直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線基本知識(shí)1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：ⅰ.與x軸相交;ⅱ.x軸正向;ⅲ.直線向上方向.直線與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為.傾斜角的范圍.；（2）直線的斜率①直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在。②經(jīng)過兩點(diǎn)（）的直線的斜率公式是（）③每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。2、兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有。特別地，當(dāng)直線的斜率都不存在時(shí)，的關(guān)系為平行。（2）兩條直線垂直如果兩條直線斜率存在，設(shè)為，則注：兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過來(lái)，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，互相垂直。二、直線的方程1、直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式為直線上一定點(diǎn)，為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式為斜率，是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式是直線上兩定點(diǎn)不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過原點(diǎn)的直線一般式，，為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何位置的直線注：過兩點(diǎn)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？（不一定。（1）若，直線垂直于x軸，方程為；若，直線垂直于y軸，方程為；若，直線方程可用兩點(diǎn)式表示）2、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則3.過定點(diǎn)的直線系①斜率為且過定點(diǎn)的直線系方程為；②過兩條直線,的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線l2不在直線系中.三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解，若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立。2.幾種距離（1）兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)間的距離公式特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離（2）點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離（3）兩條平行線間的距離兩條平行線,間的距離注意：求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。）補(bǔ)充：1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角．已知斜率k的范圍，求傾斜角的范圍時(shí)，若k為正數(shù)，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數(shù)；若k為負(fù)數(shù)，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數(shù)。若k的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。2、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知若，則有A、B、C三點(diǎn)共線。注：斜率變化分成兩段，是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論。兩條直線位置關(guān)系的判定：已知,，則：（2）（3）（4）與相交如果時(shí)，則：(1)(2)；(3)與重合(4)與相交4.有關(guān)對(duì)稱問題常見的對(duì)稱問題：（1）中心對(duì)稱①若點(diǎn)及關(guān)于對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。（2）軸對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，而且連接的直線垂直于對(duì)稱軸上，由方程組可得到點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（其中）②直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。注：=1\*GB3①曲線、直線關(guān)于一直線對(duì)稱的解法：換，換.例：曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線方程是=2\*GB3②曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程是5.直線過定點(diǎn)問題：含有一個(gè)未知參數(shù)，令，將，從而該直線過定點(diǎn)含有兩個(gè)未知參數(shù)令從而該直線必過定點(diǎn)圓與方程知識(shí)小結(jié)2、1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2、2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上d=r；(2)點(diǎn)在圓外d＞r；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r．2.給定點(diǎn)及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外2、3圓的一般方程：.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑或方程：已知2、4直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種若，（1）；（2）；（3）。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：（1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)（直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：（1）相切d=rΔ＝0（2）相交d<rΔ>0；（3）相離d>rΔ<0。2、5兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。；（2）；；（4）；（5）；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、6圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是