rt△ABF中，運(yùn)用勾股定理得AF＝5x，∴AD＝BC＝5x，∴CF＝BC－BF＝5x－3x＝2x，∴CE＝CF?tan∠EFC＝2x×＝，∴DE＝CD－CE＝4x－＝，在Rt△ADE中，運(yùn)用勾股定理求得x＝4，∴AB＝4×4＝16cm，AD＝5×4＝20〔cm〕，矩形的周長(zhǎng)＝2〔16+20〕＝72〔cm〕．【方法指導(dǎo)】此題考察了矩形的對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)正切值設(shè)出未知數(shù)并表示出圖形中的各線段是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在．3.〔2013，12，3分〕如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，以下結(jié)論：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正確的結(jié)論有()個(gè)A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC＝x，BE＝y(tǒng)，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比擬大小而得出結(jié)論．【方法指導(dǎo)】此題考察了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答此題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵．4．〔2013，7，3分〕以下命題中，真命題是對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形四個(gè)角相等的邊形是矩形【答案】D【解析】A、對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形，是假命題，如：對(duì)角線相等的四邊形可以是矩形等；B、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，如：滿足條件的四邊形可以是菱形，但菱形不是正方形哦；D、四個(gè)角相等的邊形是矩形是假命題，如：滿足條件的四邊形可以是正方形，但要注意矩形與正方形是一般與特殊關(guān)系.【方法指導(dǎo)】此題考察了命題真、假的判斷.實(shí)際可以記住我們已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)定義、定理、數(shù)學(xué)根本領(lǐng)實(shí)等，它們都是真命題.5．[2013，2，3分]2.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片按圖示對(duì)折兩次，然后剪下一局部，為了得到一個(gè)鈍角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為〔〕A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°((第2題)【答案】D【解析】根據(jù)兩次折疊得到新的折痕，要使得到一個(gè)鈍角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)可以為30°或60°【方法指導(dǎo)】此題考察了軸對(duì)稱性質(zhì)、菱形的性質(zhì).解答過程可以進(jìn)展動(dòng)手操作得出結(jié)果.這里同時(shí)注意菱形的對(duì)角線互相垂直且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角性質(zhì)的運(yùn)用.6．[2013，7，3分]如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，假設(shè)兩個(gè)小正方形的面積分別為S1、S2，那么S1+S2的值為〔〕SS2S1A．16B．17C．18D．19【答案】B．【解析】根據(jù)等腰直角三角形、勾股定理先求出面積分別為S1的邊唱是大正方形對(duì)角線的，S2正方形的邊長(zhǎng)組成直角三角形斜邊長(zhǎng)是大正方形對(duì)角線的一半.總分值解答：邊長(zhǎng)為6的大正方形中，對(duì)角線長(zhǎng)為.∴面積為S1小正方邊長(zhǎng)為，面積S1==8；小正方S2=，∴S1+S2=8+9=17.應(yīng)選B.【方法指導(dǎo)】此題主要考察正方形性質(zhì).熟悉正方形有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.〔是真題嗎？〕4．〔2013涼山州，9，4分〕如圖，菱形中，，，那么以為邊長(zhǎng)的正方形的周長(zhǎng)為A．14 B．15 C．16 D．17BBACDFE〔第9題圖〕【答案】C.【解析】∵菱形，∴AB=BC。∵，∴△ABC是等邊三角形?！郃C=AB=4?！嘁詾檫呴L(zhǎng)的正方形的周長(zhǎng)為4×4=16?！痉椒ㄖ笇?dǎo)】此題考察菱形的性質(zhì)四條邊都相等，等邊三角形的判定，有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。正方形的性質(zhì)四邊都相等。8．〔2013，7，3分〕如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點(diǎn)O，那么圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是〔〕A．8B．6C．4D．2考點(diǎn)：等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，進(jìn)而得到等腰三角形．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，應(yīng)選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了等腰三角形的判定，以及矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分．9.．〔2013，6，3分〕以下命題中，正確的選項(xiàng)是〔〕A．平行四邊形的對(duì)角線相等B．矩形的對(duì)角線互相垂直C．菱形的對(duì)角線互相垂直且平分D．梯形的對(duì)角線相等考點(diǎn)：命題與定理．分析：根據(jù)菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)分別判斷得出即可．解答：解：A、根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分不相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、矩形的對(duì)角線相等，不互相垂直，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，故此選項(xiàng)正確；D、根據(jù)等腰梯形的對(duì)角線相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；應(yīng)選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．10.．〔2013，6，3分〕順次連接等腰梯形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是〔〕A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形．分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及中位線定理和菱形的判定，可推出四邊形為菱形．解答：解：如圖，：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形．證明：連接AC、BD．∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了等腰梯形的性質(zhì)，三角形的中位線定理和菱形的判定．用到的知識(shí)點(diǎn)：等腰梯形的兩底角相等；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；四邊相等的四邊形是菱形．11．〔2013·聊城，5，3分〕以下命題中的真命題是〔〕A．三個(gè)角相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C．順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形D．正五邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形考點(diǎn)：命題與定理．分析：根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定以及正五邊形的性質(zhì)得出答案即可．解答：解：A．根據(jù)四個(gè)角相等的四邊形是矩形，故此命題是假命題，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．根據(jù)對(duì)角線互相垂直、互相平分且相等的四邊形是正方形，故此命題是假命題，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形，故此命題是真命題，故此選項(xiàng)正確；D．正五邊形是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形，故此命題是假命題，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了矩形、菱形、正方形的判定以及正五邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．12．〔2013?東營(yíng)，12，3分〕如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：〔1〕AE=BF；〔2〕AE⊥BF；〔3〕AO=OE；〔4〕中正確的有〔〕FF〔第12題圖〕ABCDOEA．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)答案：B解析：在正方形ABCD中，因?yàn)镃E=DF，所以AF=DE，又因?yàn)锳B=AD，所以，所以AE=BF，，，因?yàn)?