第08講函數與方程

第08講函數與方程1．函數的零點與方程的解(1)函數零點的概念對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)函數零點與方程實數解的關系方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有零點?函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．(3)函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．一．函數零點所在區(qū)間的判定例1．（1）函數的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數的零點所在區(qū)間需滿足的條件是函數在區(qū)間端點的函數值符號相反.【詳解】解：∵，，則，∴函數的零點所在區(qū)間是

，當，且時，，，，ACD中函數在區(qū)間端點的函數值均同號，根據零點存在性定理，B為正確答案.故選：B.【點睛】本題考查函數的零點存在性定理，連續(xù)函數在某個區(qū)間存在零點的條件是函數在區(qū)間端點處的函數值異號.（2）函數的圖象與函數的圖象交點所在的區(qū)間可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造函數，由零點存在定理判斷．【詳解】設，是上的增函數，在和上都是減函數，，因此在和上都是增函數，由選項只考慮上的情形，，，所以在上有零點．所以函數的圖象與函數的圖象交點所在的區(qū)間可能為故選：B．（3）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷單調性，利用根的存在性定理即可判定其解所在區(qū)間【詳解】都是上的增函數，故是上的增函數，又由，，，因為，所以，，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：C.（4）（多選）下列函數中，在區(qū)間上存在唯一零點的有（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根據給定條件，求出函數的零點、利用零點存在性定理判斷即可作答.【詳解】對于A，由，即，得或，因此函數在上有兩個零點，A不正確；對于B，在定義域上單調遞增，，，則存在，使得，因此函數有唯一零點，且在區(qū)間上，B正確；對于C，函數在上單調遞增，，因此函數有唯一零點1，且在區(qū)間上，C正確；對于D，函數在定義域上單調遞減，，存在，使得，因此函數有唯一零點，且在區(qū)間上，D正確.故選：BCD（5）用二分法求方程在區(qū)間內的實根，下一個有根區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，其中，及，求得，即可求解．【詳解】由題意，設，其中，又由，則，可得方程根在區(qū)間．故選：A．【點睛】本題主要考查了二分法的應用，其中解答中熟記二分法的概念，以及合理應用零點的存在定理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．（6）函數的零點所在區(qū)間為，則____________．【答案】2【分析】利用導數確定函數的單調性，然后判斷和正負，根據零點存在性定理即可求自然數n的取值．【詳解】，當時，，所以在上單調遞增．因為，，∴存在唯一的使得，又∵函數的零點所在區(qū)間為，所以．故答案為：2．【復習指導】：確定函數零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．二．函數零點個數的判定例2．（1）函數的零點個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】函數的零點，即令，根據此題可得，在平面直角坐標系中分別畫出冪函數和指數函數的圖像，可得交點只有一個，所以零點只有一個，故選B【考點定位】本小題表面上考查的是零點問題，實質上考查的是函數圖象問題，該題涉及到的圖像為冪函數和指數函數（2）函數的零點的個數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得，作出函數、的圖象，觀察兩函數圖象的交點個數，即可得解.【詳解】令可得，則函數的零點個數即為函數、圖象的交點個數，分別作函數、的圖象，如圖，由圖可得交點個數為，因此，函數的零點的個數是，故選：B.（3）已知函數，則函數的零點個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】令，根據分別求出函數的零點或零點所在區(qū)間，再作出函數的圖象，根據數形結合即可求出函數的零點個數；【詳解】令．①當時，，則函數在上單調遞增，由于，由零點存在定理可知，存在，使得；②當時，，由，解得．作出函數，直線的圖象如下圖所示：由圖象可知，直線與函數的圖象有兩個交點；直線與函數的圖象有兩個交點；直線與函數的圖象有且只有一個交點．綜上所述，函數的零點個數為5．故選：D．（4）設函數，則函數的零點的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】分別畫出函數和的圖像，根據圖像得出結論.