專題38二項(xiàng)式定理

專題38二項(xiàng)式定理№專題38二項(xiàng)式定理№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題38二項(xiàng)式定理命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議二項(xiàng)式定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，高考中二項(xiàng)式定理是考點(diǎn)之一，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用在高考中一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),難度不大。預(yù)計(jì)2024年的高考二項(xiàng)式定理的考查主要以選擇和填空為主，命題的難度以中低難度為主，是拿分的地方。集合復(fù)習(xí)策略：1.理解多項(xiàng)式運(yùn)算與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系；2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式有關(guān)的問題。→?考點(diǎn)精析←一、二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+…+Cnranrbr+…+Cnn2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=Cnranrbr,它表示第3.二項(xiàng)式系數(shù)Cn0，C二二項(xiàng)式系數(shù)問題1.Cn0=1，Cnn=1，Cn2.Cnm=Cnn-m(0.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),第n2+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值為Cnn2;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),第n+12項(xiàng)和第4.各二項(xiàng)式系數(shù)和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，Cn0+Cn2+Cn4+→?真題精講←1.（2023北京卷5）的展開式中的系數(shù)為（）．A. B. C.40 D.80【答案】D【解析】【分析】寫出的展開式的通項(xiàng)即可【詳解】的展開式的通項(xiàng)為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的運(yùn)用，較簡單.2.（2023天津卷11）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：60.→?模擬精練←1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在的展開式中（

）A．常數(shù)頊為160 B．含項(xiàng)的系數(shù)為60C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1【答案】BD【分析】利用二項(xiàng)式定理得到展開式的通項(xiàng)，分別取代入計(jì)算得到答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)為.對選項(xiàng)A：取得到常數(shù)項(xiàng)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：取得到含項(xiàng)的系數(shù)為，正確；對選項(xiàng)C：取得到第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：取得到所有項(xiàng)的系數(shù)和為，正確.故選：BD2．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知多項(xiàng)式，則（

）A．－960 B．960 C．－480 D．480【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?項(xiàng)為，所以.故選：A3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）在二項(xiàng)式的展開式中，把所有的項(xiàng)進(jìn)行排列，有理項(xiàng)都互不相鄰，則不同的排列方案為（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)為，又因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)共有2項(xiàng)，其余5項(xiàng)為無理項(xiàng)，先排5項(xiàng)為無理項(xiàng)，共有種排法，再排2項(xiàng)有理項(xiàng)，共有種排法，所以有理項(xiàng)互不相鄰的排法總數(shù)為：種.故選：A.4．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．430 B．435 C．245 D．240【答案】B【詳解】，展開式的通項(xiàng)為，令，則，令，則，令，則，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）二項(xiàng)式展開式的第r項(xiàng)系數(shù)與第r＋1項(xiàng)系數(shù)之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，則第r項(xiàng)系數(shù)為，第r＋1項(xiàng)系數(shù)為，所以.故選：B6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得，再利用賦值法，令，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，則，得，令，得，左右兩邊除以，得，所以．故選：D．7．（2023·江蘇常州·?？级＃┑恼归_式中x2y3項(xiàng)的系數(shù)等于80，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．2 B．±2 C． D．±【答案】D【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，確定項(xiàng)的系數(shù)，即可求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式是，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為，解得：.故選：D8．（2023·江蘇南通·二模）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．60 B．80 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和求出，再由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，則的展開式第項(xiàng)，令，解得，所以，故選：B9．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）的展開式中的系數(shù)是______.【答案】672【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：67210．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）展開式的常數(shù)項(xiàng)為___________.（用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【詳解】展開式通項(xiàng)公式，令，解得，則，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：11．（2023·廣東·高三統(tǒng)考模擬預(yù)測）在展開式中，的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】因?yàn)?，且的展開式通項(xiàng)為，所以的系數(shù)是與展開式中的項(xiàng)的乘積的和，所以有，故答案為:12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【答案】56【解析】，令，解得，所以.故的展開式中的系數(shù)為56.故答案為：56→?專題訓(xùn)練←1．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知多項(xiàng)式，則（