，所以，即，所以AE⊥BF，因?yàn)镾四邊形DEOF，所以S四邊形DEOF，故〔1〕，〔2〕，〔4〕正確．13．〔2013·，9，3分〕如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對(duì)角線交于點(diǎn)O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對(duì)角線交于點(diǎn)O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…；依此類推，那么平行四邊形AO4C5B的面積為〔〕 A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：規(guī)律型．分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分，平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得下一個(gè)圖形的面積是上一個(gè)圖形的面積的，然后求解即可．解答：解：設(shè)矩形ABCD的面積為S=20cm2，∵O為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴平行四邊形AOC1B底邊AB上的高等于BC的，∴平行四邊形AOC1B的面積=S，∵平行四邊形AOC1B的對(duì)角線交于點(diǎn)O1，∴平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOC1B底邊AB上的高的，∴平行四邊形AO1C2B的面積=×S=，…，依此類推，平行四邊形AO4C5B的面積===cm2．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考察了矩形的對(duì)角線互相平分，平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，得到下一個(gè)圖形的面積是上一個(gè)圖形的面積的是解題的關(guān)鍵．14.〔2013，9，3分〕如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC是，連接BM、DN，假設(shè)四邊形MBND是菱形，那么等于〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)應(yīng)用。解析：矩形的性質(zhì)應(yīng)用較為常見的就是轉(zhuǎn)化成直角三角形來解決問題，菱形的性質(zhì)應(yīng)用較常見的是四條邊相等或者對(duì)角線的性質(zhì)應(yīng)用。此題中求的是線段的比值，所以在解決過程中取特殊值法較為簡(jiǎn)單。設(shè)AB=1，那么AD=2，因?yàn)樗倪呅蜯BND是菱形，所以MB=MD，又因?yàn)榫匦蜛BCD，所以A=90°，設(shè)AM=x,那么MB=2-x，由勾股定理得：AB2+AM2=MB2，所以xBCDA第9題圖MN2+12=(2-x)2解得：，所以MD=BCDA第9題圖MN15.〔2013，6，3分〕以下說確的是〔D〕D．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形［解析］由矩形的性質(zhì)可知，只有D正確。平行四邊形的對(duì)角線是互相平行，菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，故A、C錯(cuò)，等腰梯形的對(duì)角線相等B也錯(cuò)。16.〔2013，10，3分〕如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于點(diǎn)H，且DH與AC交于G，那么GH=〔B〕A．B．C．D．［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，AH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5/4，GH=21/20。17．〔2013省六盤水，7，3分〕在平面中，以下命題為真命題的是〔〕A．四個(gè)角相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．四邊相等的四邊形是正方形考點(diǎn)：命題與定理．分析：分別根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)分別判斷得出即可．解答：解：A、根據(jù)四邊形的角和得出，四個(gè)角相等的四邊形即四個(gè)角是直角，故此四邊形是矩形，故此選項(xiàng)正確；B、只有對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、四邊相等的四邊形是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．應(yīng)選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．18．〔2013省，11，3分〕如圖4，菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.假設(shè)NF=NM=2，ME=3，那么AN= A．3 B．4 C．5 D．6答案：B解析：由△AFN∽△AEM，得：，即，解得：AN＝4，選B。19．〔2013省，12，3分〕如：線段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：對(duì)于兩人的作業(yè)，以下說確的是A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)答案：A解析：對(duì)于甲：由兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形及角B為90度，知ABCD是矩形，正確；對(duì)于乙：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形及角B為90度，可判斷ABCD是矩形，故都正確，選A。二、填空題1．〔2013，15，3分〕如圖6，Rt△ABC的斜邊AB=16,Rt△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，那么的斜邊上的中線的長(zhǎng)度為_____________.【答案】8.【解析】旋轉(zhuǎn)是全等變換，所以所以Rt△ABC與全等，且=CD，∵Rt△ABC的斜邊AB=16，∴CD=8，∴=8，答案填8.【方法指導(dǎo)】在幾何圖形變換中，平移、軸對(duì)稱、對(duì)折、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱等都是全等變換，所以，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊的中線、高和對(duì)應(yīng)角平分線等都相等．2．〔2013，17，4分〕如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，以下結(jié)論：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+，其中正確的序號(hào)是?！舶涯阏J(rèn)為正確的都填上〕【答案】①②④.【解析】∵在正方形ABCD與等邊三角形AEF中，∴AB=BC=CD=DA，AE=EF=AF，∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE，有DC-DF=BC-BE，即CE＝CF，①正確；∵CE=CF，∠C=90°，∴∠FEC=45°，而∠AEF=60°，∴∠AEB＝180°-60°-45°=75°，②正確；根據(jù)分析BE+DF≠EF，③不正確；在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF·sin45°=.在Rt△ADF中，設(shè)AD=x，那么DF=x-，根據(jù)勾股定理可得，，解得，x1=，〔舍去〕.所以正方形ABCD面積為=2+，④正確.【方法指導(dǎo)】此題考察正方形與等邊三角形.此題涉及正方形、等邊三角形相關(guān)知識(shí)，同時(shí)應(yīng)用勾股定理、全等三角形等解題.具有一定的綜合性.解題的關(guān)鍵是對(duì)所給命題運(yùn)用相關(guān)知識(shí)逐一驗(yàn)證.3．〔2013，13，3分〕對(duì)角線互相___________的平行四邊形是菱形.【答案】垂直．【解析】根據(jù)菱形的判定條件，其中有"對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形〞.【方法指導(dǎo)】掌握菱形的判定與性質(zhì)，我們可以從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性這幾個(gè)方面概括與總結(jié)，形成系統(tǒng)知識(shí)，便于復(fù)習(xí)穩(wěn)固.4．〔2013，17，3分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且OQ＝OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．【答案】(2，4－2)．【解析】分析：根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP的長(zhǎng)，再求出AP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2．∵QO=OC，∴BQ=OB－OQ=2－2．∵正方形OABC的邊AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ．∴=，即=．解得BP=2－2．∴AP=AB－BP=2－〔2－2〕=4－2．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，4－2〕．所以應(yīng)填2，4－2．【方法指導(dǎo)】此題考察了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，比擬簡(jiǎn)單，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)警示】此題是綜合題，掌握所用知識(shí)不全面而出錯(cuò)．5．〔2013，18，3分〕如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD部．