【詳解】因為，所以，轉化為如圖，畫出函數和的圖像，當<0時，有一個交點，當>0時，，此時，是函數的一個零點，，滿足，所以在(2,4)有兩個交點，同理，所以在(4,6)有兩個交點，，所以在(6,8)內沒有交點，當>7時，恒有，所以兩個函數沒有交點所以，共有6個.故選：C.【點睛】本題考查分段函數的知識點，涉及到函數的零點的知識點，考查了數形結合的思想，屬于基礎題型.（5）已知函數則函數的零點個數為______________.【答案】4【分析】根據函數零點定義,利用換元法令,代入可得.對分段函數分類討論,即可求得的值.畫出函數圖像,結合函數圖像即可判斷交點個數,進而判斷零點個數.【詳解】函數的零點,滿足,即令,則當時,,解得,當時,,解得,綜上可知,或,作出圖象如圖所示：當無解,有3個解,有1個解,綜上所述,函數的零點個數為4.故答案為:4【點睛】本題考查了分段函數零點的求法,換元法求函數值,數形結合求函數圖像交點個數的應用,屬于中檔題.【復習指導】：函數零點個數的判定有下列幾種方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點．(3)畫兩個函數圖象，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．三．函數零點的應用命題點1根據函數零點個數求參數例3．（1）已知函數，若關于x的方程有四個不同的解，則實數m的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，根據的解析式，可得的單調性、奇偶性，即可作出的圖象，即可求得t的最小值，利用導數判斷的單調性，結合t的范圍，作出的圖象，數形結合，可得時，的圖象與圖象有2個交點，此時與分別與有2個交點，即即有四個不同的解，滿足題意，即可得答案.【詳解】設，則有四個不同的解，因為，所以為偶函數，且當時，為增函數，所以當時，為減函數，所以，即，當時，，則，令，解得，所以當時，，為減函數，當時，，為增函數，又，作出時的圖象，如圖所示：所以當時，的圖象與圖象有2個交點，且設為，作出圖象，如下圖所示：此時與分別與有2個交點，即有四個不同的解，滿足題意.綜上實數m的取值范圍為.故選：A【點睛】解題的關鍵是根據解析式，利用函數的性質，作出圖象，將方程求根問題，轉化為圖象求交點個數問題，考查分析理解，數形結合的能力，屬中檔題.（2）若關于的方程在區(qū)間上僅有一個實根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設=，可得函數遞增遞減區(qū)間，由函數在區(qū)間上僅有一個零點，列出方程可得的取值范圍.【詳解】解：設，可得，令，可得，令，可得，可得函數遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，由函數在區(qū)間上僅有一個零點，，，若，則，顯然不符合題意，故，或，可得或，故選C.【點睛】本題主要考查方程的根與函數的零點的關系，利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題.（3）已知函數的零點是和，則________.【答案】【分析】根據函數的零點求出的值即可.【詳解】因為函數的零點是和，所以，解得，所以，故答案為：.（4）若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為__________.【答案】【分析】由題意，去絕對值整理函數解析式，利用零點的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由函數，當時，方程存在根，則解得，解得；當時，方程存在根，則解得，解得；綜上所述，.故答案為：.（5）已知是函數的一個零點，且，，則a的取值范圍是______．【答案】.【分析】先根據零點求出，從而，轉化為在上有解，參變分離后即在上有解，求出，從而得到的取值范圍.【詳解】由題意得：，解得：，故，，，即在上有解，即在上有解，因為，所以當時，，所以，所以a的取值范圍是.故答案為：.（6）若函數，方程有兩解，則實數m的取值范圍為______．【答案】【分析】利用圖像求解函數的零點個數問題．【詳解】二次函數的最高點為，有圖可知與函數有兩個交點，則取值范圍為【點睛】分段函數的實質是將幾個基本函數分段的陳列出來，定義域取不同的范圍，所以綜合性很強，可以將高中體系的任何一個函數及其知識點吸納進來，要求學生儲備的知識很多，不易入手．研究分段函數的性質，實質是研究分段函數的圖像，故分段函數題型的方法用數形結合法．分段函數的研究方法很好的體現了研究函數性質的方法故是高考的熱門考點．命題點2根據函數零點范圍求參數例4．（1）若函數f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內存在一個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【分析】當a＝0，不合題意，舍去，根據函數f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內是單調函數，利用零點存在性定理列不等式求解.【詳解】當a＝0時，f（x）＝1與x軸無交點，不合題意，所以a≠0；函數f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內是單調函數，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.