選擇性空間向量與立體幾何專題01空間向量的基本概念及線性運(yùn)算

空間向量與立體幾何專題01空間向量的基本概念及線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.類比平面向量認(rèn)識(shí)并理解空間向量的相關(guān)概念、及空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律2.類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題.知識(shí)梳理（一）空間向量的有關(guān)概念在空間，像位移、力、速度、加速度這樣既有大小又有方向的量，叫作空間向量.空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.(1)空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的意義，如圖.加法：三角形法則與平行四邊形法則eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；減法：三角形法則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b；數(shù)乘運(yùn)算：eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R).(2)空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：運(yùn)算律(其中λ，μ∈R)(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.（二）特殊的空間向量零向量：規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量：模為1的向量叫做單位向量相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量（三）共線向量及共線向量定理1．空間向量共線的充要條件：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb．2．方向向量：如圖1.17，是直線上一點(diǎn)，在直線上取非零向量，則對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(directionvector)．這樣，直線上任意一點(diǎn)都可以由直線上的一點(diǎn)和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定．如圖1.18，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．3．向量和直線平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.4．共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．5．空間向量共面的充要條件：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．三、考點(diǎn)應(yīng)用舉例考點(diǎn)一：空間向量的基本概念例1．（1）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯(cuò)誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯(cuò)誤；向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.（2）如圖，在長方體中，，，，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）單位向量有__________________；（2）模為的向量有_________個(gè)；（3）與相等的向量有_________；（4）的負(fù)向量有_________；（5）化簡結(jié)果的向量：_________，_________．【答案】（1），，，，，，，8，，，，、（或）【分析】根據(jù)向量的相關(guān)定義以及加減運(yùn)算法則即可逐一求解.【詳解】根據(jù)相等向量，相反向量，以及向量的加減運(yùn)算法則以及模長定義即可求解(1)(2)(3)(4).,,故答案為:，，，，，，，;8;，，;，，、;（或）;針對(duì)訓(xùn)練1（1）．下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【答案】A【分析】由于向量的長度與向量的方向無關(guān)，相反向量的長度相，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，對(duì)于B，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，兩個(gè)空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯(cuò)誤，故選：A（2）如圖，在長方體中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．【答案】共面【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則化簡得到，即可得到是共面向量.【詳解】由空間向量的運(yùn)算法則，可得，又由，可得，所以是共面向量.故答案為：共面.考點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算例2．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，所以.故選：A針對(duì)訓(xùn)練2：（1）．化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)向量加減法運(yùn)算規(guī)則去求化簡即可,【詳解】故選：D（2）如圖，在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減法進(jìn)行求解.【詳解】解：在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，，所以故選：A例3：如圖所示，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且為的中點(diǎn)，，則的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】，所以，故選：針對(duì)訓(xùn)練3：如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示，得出，結(jié)合條件即可得出答案.【詳解】為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，.，，，，故選：B.考點(diǎn)三：共性向量的應(yīng)用例4．已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點(diǎn)不共面 D．，，，四點(diǎn)共面【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，又，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，與不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，若，，，四點(diǎn)共面，則有，，即，故，故，，，四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.針對(duì)訓(xùn)練4（1）．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點(diǎn)共線即可．【詳解】解：，又與過同一點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．故選：C．例5．設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】.【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量定理，列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，，則有，又A，B，D三點(diǎn)共線，于是，即，而不共線，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值是.針對(duì)訓(xùn)練5：如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的相等,可得方程，即可求得答案.【詳解】由題意可知空間向量不共線，且，即，則，即，故選：C.考點(diǎn)四：共面向量的應(yīng)用例6．在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件逐項(xiàng)判斷即可求得結(jié)論．【詳解】解：空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對(duì)于A，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于C，，則，，為共面向量，所以與，，一定共面；對(duì)于D，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面．故選：C．針對(duì)訓(xùn)練6（1）．對(duì)空間中任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用向量來判定點(diǎn)在平面內(nèi)，只需要滿足：（）【詳解】因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不共線，則不共線，若四點(diǎn)共面，則存在唯一的一組實(shí)數(shù)使得，即，變形得，對(duì)于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，可得：，則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：（2）多選題下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．空間的任意三個(gè)向量都不共面B．空間的任意兩個(gè)向量都共面C．三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個(gè)向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.畫圖舉例判斷；B.利用相等向量判斷；C.畫圖舉例判斷；D.畫圖舉例判斷；【詳解】A.如圖所示：，三個(gè)向量共面，故錯(cuò)誤；B.由相等向量知：通過平移，兩個(gè)向量的起點(diǎn)總可以在同一點(diǎn)，故兩個(gè)向量都共面，故正確；C.如圖所示：，在正方體中三個(gè)向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，在正方體中三向量兩兩共面，但這三個(gè)向量一定共面，故錯(cuò)誤；故選：ACD（3）．已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則m=________.【答案】【分析】根據(jù)共面向量定理求解.【詳解】故答案為：例7.如圖，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)，作射線，，，，在四條射線上分別取點(diǎn)，，，，使．求證：，，，四點(diǎn)共面．分析：欲證，，，四點(diǎn)共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運(yùn)算由，，共面的表達(dá)式推得