將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G．假設(shè)，那么〔用含k的代數(shù)式表示〕．【答案】．【解析】分析：根據(jù)中點(diǎn)定義可得DE=CE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，從而得到CE=EF，連接EG，利用"HL〞證明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FG，設(shè)CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC，從而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．解：∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴DE=CE．∵將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°．∴CE=EF．如圖，連接EG．在Rt△ECG和Rt△EFG中，∵EG=EG，CE=EF，∴Rt△ECG≌Rt△EFG〔HL〕，∴CG=FG．設(shè)CG=a，∵，∴GB=ka，∴BC=CG+BG=a+ka=a〔k+1〕．在矩形ABCD中，AD=BC=a〔k+1〕．∴AF=a〔k+1〕．AG=AF+FG=a〔k+1〕+a=a〔k+2〕．在Rt△ABG中，AB===2a．∴==．所以應(yīng)填．【方法指導(dǎo)】此題考察了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及翻折變換的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)警示】此題綜合性很強(qiáng)，不能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)很容易出錯(cuò)．6.〔2013，17，3分〕矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，那么矩形的面積為．【答案】6．【解析】分析：設(shè)矩形一條邊長(zhǎng)為x，那么另一條邊長(zhǎng)為x－2，然后根據(jù)勾股定理列出方程式求出x的值，繼而可求出矩形的面積．解：設(shè)矩形一條邊長(zhǎng)為x，那么另一條邊長(zhǎng)為x－2．由勾股定理得，x2＋(x－2)2=42．整理得，x2－2x－6=0．解得：x=1＋或x=1－〔不合題意，舍去〕．另一邊為：－1．那么矩形的面積為：〔1＋〕〔－1〕=6．所以應(yīng)填6．【方法指導(dǎo)】此題考察了勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度適中，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出等式求處矩形的邊長(zhǎng)，要求同學(xué)們掌握矩形面積的求法．【易錯(cuò)警示】解題時(shí)，用勾股定理可能出錯(cuò)，解一元二次方程可能出錯(cuò)．7．〔2013，17，3分〕如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，那么△AEF的面積是_________________．AABCDEF【答案】．【解析】△AEF是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，所以該三角形的面積為。【方法指導(dǎo)】利用全等三角形的性質(zhì)可知AE=AF，利用直角三角形的性質(zhì)得到∠BAE=30°，所以∠EAF=60°。8.(2013，18,3分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在BC上，四邊形EFCB也是正方形，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧AC，連結(jié)AF,CF那么圖中陰影局部面積為__________.9.〔2013，12，4分〕矩形的外角和等于__________度【答案】360【解析】根據(jù)任意多邊形的外角和都為360°即可得出答案．【方法指導(dǎo)】此題考察了多邊形的外角和，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．計(jì)算時(shí)，要熟記吆！【答案】【解析】利用兩次三角形全等把不規(guī)那么圖形的面積轉(zhuǎn)化成扇形的面積，注意化歸思想方法的運(yùn)用.在AB上截取AH=EF，連接EH交AF于點(diǎn)G，那么∵EF∥AH∴∠HAG=∠GFE，又∵∠AGH=∠FGE∴△AHG≌△FEG∴AH=EF=BE,又∵AB=BC，∴BH=CE又∵∠HBG=∠CEF∴△HBG≌△CEF∵AB=4，∴S陰=S扇形ABC==4.【方法指導(dǎo)】此題考察了正方形的性質(zhì)、扇形的面積公式、不規(guī)那么圖形的面積、全等三角形.此題要求的陰影局部面積是不規(guī)那么圖形，在解題過程中要善于運(yùn)用化歸思想通過三角形全等把不規(guī)那么圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)那么的圖形然后利用面積公式即可求解.10.(2013,18,3分)如圖(六)所示，將△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個(gè)條件______________，使四邊形ABCD為矩形.圖〔六〕圖〔六〕【答案】:∠B=90°(答案不唯一)【解析】：∵△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，當(dāng)∠B=90°時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，∴添加的條件為∠B=90°．故答案為∠B=90°．【方法指導(dǎo)】：此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考察了矩形的判定．11．〔2013，10，3分〕如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點(diǎn)M、N，連接AM，，MN，假設(shè)AB=2，BC=2，那么圖中陰影局部的面積為．【答案】2.【解析】△B與△ADM全等，面積也相等，口DFMN與口BEMN的面積也相等，所以陰影局部的面積其實(shí)就是原矩形面積的一半．，即陰影局部的面積為.【方法指導(dǎo)】仔細(xì)觀察圖形特點(diǎn)，搞清局部與整體的關(guān)系，把不規(guī)那么的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的來計(jì)算.12．〔2013XX，18，3分〕如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，那么PB+PE的最小值是10．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)．分析：由正方形性質(zhì)的得出B、D關(guān)于AC對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，那么此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．解答：解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，那么此時(shí)PB+PE的值最?。咚倪呅蜛BCD是正方形，∴B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案為：10．點(diǎn)評(píng)：此題考察了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，解此題通常是利用兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)得出．13．[2013，18，3分]如圖(六)所示，將△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個(gè)條件______________，使四邊形ABCD為矩形.圖〔六〕圖〔六〕知識(shí)考點(diǎn)：矩形的判定.審題要津：由題意可知四邊形ABCD是平行四邊形，只要滿足"有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形〞即可得到答案.總分值解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，假設(shè)∠B=90°，那么平行四邊形ABCD為矩形.故答案為∠B=90°.名師點(diǎn)評(píng)：熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.ABCDB’1C’D’14.〔2013，11，2分〕如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)AABCDB’1C’D’旋轉(zhuǎn)角為(0<<90)。假設(shè)1=110，那么=。答案：20解析：錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對(duì)象。，延長(zhǎng)錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對(duì)象。交CD于E，那么錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對(duì)象。=20，錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對(duì)象。ED=160，由四邊形的角和為360，可得=2015.〔2013，12，2分〕如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處，折痕為EF。假設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，A=120，那么EF=cm。答案：EQ\r(,3)解析：點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處，如圖，P為AO中點(diǎn)，所以E為A職點(diǎn)，AE＝1，EAO=60，EP＝錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對(duì)象。