（2）關于的方程在上有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次函數零點的分布列不等式組求解.【詳解】令，要滿足在上有兩個不相等的實根，則，解得故選：D（3）若關于的方程在上有實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當時，令，可得出，可得出，利用函數的單調性求出函數在區(qū)間上的值域，可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】當時，令，則，可得，設，其中，任取、，則.當時，，則，即，所以，函數在上為減函數；當時，，則，即，所以，函數在上為增函數.所以，，，，則，故函數在上的值域為，所以，，解得.故選：A.（4）若函數在上有3個零點，則實數a的取值范圍為______.【答案】【分析】根據給定條件，利用函數零點的意義轉化為求方程根的問題，再分類討論求解作答.【詳解】函數的零點，即方程的根，當時，方程化為：，當時，方程化為：，依題意，方程有3個不等的負根，而方程兩根之積為負，必有一正根一負根，于是得在上有一個負根，在上有兩個相異負根，因此，即，由在上有兩個相異負根得，，解得，在中，，即方程在上有且只有一個負根，所以實數a的取值范圍是.故答案為：（5）設函數f(x)＝log3－a在區(qū)間(1,2)內有零點，則實數a的取值范圍是________．【答案】【解析】根據函數在區(qū)間內是減函數，且在區(qū)間內有零點，可得，解此不等式組求得實數的取值范圍．【詳解】解：函數在區(qū)間內是減函數，函數在區(qū)間內有零點，，即，，即故答案為：【點睛】本題考查函數零點的判定定理的應用，屬于基礎題．命題點3數形結合法求解函數零點問題例5．（1）已知（）是函數的一個零點，若，

，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】分析：在同一坐標系中作出函數y=1nx與y=的圖象，由圖可得結論．詳解：令f（x）=lnx﹣=0，從而有l(wèi)nx=，此方程的解即為函數f（x）的零點，在同一坐標系中作出函數y=1nx與y=的圖象，由圖可得f（a）＜0，f（b）＞0，故選D．（2）已知是函數的一個零點，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】轉化是函數的一個零點為是函數與的交點的橫坐標，畫出函數圖像，利用圖像判斷即可【詳解】因為是函數的一個零點，則是函數與的交點的橫坐標，畫出函數圖像，如圖所示，則當時，在下方，即；當時，在上方，即，故選：B【點睛】本題考查函數的零點問題，考查數形結合思想與轉化思想（3）已知函數的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先可求出，再由得，由得，將其轉化為、與的交點，數形結合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B【點睛】本題考查函數的零點，函數方程思想，對數函數、指數函數的圖象的應用，屬于中檔題.（4）若方程在內有解，則的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程在內有解，轉化為函數的圖象和直線在上有交點，結合選項中的圖象逐一判斷即可.【詳解】根據方程在內有解，轉化為函數的圖象和直線在上有交點．：與直線的交點是，不符合題意，故不正確；：與直線無交點，不符合題意，故不正確；：與直線在區(qū)間上有交點，不符合題意，故不正確；：與直線在上有交點，故正確．故選D．【點睛】函數零點的幾種等價形式：函數的零點函數在軸的交點方程的根函數與的交點.（5）已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．【答案】(0,1)∪(1,4)【詳解】y＝函數y＝kx－2的圖象恒過定點M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.當k＝1時，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時與直線y＝x＋1平行，此時有一個公共點，∴k∈(0,1)∪(1,4)時，兩函數圖象恰有兩個交點．【復習指導】：已知函數零點求參數的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，作出函數的圖象，然后數形結合求解．（6）已知函數，且關于x的方程有3個不同的實數解，則a的取值范圍為______．【答案】【分析】先根據函數的解析式作出函數的圖象，然后利用換元法將關于的方程恰有3個不同的實數根，轉化為有兩個不同的實數根，且，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式組，求解即可得到答案．【詳解】解：因為函數，作出函數圖象如圖所示，因為關于的方程恰有3個不同的實數根，所以令，根據圖象可得，有兩個不同的實數根，且，，，記，則有，解得，所以實數的取值范圍為．故答案為：．【復習指導】：(1)已知函數的零點求參數，主要方法有：①直接求方程的根，構建方程(不等式)求參數；②數形結合；③分離參數，轉化為求函數的最值．(2)已知函數零點的個數求參數范圍，常利用數形結合法將其轉化為兩個函數的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數范圍．