）A．11 B．74 C．86 D．【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理分別求出與一次項(xiàng)的系數(shù)，再相加即可.【詳解】對于，其展開通項(xiàng)公式為，令，得，故，對于，其展開通項(xiàng)公式為，令，得，故，所以.故選：B.2．（2023·山東德州·三模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將化為，利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式可求得，判斷A；根據(jù)二項(xiàng)式的系數(shù)和式的特征，利用賦值法可分別判斷B，C，D.【詳解】由題意可知，故，A錯(cuò)誤；由，令，可得，B錯(cuò)誤；令，則，故，C錯(cuò)誤；令，則，故，D正確，故選：D3.的展開式中的系數(shù)是（）A．90 B．80 C．70 D．60【答案】A【解析】因?yàn)檎归_式的第項(xiàng)為，令，得，則的系數(shù)為．故選：A.4.若，則_____.【答案】【解析】由題意，由，，∴，令，則，所以.故答案為：.5.的展開式中各項(xiàng)的指數(shù)之和再減去各項(xiàng)系數(shù)乘以各項(xiàng)指數(shù)之和的值為（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】，所以，的展開式中各項(xiàng)的指數(shù)之和為，展開式中各項(xiàng)系數(shù)乘以各項(xiàng)指數(shù)之和為，因此，所求結(jié)果為.故選：C.6.的展開式中，的系數(shù)是（）A．20 B． C．160 D．【答案】C【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，可得，，故選：D.7.若，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令可得：，令可得：，兩式相加可得：，所以，故選：B8．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是________.【答案】/【詳解】的二項(xiàng)展開式有7項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知最大，故由二項(xiàng)式定理得二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)是.故答案為：9．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┮阎?，其中，則___________．【答案】【分析】首先根據(jù)的二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)為，從而得到，再解方程即可.【詳解】的二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)為，令，則，所以，解得.故答案為：10．（2023·江蘇·二模）二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則__________．【答案】6【分析】根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式和展開式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)建立方程即可得解．【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，由展開式中，第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)，則，即．故答案為：.11．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為1024，則______．【答案】2【詳解】因?yàn)榈耐?xiàng)公式為，所以的展開式中含項(xiàng)為．，得.故答案為：212．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）將展開后按的升冪排列，則第3項(xiàng)為____________.【答案】【詳解】的通項(xiàng)公式為，展開后按的升冪排列，則第3項(xiàng)即為含的項(xiàng)，，令，則，令，則，所以的系數(shù)為：.故答案為：13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字做答）．【答案】－10【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則的展開式中的系數(shù)為，故答案為：1014．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）展開式中的系數(shù)為___________.【答案】40【解析】根據(jù)題意可知，展開式中含的項(xiàng)為和兩部分；所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：4015．（2023·廣東韶關(guān)·高三統(tǒng)考模擬考試）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是______________.【答案】【解析】的展開式通項(xiàng)為，令，得，故常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：．16．（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考模擬考試）中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，要得到，則，解得.的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，可得.故中的系數(shù)為.故答案為:.17．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）的展開式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】根據(jù)題意,的項(xiàng)在的展開式中有兩項(xiàng)，分別為：和，即和，則的系數(shù)為：.故答案為：.18．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為：15.19．（2023·廣東汕頭·高三統(tǒng)考模擬考試）在的展開式中，的系數(shù)為__________.【答案】【解析】依題意，的展開式中，含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：.20．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）展開式中一次項(xiàng)的系數(shù)是___________．（請?zhí)罹唧w數(shù)值）【答案】11【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，而，令，得；令，得.所以的展開式中一次項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：21．（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學(xué)?？既＃┑恼归_式中含的項(xiàng)與含的項(xiàng)系數(shù)相等，則___________.【答案】【詳解】由的展開式的通項(xiàng)為，令，可得；令，可得，因?yàn)檎归_式中含的項(xiàng)與含的項(xiàng)系數(shù)相等，可得，又因?yàn)椋?故答案為：.22．（2023·江蘇南通·三模）已知，則__________.【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得，又，即，令，兩邊相加得：，故答案為?3．（2023·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎?，則______.【答案】2【分析】利用賦值法計(jì)算即可.【詳解】由，令，則，令，則，∴.故答案為：2.24．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）若展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】28【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求系數(shù)最大項(xiàng)，進(jìn)而可求其二項(xiàng)式系數(shù).【詳解】