，所以，EF＝EQ\r(,3)16．〔2013·濰坊，14，3分〕如圖，ABCD是對(duì)角線互相垂直的四邊形，且OB＝OD，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件____________，使ABCD成為菱形．〔只需添加一個(gè)即可〕答案：OA＝OC或AD＝BC或AD//BC或AB＝BC等考點(diǎn)：菱形的判別方法．點(diǎn)評(píng)：此題屬于開放題型，答案不唯一．主要考察了菱形的判定，關(guān)鍵是掌握菱形的判定定理．17.〔2013?5分〕如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為6，小球P所經(jīng)過的路程為．【思路分析】根據(jù)中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，通過相似三角形，來確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長(zhǎng)度【解析】根據(jù)中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點(diǎn)為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得第二次碰撞點(diǎn)為G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞點(diǎn)為H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞點(diǎn)為M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞點(diǎn)為N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E點(diǎn)，AE=AB．由勾股定理可以得出EF=，F(xiàn)G=，GH=，HM=，MN=，NE=，故小球經(jīng)過的路程為：+++++=6，故答案為：6，6．【方法指導(dǎo)】此題主要考察了反射原理與三角形相似知識(shí)的運(yùn)用．通過相似三角形，來確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道學(xué)科綜合試題，屬于難題18.20134分如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，其中點(diǎn)C在AF上，點(diǎn)E，G分別在BC，CD上，假設(shè)∠BAD=135°，∠EAG=75°，那么=__________19.〔2013，16，4分〕對(duì)正方形ABCD進(jìn)展分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點(diǎn)，沿分化線可以剪出一副"七巧板〞，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的"飛機(jī)〞。假設(shè)△GOM的面積為1，那么"飛機(jī)〞的面積為14。［解析］連接AC，四邊形ABCD是正方形，AC⊥BD，E、F分別BC、CD的中點(diǎn)，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直線AC是△EFC底邊上的高所在直線，根據(jù)等腰三角形"三線合一〞，AC必過EF的中點(diǎn)G，點(diǎn)A、O、G和C在同一條直線上，OC=OB=OD，OC⊥OB，F(xiàn)G是△DCO的中位線，OG=CG=eq\f(1,2)OC,M、N分別是OB、OD的中點(diǎn)，OM=BM=eq\f(1,2)OB，ON=DN=eq\f(1,2)OD，OG=OM=BM=ON=DN=eq\f(1,4)BD，等腰直角三角形GOM的面積為1，eq\f(1,2)OM?OG=eq\f(1,2)OM2=1，OM=eq\r(,2),BD=4OM=4eq\r(,2),2AD2=BD2=32,AD=4,圖2中飛機(jī)面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機(jī)面積=正方形ABCD面積-三角形CEF面積=16-2=14。20.〔2013江，16，5分〕菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，那么PM+PN的最小值=5．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)．分析：作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵M(jìn)Q⊥BD，∴AC∥MQ，∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴Q為AB中點(diǎn)，∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴NQ=BC，∵四邊形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：此題考察了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出P的位置．21．〔2013省黔西南州，17，3分〕如下圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，那么菱形的面積為．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)．分析：根據(jù)條件解直角三角形ABE可求出AE的長(zhǎng)，再由菱形的面積等于底×高計(jì)算即可．解答：解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面積=4×2=8，故答案為8．點(diǎn)評(píng)：此題考察了菱形的性質(zhì)：四邊相等以及特殊角的三角函數(shù)值和菱形面積公式的運(yùn)用．22．〔2013省，15，3分〕如圖，矩形中，,點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)△為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為【解析】①當(dāng)時(shí)，由題可知：,即：在同一直線上，落在對(duì)角線上，此時(shí)，設(shè)，那么，，在中，解得②當(dāng)時(shí)，即落在上，，此時(shí)在中，斜邊大于直角邊，因此這種情況不成立。③當(dāng)時(shí)，即落在上，此時(shí)四邊形是正方形，所以【答案】23．〔2013省市，20〕如圖。矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于E,假設(shè)BC=4，△AOE的面積為5，那么sin∠BOE的值為．考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)。解直角三角形分析：此題利用三角形的面積計(jì)算此題考察了矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理及解直角三角形．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答：由△AOE的面積為5，找此三角形的高，作OH⊥AE于E,得OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位線∵BC=4∴OH=2，從而AE=5，連接CE,由AO=OC,OE⊥AC得EO是AC的垂直平分線，∴AE=CE，在直角三角形EBC中，BC=4,AE=5,勾股定理得EB=3，AB=8，在直角三角形ABC中，勾股定理得AC=,BO=AC=,作EM⊥BO于M,在直角三角形EBM中,EM=BEsin∠ABD=3×=，BM=BEcos∠ABD=3×=,從而OM=,在直角三角形E0M中，勾股定理得OE=,sin∠BOE=三、解答題1.〔2013市(A)，24，10分〕如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF、BF，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．〔1〕求證：OE＝OF；〔2〕假設(shè)BC＝，求AB的長(zhǎng)．【答案】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC．∴AE＝CF，∴△AEO≌△CFO〔ASA〕．∴OE＝OF．〔2〕連接BO．∵OE＝OF，BE＝BF，∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO．∴∠BOF＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCF＝90°．又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA，∴∠BAC＝∠EOA．∴AE＝OE．∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF．又∵BF＝BF，∴△BOF≌△BCF〔HL〕．∴∠OBF＝∠CBF．∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE．∵∠ABC＝90°，∴∠OBE＝30°．∴∠BEO＝60°．∴∠BAC＝30°．∵tan∠BAC＝，∴tan30°＝，即，∴AB＝6．【解析】〔1〕證明△AEO≌△CFO解決．〔2〕連接BO，根據(jù)等腰三角形"三線合一〞的性質(zhì)，得∠FBO＝∠EBO，然后證明△BOF≌△BCF，得∠FBO＝∠FBC，直至證得∠BAC＝30°后，運(yùn)用解直角三角形知識(shí)求解．【方法指導(dǎo)】此題考察矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．以往考題中，與此題圖形相關(guān)的問題多是告訴點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，得以產(chǎn)生△AEO≌△CFO，可得AE＝CF，而此題一改這種命題形式，將AE＝CF當(dāng)作條件呈現(xiàn)，讓學(xué)生證明OE＝OF，顯得精巧細(xì)致，同時(shí)也為后面等腰三角形"三線合一〞性質(zhì)的應(yīng)用創(chuàng)造了條件，進(jìn)而通過∠BEF＝2∠BAC這一條件，貫穿與未知的聯(lián)系，是一道不可多得的好的直線型幾何綜合題．2.