(3)函數零點問題一般可以轉化為兩個函數圖象的交點問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關系解決問題．構造兩個函數的交點問題求解，對于函數的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數的交點問題是同一個問題，可以互相轉化；在轉化為兩個函數交點時，如果是一個常函數一個不是常函數，注意讓不是常函數的式子盡量簡單一些．命題點4求零點的和例6．（1）已知，若互不相等的實數，，滿足，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】作函數的圖象,設,結合函數的圖象性質,易得,,進而可求出答案.【詳解】作函數的圖象,如下圖，當時,的圖象為開口向上的拋物線的一部分,對稱軸為,最小值為；當時,為直線的一部分.設,,由圖象可知,,令,解得,則,且,則,即.故選：A【點睛】關鍵點點睛：作出分段函數的圖象，利用二次函數對稱性，轉化為求的取值范圍，利用一次函數的圖象及性質求出，是解題的關鍵.（2）設函數，若函數恰有三個零點，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出在的對稱軸和，根據圖像判斷出，關于對稱，，關于對稱，即可求得.【詳解】函數令，可得：，.∵∴令，可得一條對稱軸方程.∴令，可得一條對稱軸方程.函數恰有三個零點，可知，關于其中一條對稱是對稱的，即，那么.故選：B.【復習指導】：求幾個零點的和：（1）畫圖分析，如需畫兩個函數圖像，常先畫復雜或具有周期性的圖像，再畫簡單的圖像，注意作圖要細致；（2）通常利用對稱軸即可求解.（3）（多選）已知函數f（x）＝，若，且，給出下列結論，其中所有正確命題的編號是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】作出函數的圖象，設，則直線與函數的圖象個交點橫坐標分別為，可得出，再結合對稱性與對數運算即可得正確選項.【詳解】函數的圖象如下圖所示，設，則，則直線與函數的圖象個交點橫坐標分別為，對于選項A：函數的圖象關于直線對稱，則，故選項A不正確；對于選項B：由圖象可知，且，∴，即，所以，，故選項B正確；當時，，由圖象可知，，則，可得，∴，C正確；由圖象可知，∴，D正確.故選：BCD（4）（多選）已知函數的零點為，的零點為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】將零點問題轉化為交點問題，根據互為反函數的兩個函數的性質逐一判斷即可.【詳解】分別為直線與和的交點的橫坐標，因為函數與函數互為反函數，所們這兩個函數的圖象關于直線，而直線、的交點是坐標原點，故，，，，，，故故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：利用反函數的性質是解題的關鍵.1．函數的零點所在的區(qū)間為（

）A．（-1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2）【答案】C【分析】由解析式判斷各選項區(qū)間端點值的函數值符號，結合零點存在性定理確定零點的區(qū)間.【詳解】由題設，，，，，∴零點所在的區(qū)間為（，1）.故選：C2．已知函數在區(qū)間上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題不正確的是（

）A．函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內B．函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內C．函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內D．函數的兩個零點不可能同時在區(qū)間內【答案】C【分析】對于A，令，，，即可判斷；對于B，令，，，即可判斷；對于C，假設函數的兩個零點分別在區(qū)間和內，得到與矛盾的結論，即可判斷；對于D，假設函數的兩個零點都在區(qū)間內，則會得與矛盾的結論，即可判斷.【詳解】對于A，由，，令，，，則可得函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內，故正確；對于B，由，，令，，，則可得函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內，故正確；對于C，由，且函數的兩個零點分別在區(qū)間和內，則必有，，與矛盾，故錯誤；對于D，如果函數的兩個零點都在區(qū)間內，又因為，則必有，，進而有，與矛盾，所以函數的兩個零點不可能同時在區(qū)間內，故正確.故選：C.3．已知函數，，，實數是函數的一個零點，下列選項中，不可能成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題知在定義域上是單調減函數，進而分都為負值和討論可判斷出結果.【詳解】解：由在上單調遞減，y＝log2x在上單調遞增，所以，在定義域上是單調減函數，當時，，又因為，，所以，當都為負值，則都大于，當，則都小于，大于.綜合可得，不可能成立．故選：C4．已知函數的部分函數值如下表所示：x1那么函數的一個零點的近似值（精確度為0.01）為（

