第一章 1.4.2 第1課時　距離問題

8第一章1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時距離問題【素養(yǎng)導引】1.理解點線距、點面距、線線距、線面距、面面距的概念與向量表示.(數(shù)學抽象、直觀想象)2.會利用向量求空間距離.(直觀想象、數(shù)學運算)空間距離的向量求法分類向量求法點線距設直線l的單位方向向量為u,A∈l,P?l,設=a,則點P到直線l的距離d=a2點面距已知平面α的法向量為n,A∈α,P?α,則點P到平面α的距離d=【批注】空間中距離的轉化(1)點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,因為直線與直線外一點確定一個平面,所以空間中的點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題.(2)如果直線l與平面α平行,可在直線l上任取一點P,將直線l到平面α的距離轉化為點P到平面α的距離求解.(3)如果兩個平面α,β互相平行,可在其中一個平面α內任取一點P,將兩個平行平面之間的距離轉化為點P到平面β的距離求解.[診斷]1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)平面α外一點A到平面α的距離,就是點A與平面內一點B所成向量的長度. (×)提示:點A與其在平面α內的射影點的距離是點A到平面α的距離.(2)直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點到平面α的距離. (√)提示:直線與平面平行時,直線上任意一點到平面的距離都相等.2.(教材改編題)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點F,G分別為AB,CC1的中點,則點D到直線GF的距離為________.

【解析】如圖,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),所以=(1,-1,-1),=(1,1,0).取a==(1,1,0),u==(33,-33,-3所以點D到直線GF的距離為a2-(a答案:2學習任務一點到直線的距離(直觀想象、數(shù)學運算)1.已知三棱錐O-ABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,且OA=1,OB=2,OC=2,則點A到直線BC的距離為 ()A.2 B.3 C.5 D.3【解析】選B.以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.由題意可知A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),所以=(-1,2,0),=(0,-2,2),取a==(-1,2,0),u==(0,-22,22).則點A到直線BC的距離為a2-(a·u)22.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,則點B到直線A1C1的距離為________.

【解析】以B為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,0),A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以點B到直線A1C1的距離d==10-(95答案:13用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標系;(2)求直線的單位方向向量u;(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量a;(4)利用公式d=a2-(學習任務二點到平面的距離(直觀想象、數(shù)學運算)角度1求點面距、線面距【典例1】已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點,求點D到平面PEF的距離.【解析】以點D為坐標原點,,,分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示,則P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),E(1,12,0),F(12,1,0),所以=(-12,=(1,12,-1),=(1,12,0),設平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則即-1令x=2,則y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以點D到平面PEF的距離d==|2+1|4+4+9=本例條件不變,求直線AC到平面PEF的距離.【解析】以點D為坐標原點,,,分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示,則P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),E(1,12,0),F(1所以=(-12,12,0),=(1,12,-1),=(-1,0,1),設平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則即-1令x=2,則y=2,z=3,所以n=(2,2,3),因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC,又EF?平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以直線AC到平面PEF的距離為=117=1717角度2求面面距【典例2】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點,則平面AMN與平面EFBD的距離為________.

【解析】如圖所示,建立空間直角坐標系Dxyz,則A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).所以=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),所以=,=,所以EF∥MN,BF∥AM,因為EF∩BF=F,MN∩AM=M.所以平面AMN∥平面EFBD.設n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,則解得x取z=1,則x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).點A到平面EFBD的距離即為平面AMN到平面EFBD的距離.因為=(0,4,0),所以平面AMN與平面EFBD間的距離d==83.答案:8求點到平面的距離的主要方法(1)直接法:作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離;(2)等體積法:在三棱錐中用等體積法求解;(3)向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點,MA為過點A的斜線段).提醒:線面距、面面距實質上是求點面距,求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是 ()A.12 B.24 C.22 【解析】選B.以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).因為O為A1C1的中點,所以O(12,12,1),=(12,-12,0),=(-1,0,1),=(0,1,0)設平面ABC1D1的法向量為n=(x,y,z),則有即-x取x=1,則n=(1,0,1),所以點O到平面ABC1D1的距離為d==122=22.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,C1C的中點,G為線段DD1上的點,且DG=13DD1,過E,F,G的平面交AA1于點H,則A1D1到平面EFGH的距離為________【解析】以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則E1,1,12,F0,1,12所以=(-1,0,0),=0,-1,-16所以∥.又因為EF?平面EFGH,D1A1?平面EFGH,所以D1A1∥平面EFGH.所以D1到平面EFGH的距離即為A1D1到平面EFGH的距離.設平面EFGH的一個法向量為n=(x,y,z),則即-x令z=6,則y=-1,所以n=(0,-1,6),又因為=0,1所以點D1到平面EFGH的距離d==437=43737,所以A1D1到平面EFGH的距離為答案:4射影法求異面直線的距離分別以這兩條異面直線上任意兩點為起點和終點的向量為a,與這兩條異面直線都垂直的法向量為n,則兩條異面直線間的距離是a在n方向上的正射影向量的模,設為d,從而由公式d=|a·【典例】如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AB=a,PB=PD=2a,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,求異面直線PB與CE的距離.【解析】連接BD,由PE∶ED=2∶1知,在BD上取點F使BF∶FD=2∶1,連接CF,EF,易知PB∥EF,從而PB∥平面CEF,于是只需求直線PB到平面CEF的距離,即可求點P到平面CEF的距離.由PA=AB=a,PB=2a,所以PA2+AB2=PB2,所以∠PAB=90°,即PA⊥AB,同理PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD.過點A作AG⊥BC于G,則以A為坐標原點,AG所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立如圖