〔2013黃岡，17，6分〕如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO＝∠DCO．【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°．∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°．∴OH＝BD＝OB．∴∠OHB＝∠OBH．又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC．∴∠OHB＝∠ODC．在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO．【解析】根據(jù)菱形的對(duì)邊平行，對(duì)角線互相垂直，易知∠OBH＝∠ODC，∠ODC＋∠DCO＝90°．再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分及DH⊥AB，易證∠OHB＝∠OBH，∠OHB＋∠DHO＝90°．最后根據(jù)等角的余角相等證得∠DHO＝∠DCO．【方法指導(dǎo)】此題考察菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及等角的余角相等．熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)是求解關(guān)鍵．解答此題也可通過證明∠DHO＝∠ODH＝∠DCO解決，這可由∠ODH＋∠DBH＝90°，∠ODC＋∠DCO＝90°，∠DBH＝∠ODC及OH＝BD＝OD證得．3．〔2013，28，8分〕如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)BP交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．〔1〕求證：△APB≌△APD；〔2〕DF︰FA＝1︰2，設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，線段PF的長(zhǎng)為y．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x＝6時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)．【思路分析】〔1〕要證明△APB≌△APD，只要根據(jù)菱形的鄰邊相等、一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，用"邊角邊〞證明即可；〔2〕根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△AFP∽△CBP，將DF︰FA＝1︰2變形，得AF︰AD＝2︰3，即AF︰BC＝2︰3，進(jìn)一步可以得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；先求出當(dāng)x＝6時(shí)y的值，再證明△DFG∽△AFB，從而可以求出線段FG的長(zhǎng)．【解】【方法指導(dǎo)】此題考察了相似三角形的判定和菱形的性質(zhì)．特殊四邊形的性質(zhì)和判定一直是中考命題的熱點(diǎn)，常用的菱形的性質(zhì)有：①菱形的四條邊相等；②菱形的對(duì)角線互相垂直平分；③菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．【易錯(cuò)警示】不會(huì)運(yùn)用菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角就不會(huì)證明三角形全等，不會(huì)運(yùn)用菱形的性質(zhì)證明三角形相似就解決不了問題．4.〔2013，23，10分〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．〔1〕求證：AB⊥AE；〔2〕假設(shè)BC2=AD·AB，求證：四邊形ADCE為正方形．【思路分析】〔1〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據(jù)"SAS〞可判斷△BCD≌△ACE，那么∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結(jié)論；〔2〕由于BC=AC，那么AC2=AD?AB，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，那么∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．【解】證明：〔1〕∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠B=45°．由旋轉(zhuǎn)得DC=EC，且∠DCE=∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE.∴在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE.∴∠CAE=∠B=∠CAE=45°.又∠BAC=45°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴AB⊥AE.〔2〕∵AC=BC,假設(shè)BC=AD·AB,那么AC=AD·AB,即,又∠CAD=∠BAC.∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB=90°.∴四邊形ADCE是矩形(三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形).再由DC=CE，可得四邊形ADCE是正方形.【方法指導(dǎo)】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考察了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等、相似的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．【易錯(cuò)警示】證明四邊形ADCE是矩形、菱形的條件不夠，從而感覺無從入手．5.〔2013，23，12分〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)。BE=2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接CF.〔1〕求證：四邊形BCFE是菱形；〔2〕假設(shè)CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積.【思路分析】從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因?yàn)锽E=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC為60°，所以菱形的邊長(zhǎng)也為4，求出菱形的高面積就可求．【解】〔1〕證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，BC=2DE，又BE=2DE，EF=BE，∴BC=BE=EF，EF∥BC，∴四邊形BCFE是菱形；……………(6分)〔2〕解：連接BF交CE于點(diǎn)O.∵在菱形BCFE中，∠BCF=120°，CE=4，∴BF⊥CE，∠BCO=∠BCF=60°，OC=CE=2。在Rt△BOC中，tan60°=,∴OB=2tan60°,BF=4tan60°。∴菱形BCFE的面積=CE·BF=×4×4tan60°=8.……………〔12分〕【方法指導(dǎo)】此題考察菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．6．〔2013，22，7分〕如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．〔1〕求證：AF＝DC；〔2〕假設(shè)AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．AABCDEF【解析】證明：〔1〕∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE，∴AF＝DB．∵AD是BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC．〔2〕四邊形ADCF是菱形．理由：由〔1〕知，AF＝DC，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC邊上的中線，∴AD＝BC＝DC．∴平行四邊形ADCF是菱形．【方法指導(dǎo)】利用全等三角形的性質(zhì)得出相等的線段，根據(jù)題目中的條件和三角形中線的性質(zhì)，可以判定四邊形為菱形。7．〔2013，18，9分〕如圖8，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的長(zhǎng).【思路分析】因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，在Rt△AOB中，兩條邊，由勾股定理可求出第三邊，進(jìn)而求得答案.【解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO在Rt△AOB中，∵AB=5，AO=4，由勾股定理，得BO=3∴BD=6【方法指導(dǎo)】解決菱形的對(duì)角線的相關(guān)問題，通常都是先根據(jù)菱形的對(duì)角線的性質(zhì)得到相關(guān)的結(jié)論，然后再根據(jù)題中的條件進(jìn)展計(jì)算或推理證明。.8．〔2013,23,10分〕〔1〕如圖1，△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD。請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE=CD；〔尺規(guī)作圖，不寫做法，保存作圖痕跡〕〔2〕如圖2，△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說明理由；〔3〕運(yùn)用〔1〕〔2〕解答中所積累的經(jīng)歷和知識(shí)，完成下題：如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的長(zhǎng)?！舅悸贩治觥俊?〕根據(jù)題目要求進(jìn)展尺規(guī)作圖，并加以證明其它結(jié)論；〔2〕用三角形全等分析BE與CD相等關(guān)系；〔3〕構(gòu)件建幾何模型解〔添加輔助線、運(yùn)用勾股定理〕決實(shí)際問題.