）【答案】B【分析】根據給定條件直接判斷函數的單調性，再結合零點存在性定理判斷作答.【詳解】函數在R上單調遞增，由數表知：，由零點存在性定義知，函數的零點在區(qū)間內，所以函數的一個零點的近似值為.故選：B5．已知是函數的零點，則的值（

）A．為正數 B．為負數 C．等于0 D．無法確定正負【答案】B【分析】先確定函數的單調性，再確定函數零點所在的區(qū)間，即得解.【詳解】解：由題可知單調遞增（增函數+增函數=增函數），且，，則，所以所以.故選：B6．表示不超過x的最大整數，例如，，，．若是函數的零點，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用零點存在性定理判斷的范圍，從而求得.【詳解】在上遞增，，所以，所以.故選：B7．函數的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據零點存在定理判斷．【詳解】，，，所以零點在上．故選：D．8．函數的零點所在的區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設,,則.分析可得在區(qū)間上函數單調遞增，利用零點存在定理可以判定零點所在區(qū)間，在(0,2]上，函數的單調性不確定，分別考察和的取值范圍，可知和，從而可知恒成立，即得在區(qū)間(0,2]上沒有零點.【詳解】設,,則.在區(qū)間上，單調遞增，單調遞減，則單調遞增，由于,,∴有唯一零點且零點在區(qū)間內；在區(qū)間(0,2]上，,,故在區(qū)間函數與的圖象沒有交點，從而函數沒有零點，綜上可知，A正確，BCD錯誤，故選：A.【點睛】此題關鍵點在于分區(qū)間研究函數的單調性，在區(qū)間(0,2]上函數單調性不易確定或者不單調時，分解為零個具有單調性的函數的差，利用其取值范圍判定沒有零點.9．函數的零點個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函數的零點，即方程的根，也就是兩個函數與的交點的橫坐標，畫出兩函數的圖象，數形結合得答案．【詳解】由，得，作出函數與的圖形如圖，由圖可知，函數的零點個數是2．故選：C．【點睛】本題考查函數零點與方程的根，與兩個函數圖象交點橫坐標之間的轉化關系，關鍵是準確作出函數的圖象，考查數形結合思想、轉化與化歸思想的應用.10．函數圖象上關于坐標原點對稱的點有對，則的值為（

）A．無窮多 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】找到關于原點對稱的圖象的函數解析式,然后考察函數和函數的圖象的交點個數即為所求.【詳解】解：與的圖象關于原點對稱，在同一坐標系內作出函數和函數的圖象，知兩個圖象有4個交點.所以函數的圖象關于原點對稱的點有4對，故選：D.【點睛】本題關鍵是將問題轉化為函數和函數的圖象的交點個數問題，其中找到關于原點對稱的圖象的函數解析式是關鍵，注意時的函數值為1，且為單調增函數，在時的函數值為1，小于在時的函數值，兩函數在之后已經不可能在有公共點了.11．若函數滿足，且時，，已知函數則函數在區(qū)間內的零點個數為（

）A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【分析】由，知函數是周期為2的函數，進而根據與函數的圖象得到交點個數．【詳解】解：因為，所以函數是周期為2函數，因為時，，所以作出它的圖象，則的圖象如圖所示：（注意拓展它的區(qū)間）再作出函數的圖象，容易得出到交點為12個．故選：C．【點睛】結論點睛：本題考查函數方程思想，數形結合思想，注意周期函數的一些常見結論：若，則周期為；若，則周期為；若，則周期為；另外要注意作圖要細致，屬于中檔題．12．函數則函數的零點個數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過對式子的分析，把求零點個數轉化成求方程的根，結合圖象，數形結合得到根的個數，即可得到零點個數．【詳解】函數的零點即方程和的根，函數的圖象如圖所示：由圖可得方程和共有個根，即函數有個零點,故選A.【點睛】本題考查函數的零點與方程的根的個數的關系，注意結合圖象，利用數形結合求得結果時作圖很關鍵，要標準．13．若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由題意知，f(x)是周期為2的偶函數，將函數零點轉化為求兩個函數圖象交點的個數即可，作出圖象觀察得出結論.【詳解】由題意知，f(x)是周期為2的偶函數．在同一坐標系內作出函數y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如下：觀察圖象可以發(fā)現它們有4個交點，即函數y＝f(x)－log3|x|有4個零點．故選：D.14．已知函數在定義域上單調遞增，且關于x的方程恰有一個實數根，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．(0，1)【答案】C【分析】由遞增，先求出的范圍，再根據恰有一個實數根，通過數形結合進一步縮小范圍.【詳解】在定義域上單調增，∴，∴，∵在處切線為，即，又故與沒有公共點∴與有且僅有一個公共點且為∴在處的切線的斜率必須大于等于1，，，∴，∴，綜上：故選：C.【點睛】本題需要通過求導，數形結合，利用切線斜率的不等關系解決問題.15．已知函數在區(qū)間上存在零點，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判斷函數在上單調，利用零點存在性定理即可求解.