利用行列式、線性方程組和矩陣?yán)碚撟C明五一共圓

利用行列式、線性方程組和矩陣?yán)碚撟C明五一共圓

矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的基本結(jié)構(gòu)。這些理論的發(fā)展和完善離不開(kāi)初等數(shù)學(xué)的有力推動(dòng)。反過(guò)來(lái),利用一些高等代數(shù)方法又可以靈活地解決初等數(shù)學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題。下面分別談?wù)劺眯辛惺降闹R(shí)證明四點(diǎn)共圓問(wèn)題、利用齊次線性方程組解的理論解有關(guān)應(yīng)用題、利用正定與半正定矩陣知識(shí)證明不等式。拋磚引玉,以激起大家學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣。亦可供中學(xué)數(shù)學(xué)愛(ài)好者參考,以拓寬他們的視野,增進(jìn)他們的求知欲。1.通過(guò)建立工人證的方式求法四點(diǎn)共圓問(wèn)題是初中幾何的一個(gè)重要內(nèi)容,參考文獻(xiàn)介紹了許多方法。但對(duì)于易求四點(diǎn)坐標(biāo)的題目來(lái)說(shuō),可以利用行列式的知識(shí)來(lái)證明它們共圓。下面先給出四點(diǎn)共圓的一個(gè)充分必要條件。定理1平面上四點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)共圓的充分必要條件是分析:結(jié)論顯然。下面通過(guò)例題說(shuō)明如何利用上述結(jié)論證四點(diǎn)共圓問(wèn)題。例1設(shè)P(0,a)為平面上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P做拋物線x2=2py的兩條切線交x軸于A、B兩點(diǎn),其中ap<0,拋物線的焦點(diǎn)為F。證明P、A、F、B四點(diǎn)共圓。證明:不妨設(shè)a>0、p<0。由上述定理可知P、A、F、B四點(diǎn)共圓。例2(2004年重慶高考題)如圖1設(shè)p>0是一常數(shù),過(guò)點(diǎn)Q(2p,0)的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B,以線段AB為直徑做圓H(H為圓心),試證明拋物線的頂點(diǎn)在圓H的圓周上;并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程。分析:設(shè)圓H交x軸于點(diǎn)C,只需證O、A、C、B四點(diǎn)共圓方可。而這四點(diǎn)的坐標(biāo)容易求出,從而可用上述結(jié)論證明。至于第二問(wèn),求出其半徑表達(dá)式,討論方可。則由k2(x-2p)2=2px,有從而可求得:(只需充分利用行列式的性質(zhì)及結(jié)論xC=xA+xB即可求出結(jié)果)所以拋物線的頂點(diǎn)O(0,0)在圓H上。當(dāng)然,利用上述結(jié)論證明該題運(yùn)算比較煩瑣,要求對(duì)行列式的計(jì)算很熟練,但方法簡(jiǎn)單、思路清晰且易于掌握。2.+b-b3-b2b我們知道,齊次線性方程組有非0解的充分必要條件是|A|=0。其中這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用較為廣泛,參考文獻(xiàn)作了較好的總結(jié)。下面我們看看它的另一個(gè)應(yīng)用。例3設(shè)ax0+by0=y0+bx0=x0+ay0=z0,其中z0≠0,求a+b-a2-b2+ab的值。解:將已知條件變形為例4五一長(zhǎng)假,自駕車(chē)游客很多,某高速公路收費(fèi)站前的車(chē)輛排起了長(zhǎng)龍。設(shè)車(chē)輛均勻地來(lái)到本站,窗口收費(fèi)的速度是固定的。如果開(kāi)放1個(gè)收費(fèi)窗口,30分鐘可以收完等待車(chē)輛的費(fèi)用,如果開(kāi)放2個(gè)窗口,20分鐘即可收完,要在10分鐘內(nèi)收完相關(guān)費(fèi)用,使隨后來(lái)到的車(chē)輛隨到隨走,問(wèn)至少應(yīng)開(kāi)放幾個(gè)窗口?解:設(shè)收費(fèi)站已停車(chē)x0輛,每分鐘到來(lái)車(chē)y0輛,每個(gè)窗口每分鐘收費(fèi)z0輛,至少應(yīng)開(kāi)放窗口n個(gè),則依題意有將x0、y0、z0看作上述對(duì)應(yīng)齊次方程組則有:解之得n=5。所以n≥5方可,即至少應(yīng)開(kāi)放5個(gè)窗口。注:齊次線性方程組解的理論的應(yīng)用范圍很廣,大家應(yīng)多多總結(jié)。若應(yīng)用得當(dāng),會(huì)收到“柳安花明、事半功倍”的效果。3.在中國(guó)參考文獻(xiàn)中,要注意運(yùn)用好高等分辨率的運(yùn)用,在一般不當(dāng)之處,也注意如何掌握如果對(duì)任意一組不全為0的實(shí)數(shù)c1、c2、……、cn來(lái)說(shuō),都有f(c1,c2,cn)>0,則稱(chēng)之為正定二次型,對(duì)應(yīng)的矩陣A叫做正定矩陣;如果對(duì)任意一組不全為0的實(shí)數(shù)c1、c2、……、cn來(lái)說(shuō),都有f(c1,c2,cn)≥0,則稱(chēng)之為半正定二次型,對(duì)應(yīng)的矩陣A叫做半正定矩陣。有關(guān)矩陣正定和半正定的判定見(jiàn)參考文獻(xiàn)的231～237頁(yè)。正定和半正定矩陣是高等代數(shù)的重要內(nèi)容。在中學(xué)數(shù)學(xué)中,我們也可以用正定和半正定矩陣的知識(shí)證明一些不等式,且證明思路清晰,容易掌握。下面舉例說(shuō)明這方面的應(yīng)用。例5(參考文獻(xiàn)30頁(yè)第12題)設(shè)x1,x2,,xn≥0,證明對(duì)任意n≥4(n∈N),有:證明:設(shè)為半正定二次型,即結(jié)論得證。例6(參考文獻(xiàn)113頁(yè)第14題)已知x,y,z∈R,求證。分析:可以采用上述同樣方法來(lái)證明(略)。例7問(wèn)t取何值時(shí),下列不等式總成立?解:設(shè)f(x,y,z)由矩陣A的一切順序主子式大于0可得:例8證明柯西不等式:上式要取等號(hào),必須矩陣M的秩小于2,所以bi=kai,k為實(shí)數(shù),結(jié)論得證。另外,在參考文獻(xiàn)135頁(yè)第14題中有這樣一個(gè)引理。引理:?ABC中,其中x,y,z為任意實(shí)數(shù)。分析:令同樣只需證明對(duì)應(yīng)的矩陣半正定方可,方法與前面的完全相同(略)。當(dāng)然,高等代數(shù)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)