【解】〔1〕完成作圖，字母標(biāo)注正確。證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形?！郃D=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600?！唷螧AD+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠CAD=∠EAB∴△CAD≌△EAB∴BE=CD〔2〕BE=CD理由同〔1〕：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900∴∠CAD=∠EAB∴△CAD≌△EAB∴BE=CD〔3〕由〔1〕〔2〕的解題經(jīng)歷可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=900，那么AD＝AB＝1000，∠ABD＝450，∴BD＝100連接CD，那么由〔2〕可得BE＝CD?！摺螦BC＝450，∴∠DBC＝900，在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100∴CD＝＝100∴BE的長(zhǎng)為100米【方法指導(dǎo)】此題考察了與等邊三角形、正方形的全等應(yīng)用實(shí)踐操作、探究題.圖形與幾何的實(shí)踐、探究題，是新中考比擬熱點(diǎn)的命題方向.9.〔2013，25，12分〕如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與點(diǎn)C、D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，PQ的中點(diǎn)為M.(1)求證：△ADP∽△ABQ；(2)假設(shè)AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x,BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長(zhǎng)的最小值；(3)假設(shè)AD=10,AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值圍?！舅悸贩治觥俊?〕尋找∠ADP=∠ABQ，∠PAD=∠QAB，證△ADP∽△ABQ；〔2〕證△ADP∽△ABQ，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，將DP=x,BM2=y代入比例式可以求出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式求最小值；〔3〕由△ADP∽△ABQ得，解出a，結(jié)再探究其取值圍.【解】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC+∠ABQ=180°∴∠ABQ=∠ADP=90°∵AQ⊥AP∴∠PAQ=90°∴∠QAB+∠BAP=90°又∵∠PAD+∠BAP=90°∴∠PAD=∠QAB在△ADP與△ABQ中∵∴△ADP∽△ABQ〔2〕如圖，作MN⊥QC，那么∠QNM=∠QCD=90°又∵∠MQN=∠PQC∴△MQN∽△PQC∴∵點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)∴∴又∵∴∵△ADP∽△ABQ∴∴∵∴在Rt△MBN中，由勾股定理得：即：當(dāng)即時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值.(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)PQ中點(diǎn)M落在AB上時(shí)，10108ABCPDQM10a10此時(shí)QB=BC=10由△ADP∽△ABQ得解得：∴隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值圍為：【方法指導(dǎo)】此題綜合考察矩形、相似三角形、線段中點(diǎn)、勾股定理、二欠函數(shù)等知識(shí)，方程建摸、函數(shù)建摸的應(yīng)用.10.〔2013省，22，8分〕如題22圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點(diǎn)C．〔1〕設(shè)Rt△CBD的面積為，Rt△BFC的面積為，Rt△DCE的面積為，那么+〔用"＞〞、"=〞、"＜〞填空〕；〔2〕寫出題22圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)展證明．【思路分析】〔1〕由"等底等高的三角形面積相等〞可以直接得到答案；〔2〕由矩形角為直角和對(duì)邊平行的性質(zhì)，利用"兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似〞即可得證三對(duì)相似三角形.【解】〔1〕=；〔2〕△BCD∽△DEC；△BCD∽△CFB；△DEC∽△CFB.選證△BCD∽△CFB，理由如下〔可以純粹利用角間關(guān)系證明〕：在矩形ABCD中和矩形BDEF中∠DBF=∠F=∠BCD=∴∠DBC+∠CBF=∠BCF+∠CBF=∴∠DBC=∠BCF∴△BCD∽△CFB選證△BCD∽△DEC，理由如下〔可以利用直角和平行邊證明〕：在矩形ABCD中和矩形BDEF中∠E=∠BCD=，且BD∥EF∴∠BDC=∠DCE∴△BCD∽△DEC選證△DEC∽△CFB，理由如下：在矩形ABCD中和矩形BDEF中∠E=∠F=∠BCD=∴∠BCF+∠CBF=∠BCF+∠DCE=∴∠CBF=∠DCE∴△DEC∽△CFB【方法指導(dǎo)】解決解直角三角形的面積或者判定相似的時(shí)候，我們往往要關(guān)注"直角〞和"直角邊〞，有了直角，證相似只需再找一對(duì)角相等，有了直角邊，計(jì)算就方便.11．(2013,26,10分)如圖(十二)所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°.點(diǎn)P是△ABC外角∠B的角平分線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P/是點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)PP/交BC于點(diǎn)M、BP/交AC于點(diǎn)D，連結(jié)BP、AP/、CP/.(1)假設(shè)四邊形BPCP/為菱形，求BM的長(zhǎng)；(2)假設(shè)△BMP/∽△ABC，求BM的長(zhǎng)；(3)假設(shè)△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積.圖(十一)圖(十一)②③①【答案】：解：∵四邊形BPCP/是菱形，∴BC與PP/互相平分，∴BM=eq\f(1,2)BC=3.(2)∵△BMP/∽△ABC，且△ABC是等腰直角三角形，∴△BMP/是等腰直角三角形，∴BM=MP/,∠BPP/=45°.∵P與P/關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴∠BPM=45°，PM=MP/，∴BM=MP.∵CP平分∠NCB，∴∠BCP=eq\f(1,2)∠B=eq\f(1,2)(180°-45°)=67.5°.又∵∠CPM=90°-∠BCP=90°-67.5°=22.5°，∴∠BPC=∠BPM+∠CPM=45°+22.5°=67.5°，∴∠BCP=∠BPC，∴BP=BC=6.在Rt△BMP中，∵BM2+MP2=BP2，2BM2=62，∴BM=3eq\r(2).(3)由題意，知∠BAD=45°.①當(dāng)AB=AD時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為D.在Rt△AED中，DE=AD·sin∠DAB=6×sin45°=3eq\r(2),此時(shí)△ABD的面積為：eq\f(1,2)AB·DE=eq\f(1,2)×6×3eq\r(2)=9eq\r(2).胸、地(1,2)②當(dāng)AD=BD時(shí)，有∠ABD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰在解三角形，且AB=BC，∴D為AC的中點(diǎn)，∴△ABD的面積為△ABC面積的一半，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB·AC=eq\f(1,4)×6×6=9.③當(dāng)AB=BD時(shí)，∵∠BAD=45，∴∠ABC=90°，此時(shí)△ABD就是△ABC，∴△ABD的面積為eq\f(1,2)AB·BD=eq\f(1,2)AB·BC=eq\f(1,2)×6×6=18.綜上所述，△ABD的面積為9eq\r(2),或9,或18.【方法指導(dǎo)】：此題考察了菱形的性質(zhì)及運(yùn)用，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，尤其是第三問注意分類討論的思想方法.胸、地(9,2)12.(株洲,22)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.⑴求證：△AOE≌△COF；⑵假設(shè)∠EOD=30°，求CE的長(zhǎng).【答案】：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O∴AD//BC，OA=OC∴∠EAO=∠FCO又∵∠EOA=∠FOC〔對(duì)頂角相等〕∴△AOE≌△COF〔ASA〕〔2〕解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°∴△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形∴△ABD邊上的高為2tan60°=,∠BDA=60°〔即∠EDO=60°〕又∵∠EOD=30°∴△OED為Rt△∴EF的長(zhǎng)等于△ABD邊上的高，°∴【方法指導(dǎo)】此題考察了菱形的性質(zhì)，菱形是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形所有的性質(zhì)外，還具有四條邊相等，對(duì)角線互相垂直的性質(zhì).第二問重在掌握解特殊三角形的知識(shí).13．〔2013，26，10分〕如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．〔1〕BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；〔2〕當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．