【詳解】∵在區(qū)間上單調且存在零點，∴，∴或．故選：C【點睛】本題考查了利用零點存在性定理求參數的取值范圍，需掌握定理的內容，屬于基礎題.16．已知是函數的一個零點，若則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求出在區(qū)間上單調遞增，根據函數的零點的位置，確定，從而得出答案.【詳解】函數在區(qū)間上單調遞增，函數在區(qū)間上單調遞增則函數在區(qū)間上單調遞增由于，，則即故選：B【點睛】本題主要考查了根據零點判斷函數值的符號，屬于中檔題.17．已知函數f(x)＝x－tanx，若實數x0是函數y＝f(x)的零點，且0<t<x0，則f(t)的值()．A．大于1 B．大于0 C．小于0 D．不大于0【答案】B【分析】由函數在f（x）=-tanx（）上單調遞減且f（x0）=0可求f（t）的范圍【詳解】y1=是單調遞減，y2=-tanx在（）上也是減函數，可知f（x）=-tanx（）上單調遞減∵0＜t＜x0，f（t）＞f（x0）=0故選B【點睛】函數f（x）的零點，是方程f（x）=0的根，也是y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標，結合函數在區(qū)間上的單調性，可從數形結合角度理解.18．若函數在區(qū)間[a,b]上為單調函數，且圖象是連續(xù)不斷的曲線，則下列說法中正確的是（）A．函數在區(qū)間[a,b]上不可能有零點B．函數在區(qū)間[a,b]上一定有零點C．若函數在區(qū)間[a,b]上有零點，則必有D．若函數在區(qū)間[a,b]上沒有零點，則必有【答案】D【詳解】試題分析：若滿足，則函數有唯一零點，若滿足，則函數在區(qū)間上沒有零點，若函數在區(qū)間上有零點，必有，若函數在區(qū)間上沒有零點，必有，故選D．考點：函數的零點19．若函數在區(qū)間上存在零點，則常數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用導數判斷出函數在區(qū)間上為增函數，再解不等式，，即得解.【詳解】由題得在區(qū)間上恒成立，所以函數在區(qū)間上為增函數，所以，，可得.故選：C.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和零點，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20．若函數在區(qū)間上有零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】探討函數的單調性，再借助零點存在定理列出不等式求解即得.【詳解】函數f(x)定義域是，因函數，在上都是單調遞增的，而，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，當時，無零點，于是得當時，函數在上連續(xù)且單調，因函數在區(qū)間上有零點，則由零點存在定理有：，即，解得，所以實數a的取值范圍是.故選：C21．已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當時，，單調遞減，且，單調遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，，在上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需選B.【名師點睛】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．22．下列函數圖像與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數圖象理解二分法的定義，函數f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f（a）?f（b）＜0．即函數圖象連續(xù)并且穿過x軸．【詳解】解：能用二分法求零點的函數必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f（a）?f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函數不連續(xù)．故選C．【點睛】本題考查了二分法的定義，學生的識圖能力，是基礎題．23．用二分法求f(x)＝0在區(qū)間(1，2)內的唯一實數解x0時，經計算得，f(2)＝－5，，則下列結論正確的是()A．x0∈ B．x0＝C．x0∈ D．x0＝1【答案】C【分析】根據二分法求區(qū)間根的方法只須找到滿足，結合，f(2)＝－5，可得結論．【詳解】根據二分法求區(qū)間根的方法只須找到滿足由于，所以.故選C.【點睛】本題主要考查用二分法求區(qū)間根的問題，二分法是把函數的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而求零點近似值的方法，屬基礎題．24．方程

