高等數(shù)學(xué)中泰勒公式的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中泰勒公式的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)教材中，對泰勒公式的應(yīng)用很少，也分散，一些應(yīng)用沒有介紹（例如，解行列公式）。本文從四個方面探討了泰勒公式的應(yīng)用。1證明sinxx-16x3.3.2.2.2.3當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷.例1當x≥0時,證明sinx≥x-16x3.證明取f(x)=sinx-x+16x3?x0=0,則f(0)=0,f′(0)=0,f″(0)=0,fue087(x)=1-cosx,fue087(0)≥0.故當x≥0時得,sinx≥x-16x3.2求極限譜圖1-4.2x4.2x4.2x4.2.2一般是把所求極限式經(jīng)過變換后,其部分項用泰勒公式替換,并注意到limx→0o(xn)xn=0,其次在解題過程中可能用到下面幾個情形:xm·o(xn)=o(xm+n),o(xm)·o(xn)=o(xm+n)±o(xm)±o(xn)=o(xm)(m≤n),k·(xn)=0(xn)(k為常數(shù)).例2求極限limx→0cosx-e-x22x4.解利用展開式cosx=1-x22+x424+o(x5)?e-x22=1-x22+x48+o(x4).所以原式=limx→0-112x4+o(x4)x4=-112.3e-2mdx的方法當要求的算式不能得出它的準確值時,即只能求出其近似值,這時泰勒公式是解決這種問題的好方法.例3求∫10e-x2dx的近似值,精確到10-5.解因為∫10e-x2dx中的被積函數(shù)是不可積的(即不能用初等函數(shù)表達),現(xiàn)用泰勒公式的方法求∫10e-x2dx的近似值.在ex的展開式中以-x2代x得逐項積分,得上式右端為一個收斂的交錯級數(shù),由其余項Rn的估計式知|R7|≤175600＜0.000015.所以∫10e-x2dx≈1-13+110-142+1216-11320+19360≈0.746836.4zfnx評分表若一個行列式可看做x的函數(shù)(一般是x的n次多項式),記作f(x),按泰勒公式在某處x0展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例4求n階行列式D=|xyy?yzxy?yzzx?y?????zzz?x|.(1)解記fn(x)=D,按泰勒公式在z處展開:fn(x)=f(z)+f′n(z)1！(x-z)+f″n(z)2！(x-z)2+?+f(n)n(z)n！(x-z)n.(2)易知D=|z-y00?0y0z-y0?0y00z-y?0y??????????z-yy00000Ζ-y|k階=z(z-y)k-1.(3)由(3)得,fk(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,…,n時都成立.(4)根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有f′n(x)=nfn-1(x),f′n-1(x)(n-1)fn-2(x),…,f′2(x)=2f1(x),f′1(x)=1(因為f1(x)=x).于是fn(x)在x=z處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式4)為f′n(z)=f′n(x)|x=z=nfn-1(z)=nz(z-y)n-2,f″n(z)=f″n(x)|x=z=nf′n-1(z)=n(n-1)z(z-y)n-3,…………fnn-1(z)=fnn-1(x)|x=z=n(n-1)…2f1(z)=n(n-1)…2zfn(n)(z)=n(n-1)…2·1.把以上各導(dǎo)數(shù)代入(2)式中,有fn(x)=z(z-y)n-1+n1！z(z-y)n-2(x-z)+n(n-1)2！z(z-y)n-3?(x-z)2+?+n(n-1)?2(n-1)！z(x-z)n-1+n(n-1)?2?1n！(x-z)n.若z=y,有fn(x)=(x-y)n-1[x+(n-1)y];若z≠y,有fn(x)=z(x-y)n-y(x-z)nz-y.以上我們就四個方面討論了泰勒公式的應(yīng)用,特別是用泰勒公式求解行列式這一方法在高等