考點(diǎn)：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1〕根據(jù)兩直線平行，錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用"角角邊〞證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；〔2〕先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．解答：解：〔1〕BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC〔AAS〕，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；〔2〕當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴?AFBD是矩形．點(diǎn)評(píng)：此題考察了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是根底題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解此題的關(guān)鍵．14．〔2013，23，10分〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接CF．〔1〕求證：四邊形BCFE是菱形；〔2〕假設(shè)CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．分析：從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因?yàn)锽E=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC為60°，所以菱形的邊長(zhǎng)也為4，求出菱形的高面積就可求．解答：〔1〕證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，又∵BE=FE，∴四邊形BCFE是菱形；〔2〕解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長(zhǎng)為4，高為2，∴菱形的面積為4×2=8．點(diǎn)評(píng)：此題考察菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．15．〔2013，25，10分〕四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，連接AE、AF、EF．〔1〕求證：△ADE≌△ABF；〔2〕填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；〔3〕假設(shè)BC=8，DE=6，求△AEF的面積．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1〕根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用"SAS〞易證得△ADE≌△ABF；〔2〕由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，那么∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；〔3〕先利用勾股定理可計(jì)算出AE=10，在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是DCB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF〔SAS〕；〔2〕解：∵△ADE≌△ABF，∴∠BAF=∠DAE，而∠DAE+∠EBF=90°，∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；故答案為A、90；〔3〕解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE==10，∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面積=AE2=×100=50〔平方單位〕．點(diǎn)評(píng)：此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考察了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．16.〔2013，18，7分〕如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE=AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF．〔1〕請(qǐng)你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；〔2〕連接EF，假設(shè)AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長(zhǎng)．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；〔2〕首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，那么可求得線段EF的長(zhǎng)．解答：解：〔1〕菱形．理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF，∴四邊形AEDF是菱形；〔2〕連接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴EF=AE=8厘米．點(diǎn)評(píng)：此題考察了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比擬簡(jiǎn)單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17.〔2013，24，9分〕如圖，在□ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，∠AND=90°，連接CM交DN于點(diǎn)O.〔1〕求證：⊿ABN≌⊿CDM；〔2〕過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，交DN于點(diǎn)P，假設(shè)PE=1，∠1=∠2，求AN的長(zhǎng).〔第〔第24題〕18．〔2013，23，9分〕某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，用兩塊完全一樣的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1〕所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α〔0°＜α＜90°〕，如圖〔2〕，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．〔1〕求證：AM=AN；〔2〕當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．分析：〔1〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，進(jìn)而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；〔2〕利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四邊形ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．解答：〔1〕證明：∵用兩塊完全一樣的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1〕所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α〔0°＜α＜90°〕，∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN〔ASA〕，∴AM=AN；〔2〕解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是菱形．理由：連接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°，∴∠FAB=120°，∵∠B=60°，∴AF∥BP，∴∠F=∠FPC=60°，∴∠FPC=∠B=60°，∴AB∥FP，∴四邊形ABPF是平行四邊形，∵AB=AF，∴平行四邊形ABPF是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關(guān)鍵．19．〔2013，24，10分〕如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．〔1〕求證：OE=OF；〔2〕假設(shè)CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；〔3〕當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．考點(diǎn)：矩形的判定；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．分析：〔1〕根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而得出答案；〔2〕根據(jù)得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，即可得出CO的長(zhǎng)；〔3〕根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．解答：〔1〕證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，∴∠2=∠5，4=∠6，∵M(jìn)N∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，∴OE=OF；〔2〕解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；〔3〕答：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了矩形的判定、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)得出∠ECF=90°是解題關(guān)鍵．