的解所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令函數，則函數是上的單調增函數，且是連續(xù)函數，根據，可得函數的零點所在的區(qū)間為，由此可得方程的解所在區(qū)間．【詳解】令函數，則函數是上的單調增函數，且是連續(xù)函數.∵，∴∴故函數的零點所在的區(qū)間為∴方程的解所在區(qū)間是故選C.【點睛】零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性）才能確定函數有多少個零點.25．函數在區(qū)間（0,1）內的零點個數是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【詳解】試題分析：,在范圍內，函數為單調遞增函數．又，，，故在區(qū)間存在零點，又函數為單調函數，故零點只有一個．考點：導函數，函數的零點．26．用二分法求方程的近似解，求得的部分函數值數據如下表所示：12-63則當精確度為0.1時，方程的近似解可取為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點存在定理和精確度可判斷出方程的近似解.【詳解】根據表中數據可知，，由精確度為可知，，故方程的一個近似解為，選C.【點睛】不可解方程的近似解應該通過零點存在定理來尋找，零點的尋找依據二分法（即每次取區(qū)間的中點，把零點位置精確到原來區(qū)間的一半內），最后依據精確度四舍五入，如果最終零點所在區(qū)間的端點的近似值相同，則近似值即為所求的近似解.27．設函數，若互不相等的實數、、，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，作出函數的圖象，結合圖象可得出的取值范圍，結合二次函數圖象的對稱性可得出，進而可求得的取值范圍.【詳解】設，作出函數的圖象如下圖所示：設，當時，，由圖象可知，，則，可得，由于二次函數的圖象的對稱軸為直線，所以，，因此，.故選：C.【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（或取值范圍），常用方法如下：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數的取值范圍；（2）分離常數法：先將參數分離，轉化為求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.28．已知實數a，b，c滿足，則下列不等式一定不成立的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據的圖象，應用數形結合法判斷不同取值情況a、b、c的大小關系，即可得結果.【詳解】由的圖象如下：由圖知：當時，，D可能；當時，，B可能；當時，，A可能.故選：C29．函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數的奇偶性，可判斷C,D的正誤；利用在之間的函數零點的個數即可判斷A,B的正誤.【詳解】設，則，故為奇函數，故C,D錯誤；而令時，在之間的函數零點有兩個，故B錯誤，故選：A30．函數對于任意實數，都與成立，并且當時，.則方程的根的個數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意明確函數的周期性，數形結合即可得到方程的根的個數.【詳解】對任意實數x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）為偶函數，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函數f（x）是以2為周期的周期函數，且值域為．方程的根的個數即函數圖象與直線的交點個數，當時，，當時，函數圖象與直線無交點，由圖像可得二者的交點個數為2020個故選A【點睛】本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的周期性，函數的圖象，方程根與函數零點的關系，難度中檔．31．設函數f(x)滿足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且當時，f(x)=x3.又函數g(x)=|xcos|，則函數h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】因為當x∈[0,1]時，f(x)＝x3，所以當x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.當x∈時，g(x)＝xcos(πx)；當x∈時，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函數f(x)，g(x)都是偶函數，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函數f(x)，g(x)的大致圖象，函數h(x)除了0,1這兩個零點之外，分別在區(qū)間，，，上各有一個零點，共有6個零點，故選B.32．（多選）已知為函數的兩個零點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由題意得可得，作圖可判斷A的正誤；構造函數，根據其單調性及零點存在性定理，可判斷B的正誤；作直線與交于點(，)，代入計算，作圖分析即可判斷C的正誤；代入特殊值，可求得的范圍，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】令，則，所以，作出函數和的圖象，易知，故A正確；構造函數，則函數單調遞增，又，故，故B正確；作直線與交于點(，)，則有，故，故C錯誤；由于時，，故，又因為，故，所以，故D正確，綜上，正確答案為ABD.故選：ABD【點睛】解題的關鍵是熟練掌握常見函數圖象的畫法、零點存在的定理等知識，并靈活應用，難點在于需合理構造函數，并代入特殊值檢驗，考查數形結合，分析求解的能力，屬中檔題.33．（多選）已知、分別是方程，的兩個實數根，則下列選項中正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】BD【分析】在同一直角坐標系中畫出的圖象，可判斷AB，然后結合不等式的性質可判斷CD.【詳解】函數在同一坐標系中的圖象如下：所以，所以所以所以，故選：BD34．（多選）已知函數fx=2x?1,x≤1,x?22,x>1,函數有四個不同的零點，，，，且，則（