20．〔2013，25，10分〕如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．〔1〕求證：；〔2〕設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；〔3〕當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動(dòng)〔當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停頓運(yùn)動(dòng)〕，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊局部的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值圍．考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：〔1〕由相似三角形，列出比例關(guān)系式，即可證明；〔2〕首先求出矩形EFPQ面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積；〔3〕本問是運(yùn)動(dòng)型問題，要點(diǎn)是弄清矩形EFPQ的運(yùn)動(dòng)過程：〔I〕當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖①所示，此時(shí)重疊局部是一個(gè)矩形和一個(gè)梯形；〔II〕當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖②所示，此時(shí)重疊局部是一個(gè)三角形．解答：〔1〕證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴．〔2〕解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，∴，即，∴EH=4HF，EF=x，那么EH=x．∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x．S矩形EFPQ=EF?EQ=x?〔4﹣x〕=﹣x2+4x=﹣〔x﹣〕2+5，∴當(dāng)x=時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．〔3〕解：由〔2〕可知，當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，矩形的長(zhǎng)為，寬為4﹣×=2．在矩形EFPQ沿射線AD的運(yùn)動(dòng)過程中：〔I〕當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖①所示．設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)K、N，與AD分別交于點(diǎn)H1，D1．此時(shí)DD1=t，H1D1=2，∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t，．∵KN∥EF，∴，即，得KN=〔2﹣t〕．S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=〔KN+EF〕?HH1+EF?EQ1=[〔2﹣t〕+]×t+〔2﹣t〕=t2+5；〔II〕當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖②所示．設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)K、N，與AD交于點(diǎn)D2．此時(shí)DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t，∵KN∥EF，∴，即，得KN=5﹣t．S=S△AKN=KN?AD2=〔5﹣t〕〔4﹣t〕=t2﹣5t+10．綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=．點(diǎn)評(píng)：此題是運(yùn)動(dòng)型相似三角形壓軸題，考察了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達(dá)式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．難點(diǎn)在于第〔3〕問，弄清矩形的運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵．21.〔2013，19，8分〕如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMAD，PNCD，垂ABCDNMABCDNMP(1)求證：ADB=CDB；(2)假設(shè)ADC=90，求證：四邊形MPND是正方形。解析：證明：(1)∵BD平分ABC，∴ABD=CBD。又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD△CBD。∴ADB=CDB。(4分)(2)∵PMAD，PNCD，∴PMD=PND=90。又∵ADC=90，∴四邊形MPND是矩形?！逜DB=CDB，PMAD，PNCD，∴PM=PN。∴四邊形MPND是正方形。(8分)22．[2013，26，10分]如圖(十二)所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°.點(diǎn)P是△ABC外角∠B的角平分線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P/是點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)PP/交BC于點(diǎn)M、BP/交AC于點(diǎn)D，連結(jié)BP、AP/、CP/.(1)假設(shè)四邊形BPCP/為菱形，求BM的長(zhǎng)；(2)假設(shè)△BMP/∽△ABC，求BM的長(zhǎng)；(3)假設(shè)△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積.圖(十一)圖(十一)②③①知識(shí)考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算.審題要津：〔1〕根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分即可求解；〔2〕根據(jù)勾股定理求解；〔3〕根據(jù)面積公式求解.總分值解答：解：〔1〕∵四邊形BPCP/是菱形，∴BC與PP/互相平分，∴BM=eq\f(1,2)BC=3.(2)∵△BMP/∽△ABC，且△ABC是等腰直角三角形，∴△BMP/是等腰直角三角形，∴BM=MP/,∠BPP/=45°.∵P與P/關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴∠BPM=45°，PM=MP/，∴BM=MP.∵CP平分∠NCB，∴∠BCP=eq\f(1,2)∠B=eq\f(1,2)(180°-45°)=67.5°.又∵∠CPM=90°-∠BCP=90°-67.5°=22.5°，∴∠BPC=∠BPM+∠CPM=45°+22.5°=67.5°，∴∠BCP=∠BPC，∴BP=BC=6.在Rt△BMP中，∵BM2+MP2=BP2，2BM2=62，∴BM=3eq\r(2).(3)由題意，知∠BAD=45°.①當(dāng)AB=AD時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為D.在Rt△AED中，DE=AD·sin∠DAB=6×sin45°=3eq\r(2),此時(shí)△ABD的面積為：eq\f(1,2)AB·DE=eq\f(1,2)×6×3eq\r(2)=9eq\r(2).胸、地(1,2)錯(cuò)誤！未指定書簽。②當(dāng)AD=BD時(shí)，有∠ABD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰在解三角形，且AB=BC，∴D為AC的中點(diǎn)，∴△ABD的面積為△ABC面積的一半，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB·AC=eq\f(1,4)×6×6=9.③當(dāng)AB=BD時(shí)，∵∠BAD=45，∴∠ABC=90°，此時(shí)△ABD就是△ABC，∴△ABD的面積為eq\f(1,2)AB·BD=eq\f(1,2)AB·BC=eq\f(1,2)×6×6=18.綜上所述，△ABD的面積為9eq\r(2),或9,或18.名師點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性壓軸題，題目難度較大，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用.胸、地(9,2)錯(cuò)誤！未指定書簽。23．〔2013·，28，"分〕如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF．〔1〕證明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．〔2〕假設(shè)AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；〔3〕在〔2〕的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，∠EFD＝∠BCD，并說明理由．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC＝∠DAC，再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，進(jìn)而得到∠AFD＝∠CFE；〔2〕首先證明∠CAD＝∠ACD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD＝CD，再有條件AB＝AD，CB＝CD可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四邊形ABCD是菱形；〔3〕首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF＝∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，進(jìn)而得到∠EFD＝∠BCD．解答：〔1