A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C． D．【答案】AC【分析】結合的圖象，由圖可知，，，由二次函數的對稱性，可得，可得答案.【詳解】有四個不同的零點，，，，即方程有四個不同的解．的圖象如圖所示，由圖可知，，，所以，即的取值范圍是，由二次函數的對稱性，可得．因為，所以，故．故選：AC.35．（多選）已知函數是定義在R上的減函數，實數a，b，滿足，若是函數的一個零點，則下列結論中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】首先根據函數的單調性可得出，然后由可得到中有一個函數值為負或三個函數值都為負，從而可判斷選項.【詳解】因為函數是定義在R上的減函數，且，所以，又，所以中有一個函數值為負或三個函數值都為負，若中有一個函數值為負時，則，此時，故選項C正確；若中三個函數值都為負，則，此時，選項A正確.若，則，此時不滿足,故選項B錯誤；若，則只能得到，不滿足，故選項D不正確.故選：AC.36．（多選）已知函數在區(qū)間上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題正確的是（

）A．函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內B．函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內C．函數的兩個零點可以分別在區(qū)間和內D．函數的兩個零點不可能同時在區(qū)間內【答案】ABD【解析】由在區(qū)間上有兩個零點，且都可以用二分法求得，再結合函數圖象是連續(xù)的，可得到，，進而討論的正負性，并結合零點存在性定理，可得出答案.【詳解】因為函數在區(qū)間上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，所以零點兩側函數值異號，又，，所以，，若，可得，，即此時函數的兩個零點分別在區(qū)間和內，故B正確；若，則，，即此時函數的兩個零點分別在區(qū)間和內，故A正確.綜上兩種情況，可知選項C錯誤，D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查零點存在性定理的運用，解題的關鍵是根據零點都可以用二分法求得，可知零點兩側函數值異號，進而討論的正負性，結合零點存在性定理，可求出答案.考查學生的邏輯推理能力，屬于中檔題.37．（多選）定義域和值域均為的函數和的圖象如圖所示，其中，給出下列四個結論正確結論的是（）A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有四個解C．方程有且僅有八個解 D．方程有且僅有一個解【答案】AD【解析】通過利用和，結合函數和的圖象，逐項分析，即可求解.【詳解】對于A中，設，則由，即，當時，則有三個不同的值，由于是減函數，所以有三個解，所以A正確；對于B中，設，則由，即，解得，因為，所以只有3個解，所以B不正確；對于C中，設，若，即，當或或，則或或，因為，所以每個方程對應著3個根，所以共有9個解，所以C錯誤；對于D中，設，若，即，所以，因為是減函數，所以方程只有1解，所以D正確.故選：AD【點睛】利用函數的圖象求解方程的根的個數或研究不等式問題的策略：1、利用函數的圖象研究方程的根的個數：當方程與基本性質有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程的根就是函數與軸的交點的橫坐標，方程的根就是函數和圖象的交點的橫坐標；2、利用函數研究不等式：當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上、下關系問題，從而利用數形結合求解.38．已知函數，則方程的不同根的個數為____________．【答案】11【分析】設，先解出，再分別求解即可.【詳解】設，由得或，解得或或或，（1）當，由得或，解得或；（2）當，由得或，無解；（3）當，由得或，解得或或；（4）當，由得或，解得或或.故不同根的個數為11.故答案為：1139．若函數是定義在上的偶函數,,且,則函數的零點個數為___________.【答案】6【解析】根據為偶函數且周期為4,結合解析式可畫出函數的圖像.由零點定義可知,令,可得.畫出的圖像,通過判斷與圖像交點個數即可判斷的零點個數.【詳解】因為,即是周期為4的周期函數為偶函數,且,畫出函數圖像如下圖所示:令可得.畫出的圖像如上圖所示:由圖像可知,與圖像共有6個交點所以共有6個零點故答案為:【點睛】本題考查了函數奇偶性及單調性的綜合應用,函數零點的概念及函數圖像的畫法,屬于中檔題.40．已知